考慮擺線輪磨損的RV減速器傳動精度可靠性分析與參數優化

劉 江，肖正明，張龍隆，劉衛標

（1.昆明理工大學機電工程學院，云南昆明 650500；2.云南昆鋼重型裝備制造集團有限公司，云南昆明 650501）

精密減速器是工業機器人的重要組成部件，控制著機器人的重要性能。行星擺線減速器也稱為RV（rotate vector）減速器，被廣泛應用于機器人關節，它的傳動精度影響著機器人的運動精度。工業機器人因其工作需求會頻繁地進行往復運動，對RV減速器的回差精度要求極高。因此，有必要明晰影響RV減速器回差精度的靜、動態因素，從而采取針對性的措施去提高減速器的傳動精度，并延長其使用壽命。

機器人的運動性能由高精密減速器的側隙和扭轉剛度控制[1]。零件的制造、裝配誤差，擺線輪的修形及其在嚙合過程中的變形、磨損等都會產生間隙。Yang、Blanche等[2-3]對具有加工公差的擺線針輪減速器進行了運動學分析，獲得了零件公差、傳動比與間隙之間的關系。任重義等[4]分析了擺線輪齒廓的修形方法以及制造、安裝誤差對幾何回差的影響，研究表明擺線輪不同相位的幾何回差是有差異的。Lin等[5]利用蒙特卡羅方法分析了零件幾何參數和公差分布對擺線針輪減速器運動誤差分布的影響，并在此基礎上建立優化模型對零件幾何參數進行了優化。曹代佳[6]以許用回差精度為約束，對RV減速器關鍵零部件進行公差分配和優化，并通過實驗驗證了優化結果的合理性。Chu等[7]提出了一種基于遺傳算法的選擇性裝配方法，有效提高了RV減速器的回差精度。陸龍生等[8]把擺線輪與針齒接觸產生的形變量等效疊加到擺線輪的齒廓上，結合“等距+移距”組合修形，在保持擺線針輪徑向間隙不變的情況下實現了回差的優化。

針對機械磨損，許多學者根據不同的磨損機理建立了數學模型，其中Archard磨損模型被廣泛應用。Archard[9]基于黏著磨損理論推導出定量計算磨損體積的數學模型。基于Archard磨損公式和Hertz接觸理論，張俊等[10]計算了在準靜態工況下直齒圓柱齒輪的磨損量，蘇建新等[11]建立了擺線輪磨損量的計算模型。Shen等[12]將有限元理論與數值模擬方法相結合，提出了一種預測機械零部件磨損的新方法。李聰波等[13]對Archard模型進行修正，并在ANSYS軟件中模擬機床導軌的磨損，預測了導軌的早期磨損量。

RV減速器的傳動誤差包括由各零件制造、裝配誤差引起的靜態誤差和由時變嚙合剛度、零件彈性變形以及摩擦磨損引起的動態誤差。現有研究主要從提高RV減速器傳動精度的角度展開，靜、動態誤差都有涉及，但鮮有學者從關鍵零件的磨損出發研究動態誤差對回差精度的影響。本文綜合考慮擺線針輪傳動機構的加工誤差、配合間隙和擺線輪的磨損，開展RV減速器傳動精度可靠性研究，以期為擺線輪輪齒的減磨延壽及高精度RV減速器的設計提供新思路。

1 擺線輪磨損量的數值計算與預測

1.1 擺線輪接觸壓力的計算

擺線針輪傳動屬于多齒嚙合傳動，其嚙合情況復雜，一般采用數值方法求解嚙合力。首先計算最大嚙合力Fmax的初值Fmax0，并由Hertz接觸公式求得受力最大處嚙合點的形變量δmax。

式中：Tc為擺線輪傳遞的轉矩；K1為短幅系數；zc為擺線輪齒數；rp為針齒中心圓半徑。

考慮到擺線輪修形會產生側隙，假設理論嚙合點所受嚙合力Fi和形變量與初始側隙的差值成正比，其線性關系式為：

式中：i為嚙合相位角為ψi的嚙合點；δi為理論嚙合點的形變量或法向總位移；Δsi為理論嚙合點的初始側隙。

形變量大于側隙的理論嚙合點在傳動過程中都會嚙合，以此可以判斷擺線針輪的嚙合區域和同時嚙合的齒數。依據擺線輪所受嚙合力和嚙合齒數列出力矩平衡方程：

式中：li為理論嚙合點公法線到擺線輪中心的距離；M、N均為嚙合區域內針齒的編號。

變換式(3)，可得：

式中：lmax為擺線輪節圓半徑。

比較Fmax0與Fmax的數值。如果兩者不相等，則將Fmax作為初始值重新輸入，再次求解Fmax，直到Fmax0與Fmax相等時輸出最終的Fmax，進而通過式(2)求得不同嚙合位置的嚙合力。

