圖形圖像積分與微分不變量的構(gòu)造與應(yīng)用

墨瀚林，郝 優(yōu)，郭 銳，郝宏翔，張 賀，李 琪，李 華

圖形圖像積分與微分不變量的構(gòu)造與應(yīng)用

墨瀚林1,2，郝 優(yōu)1,2，郭 銳1,2，郝宏翔1,2，張 賀1,2，李 琪1,2，李 華1,2

(1. 中國科學(xué)院計(jì)算技術(shù)研究所智能信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190；2. 中國科學(xué)院大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京 100049)

作為圖形圖像數(shù)據(jù)的常用特征，微分不變量和以矩不變量為代表的積分不變量在計(jì)算機(jī)視覺、模式識(shí)別和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等領(lǐng)域扮演了重要角色。在過去二十年中，本研究團(tuán)隊(duì)利用基本生成函數(shù)構(gòu)造了灰度圖像、彩色圖像、向量場、點(diǎn)云、曲線和網(wǎng)格曲面等圖形圖像數(shù)據(jù)在幾何變換、顏色變換、圖像模糊和全變換下的矩不變量；證明了仿射變換下幾何矩不變量與微分不變量之間滿足同構(gòu)關(guān)系，提出了一種獲取仿射微分不變量的簡單方法，并進(jìn)一步得到了射影變換和莫比烏斯變換下圖形圖像的微分不變量；為了增強(qiáng)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)常見圖形圖像變換的不變性，探索了如何將圖形圖像不變量引入深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。系統(tǒng)回顧與總結(jié)了上述工作，簡要介紹了如何使用基本生成函數(shù)構(gòu)造圖形圖像在仿射變換下的幾何矩不變量與微分不變量，分析了圖形圖像不變量的典型應(yīng)用場景及優(yōu)缺點(diǎn)，并對(duì)未來的研究進(jìn)行了展望。

圖形圖像變換；特征提取；矩不變量；微分不變量；圖像分類；形狀分析；模板匹配

1 簡 介

如何提取圖形圖像數(shù)據(jù)的有效特征始終是計(jì)算機(jī)視覺、模式識(shí)別和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等領(lǐng)域的核心問題。理想的圖形圖像特征應(yīng)當(dāng)對(duì)常見變換具有不變性。事實(shí)上，受傳感器參數(shù)、設(shè)備架設(shè)角度、外界光照變化等因素的影響，針對(duì)同一目標(biāo)采集的不同數(shù)據(jù)間往往滿足某種變換關(guān)系。如，使用相機(jī)從不同角度拍攝同一平面物體，所得到的圖像之間滿足二維射影變換關(guān)系，如圖1所示。顯然，對(duì)各類外加變換具有魯棒性或不變性是圖形圖像特征能夠準(zhǔn)確描述目標(biāo)內(nèi)在信息的必要條件。

圖1 二維射影變換導(dǎo)致的幾何形變

半個(gè)世紀(jì)以來，各種變換下的圖形圖像不變特征層出不窮，其中，積分不變量與微分不變量扮演了重要的角色。以矩不變量(moment invariants)為代表的積分不變量常被用來提取圖形圖像數(shù)據(jù)的整體信息。1962年，HU[1]首次將幾何中心矩的概念引入圖像分析領(lǐng)域，并使用經(jīng)典的代數(shù)不變量理論得到了7個(gè)對(duì)二維相似變換具有不變性的幾何矩不變量。此后，利用圖方法[2]、幾何基元法[3]等生成方法，該領(lǐng)域的研究者相繼得到了灰度圖像、彩色圖像、向量場、三維點(diǎn)云、曲線和網(wǎng)格曲面等數(shù)據(jù)在幾何變換[4-8]、光照變換[9-13]、圖像模糊[14-18]等多種常見圖形圖像變換下的幾何矩不變量。為了提升矩不變量對(duì)噪聲的魯棒性，部分研究者使用不同類型的正交多項(xiàng)式定義了圖形圖像的正交矩并生成了上述變換下的正交矩不變量[19-23]。目前，矩不變量已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于形狀分析[24-26]、物體識(shí)別[27-29]、醫(yī)學(xué)影像分析[30-32]和語音分析[33-34]等眾多任務(wù)中。如，文獻(xiàn)[31]通過提取大腦磁共振圖像的幾何矩不變量來檢測阿爾茲海默癥等腦部疾病；文獻(xiàn)[33]則使用基于局部幾何矩不變量的加權(quán)譜特征來分析語音數(shù)據(jù)的情感。相對(duì)于矩不變量，微分不變量(differential invariants)更適合被用來描述圖形圖像的局部結(jié)構(gòu)。目前，研究者主要使用OLVER[35-36]提出的移動(dòng)標(biāo)架等價(jià)方法生成常見圖形圖像變換下的微分不變量。利用旋轉(zhuǎn)微分不變量，KOENDERINK和VAN DOORN[37]定義了形狀指數(shù)特征(shape index)和彎曲度特征(curvedness)，并用于描述曲面的局部結(jié)構(gòu)；文獻(xiàn)[38-41]發(fā)現(xiàn)部分旋轉(zhuǎn)和仿射變換下的微分不變量能夠被用來檢測圖像中的特定局部結(jié)構(gòu)(如“團(tuán)”結(jié)構(gòu)或角點(diǎn))并能確定該結(jié)構(gòu)的空間尺度；GRIFFIN等[42-43]利用旋轉(zhuǎn)微分不變量描述圖像局部區(qū)域的對(duì)稱性，并進(jìn)一步定義了紋理圖像的基本圖像特征(basic image features，BIF)。

可以看出，積分與微分不變量適用于多種圖形圖像變換且應(yīng)用場景廣泛，同時(shí)，兩者具有較強(qiáng)的互補(bǔ)性。在過去二十年中，本研究團(tuán)隊(duì)對(duì)圖形圖像積分與微分不變量進(jìn)行了較為系統(tǒng)的研究，并取得了一系列成果，具體包括：

(1) 使用基本生成函數(shù)，提出了相似和仿射變換下一般標(biāo)量函數(shù)矩不變量的生成框架[44-45]，以及全變換(total transform)下一般向量函數(shù)矩不變量的生成框架[46-47]。使