在嚙合力作用下，擺線輪與針齒嚙合處會形成一個接觸面。擺線輪輪齒接觸面上法向平均接觸壓力pi為：

式中：b為接觸半寬；B為擺線輪齒寬。

1.2 滑動距離的計算

擺線輪與針輪在實際嚙合中除了純滾動，還存在相對滑動，在滑動的過程中伴隨著摩擦磨損。擺線輪與針輪的相對滑動速度νr為：

式中：rrp為針齒半徑；s=1+K12-2K1cosψi；ωH為曲柄軸角速度。

滑動系數表示單點從進入到退出的嚙合過程中相對滑動所占的比例。在接觸寬度相同的情況下，滑動系數越大，摩擦距離越大。相對滑動速度νr與擺線輪切向速度νt的比值即為滑動系數λ，即：

單點嚙合1次滑動的距離du為：

1.3 磨損系數的計算

磨損系數是受多重因素影響的動態變量，往往須針對具體對象通過實驗設計來獲取。Janakiraman等[14]通過多組磨損實驗確定了在不同工況和接觸條件下的磨損系數。利用Janakiraman總結的回歸公式(9)可以對材料的磨損系數k進行估算。

式中：L為無量綱載荷；G為無量綱壓力-黏度系數；S為無量綱復合表面粗糙度；E′為等效彈性模量。

式中：W′為單位線載荷；R′為等效曲率半徑；α為黏壓系數；為復合表面粗糙度。

影響磨損系數的3個無量綱參數中，G的影響最大，L的影響最小，S的影響介于兩者之間。同批次生產的減速器在相同工況下運行，如選用性能不一的潤滑劑進行潤滑，則零部件的磨損情況會呈現較大的差異。

1.4 磨損量的計算

Archard磨損模型可以表示為：

式中：V為磨損體積；u為滑動距離；K為磨損因子；W為載荷；H為材料硬度。

法向磨損深度h、磨損系數k、接觸壓力p可以表示為：

式中：A為接觸面積。

利用式(11)、式(12)得到某個嚙合點嚙合1次所產生的磨損深度dh為：

由擺線針輪傳動原理可知，曲柄軸帶動擺線輪公轉(zp-1)個針齒時擺線輪上所有齒均參與1次嚙合，由此可得擺線輪的嚙合周期t為[15]：

式中：zp為針齒數。

擺線輪輪齒磨損后齒廓初始側隙會變大，接觸壓力也會發生變化，此時須重新計算接觸壓力pi和磨損深度h。當磨損累積量較小時，各點的接觸壓力變化較小，因此通常會設置一個磨損閾值ε，在達到該閾值之前可以近似認為單個嚙合點嚙合1次產生的磨損量不變。將磨損累積過程分成Q段，磨損間隔時間稱為重構周期tq。tq時間內單個嚙合點的累積磨損量hq為：

工作時間內單點總的磨損深度為：

式中：q為重構次數,q=1,2,…,Q。

等距、移距修形量會影響同時嚙合的齒數和輪齒所受嚙合力，從而進一步影響擺線輪的磨損，因此有必要探討修形參數對齒廓磨損深度的影響。某RV減速器的參數如表1所示。首先通過搜尋條件（式（17））得到等距修形值的取值范圍[-0.053，0.011]mm。由于初始徑向間隙不變，移距修形量也就確定了。

表1 某RV減速器參數Table 1 Parameters of a RV reducer

式中：Δrrp為等距修形量；Δrp為移距修形量；Δr為初始徑向間隙。

將等距修形的取值區間等分，分析擺線輪在不同“等距+移距”組合修形下的受力，并計算擺線輪轉動100 h時的磨損量。均勻選取其中6組數據，求出不同修形量下（以“等距修形量，移距修形量”表示）擺線輪的受力和磨損量，分別如圖1和圖2所示。由圖1可知，在額定工況下，未磨損的擺線輪所受的嚙合力沿齒廓方向先增大后減小。由圖2可知，齒廓上磨損量的變化趨勢與嚙合力一致，最大磨損量出現在接觸區域中間的位置。比較圖1和圖2中各曲線的峰值和分布規律可知，等距修形值越大，則最大嚙合力越小，嚙合區域越大，齒廓最大磨損量越小，齒廓上的磨損分布越均勻。

圖1 不同修形量下擺線輪的受力Fig.1 Force on cycloidal gear with different modification amount

圖2 不同修形量下擺線輪的磨損量Fig.2 Wear amount of cycloidal gear with different modification amount

1.5 磨損量預測

齒輪磨損是一個累積的過程，而磨損量又會影響輪齒的受力，因此計算累積磨損量時須多次重構齒廓以及重新求解嚙合點的法向載荷，這在進行數值仿真計算時將耗費大量時間。高斯過程回歸模型適用于計算量大且無法提供大量樣本的情況[16]，能基于有限的仿真數據對輸出響應進行預測。在創建數據樣本時應適當縮短齒廓重構的周期，以提高磨損量計算及預測的精確性。

磨損隨機過程服從正態分布[17]。建立磨損仿真值wo與磨損預測值wp的聯合高斯分布：

式中：Koo為觀測輸入值的方差；Kop、Kpo分別為觀測輸入值和預測輸入值的協方差；Kpp為預測輸入值的方差；I為單位矩陣。噪聲ζ～N(0,σ2)，其中0為均值，σ2為方差。

得到磨損預測模型為[18]：

用觀測樣本訓練磨損預測模型，然后根據訓練好的預測模型和已知的預測輸入值預測磨損量。模型的輸入是減速器的負載Tz、轉速n、工作時間T、擺線輪的等距和移距修形量，模型的輸出是對應的磨損量預測值。

將Tz=3 136 N·m，n=15 r/min，T=3 000 h，Δrrp=-0.026 mm，Δrp=-0.030 mm時擺線輪磨損量的仿真值與預測值進行對比，如圖3所示。圖中灰色區域為預測值95%置信區間，可見各時間點的仿真值都在該區間內，預測結果的準確度較高，故該模型可以用于磨損量的預測。

圖3 擺線輪磨損量仿真值與預測值的對比Fig.3 Comparison between simulation value and prediction value of cycloidal gear wear

2 考慮擺線輪磨損的傳動精度動態可靠性分析

2.1 含磨損的傳動精度模型的建立

RV減速器的誤差因素及其引起的法向側隙如表2所示[8]。通過Archard磨損模型計算而得的磨損深度是沿嚙合點公法線方向的[19]，磨損引起的法向側隙等效于等距修形引起的法向側隙。

表2 RV減速器誤差因素引起的法向側隙及各誤差的靈敏度指數Table 2 Normal backlash caused by RV reducer error factor and sensitivity index of each error

回差是表征RV減速器傳動精度的重要指標。由側隙引起的總回差Δφ為：

式中：Δβj為各誤差因素引起的側隙；iH為減速器傳動比；r1為太陽輪分度圓半徑；e為曲柄軸偏心距；a為太陽輪與行星輪的中心距。

2.2 傳動精度動態可靠性分析

零件尺寸偏差、磨損量是服從某一分布的隨機變量。在這些不確定因素影響下，減速器的回差會在一定范圍內變動，一次簡單的測量無法反映減速器傳動精度的一般水平。因此，從概率統計的角度出發，建立傳動精度動態可靠性模型，用不同時刻的精度可靠度來反映減速器傳動精度動態變化情況。

考慮擺線輪磨損的傳動精度動態可靠性的功能函數為：

式中：x=(Tz，n，T，Δrrp，Δrp)；Δφper為許用回差。

g(x,Δφper)＞0表示減速器傳動失效。采用蒙特卡洛法對零件加工誤差以及不同時刻的最大磨損量進行d次抽樣[5]，將d個樣點值代入總回差Δφ的計算式中，統計處于失效狀態的樣點數dT。則隨時間變化的傳動精度可靠度RT可以表示為：

RV減速器誤差項的偏差值及其分布特征如表3所示[20]。設置工況為：Tz=3 136 N·m，n=15 r/min，用蒙特卡洛法抽樣得到RV減速器回差模擬圖，如圖4所示。由圖可知，擺線輪未磨損時，RV減速器的回差均值為0.7′左右，最大回差小于許用回差值1′，因此能夠滿足精度要求。

表3 RV減速器誤差項的偏差值及其分布特征Table 3 Deviation value and distribution characteristics of error term of RV reducer 單位：mm

圖4 RV減速器回差模擬圖Fig.4 Backlash simulation diagram of RV reducer

RV減速器精度可靠度隨工作時間的變化曲線如圖5所示。由圖可知：減速器工作4 000 h后，精度可靠度開始下降；當擺線輪累積磨損達6 000 h時，精度可靠度僅為88.7%，不能滿足可靠性要求，因此須對減速器原參數進行優化。

圖5 RV減速器精度可靠度隨工作時間的變化曲線Fig.5 Variation curve of accuracy reliability of RV reducer with working time

2.3 參數的靈敏度分析

為了提高優化效率，須對參數進行靈敏度分析，以優先考慮對回差影響較大的設計參數。以總回差對各誤差項求偏導，則各誤差項對回差影響的靈敏度Sj表示為：

為了更好地比較不同誤差對總回差的影響程度，把針齒中心圓半徑誤差作為參照項，利用式(24)求得各誤差項的靈敏度指數sj，如表2所示。對比數值可知序號4～13，15，16對應的誤差因素對整機回差的影響較大。

3 零件公差和擺線輪修形參數的優化

3.1 多目標優化模型的建立

1)確定優化參數。

經過RV減速器主要參數的靈敏度分析后，選取與擺線輪、針輪相關的誤差項以及等距和移距修形量為優化參數。同時，RV減速器回差精度要求較高，零件的公差等級均采用較高的加工等級。以RV減速器參數的初始值為下限值，查閱機械設計手冊并考慮實際加工條件來確定上限值[6,20]，確定其取值范圍，如表4所示。

表4 RV減速器優化參數的取值范圍Table 4 Value range of optimization parameters of RV reducer 單位：mm

2)建立目標函數。

零件的公差由加工精度決定。公差越小，加工精度越高，對應的制造成本也越高。考慮經濟性和實用性，把總制造成本、擺線輪額定壽命內的最大磨損量最小作為優化目標。不同加工特征的成本函數如下[21]。

尺寸公差成本函數C1為：

式中：a1、a2、a3、a4、a5均為成本系數，a1=16.140，a2=0.324，a3=0.217，a4=0.013，a5=2.845；Ei為零件公差。

位置度公差成本函數C2為：

式中：b1、b2、b3、b4均為成本系數，b1=4.862，b2=0.483，b3=0.877，b4=1.020。

跳動公差成本函數C3為：

式中：c1、c2均為成本系數，c1=23.729，c2=0.682。

零件總的公差成本為：

目標函數為：

式中：W(Ej)為擺線輪額定壽命內的最大磨損量；Ej為擺線輪的修形參數。

3)設定約束條件。

以傳動精度可靠度為約束條件進行優化[22]，要求RV減速器運行6 000 h時的傳動精度可靠度不低于預期可靠度Rper，即：

3.2 參數優化設計

分別以RV減速器運行6 000 h時的精度可靠度不低于95%、100%為約束條件1和2，利用遺傳算法求解多目標優化問題，得到Pareto前沿解集，如圖6所示。Pareto前沿解集中拐點的優化數據較好，加工成本和磨損量都較小，故選取拐點的優化參數作為最優解[23]。對應的優化參數見表5。

圖6 RV減速器多目標優化的Pareto前沿解集Fig.6 Pareto frontal solution set for multi-objective optimization of RV reducer

表5 RV減速器優化后的參數Table 5 Parameters of RV reducer after optimization 單位：mm

可靠度為100%即要求減速器在零件尺寸和磨損量取極限值時的回差仍小于許用值，零件尺寸偏差和修形量應盡可能小，因此，約束條件2下最優解的加工成本高于約束條件1，磨損量也相應地增大。對傳動精度可靠度的要求越高，優化后的成本越高。而減速器在整個壽命周期內都存在零件磨損，傳動性能會退化，導致精度可靠度下降。在實際工程中應平衡經濟性和可靠性，根據應用情況適當調整在預期壽命內的可靠度，通過約束可靠度進行優化設計。

3.3 優化結果分析

由圖6可知，在約束條件1和2下，優化后擺線輪運行6 000 h時的最大磨損量分別從3.127 μm增大到 3.151 μm 和 3.207 μm，增加了 0.77% 和 2.56%，總加工成本分別從1 402元下降至1 291元和1 300元，降低了7.92%和7.28%。優化前后RV減速器傳動精度可靠度的對比如圖7所示。由圖可知，優化后減速器傳動精度可靠度有明顯提高，在額定壽命6 000 h內的可靠度均滿足預期要求。

圖7 優化前后RV減速器傳動精度可靠度對比Fig.7 Comparison of transmission accuracy reliability of RV reducer before and after optimization

4 結論

在計算擺線輪輪齒磨損量的基礎上，建立了考慮磨損的RV減速器傳動精度可靠度模型，并以動態可靠度為約束條件對減速器的設計參數進行了優化，得到如下結論：

1)通過擺線針輪傳動機構的嚙合分析和Archard磨損模型計算了擺線輪齒廓的磨損深度，發現齒廓上的磨損分布是不均勻的，磨損深度在齒廓方向呈現先增大后減小的規律。

2)經過仿真數據訓練的高斯回歸模型能有效預測擺線輪輪齒的磨損量，并且能降低磨損仿真的運算時間，提高磨損預測精度。

3)盡管參數優化前擺線輪在累積轉動6 000 h后的磨損量不大，但其傳動精度可靠度已經不能滿足工作需求，可見磨損對整機回差的影響較大。因此，對RV減速器的傳動性能進行優化時不能忽視零件動態磨損的影響。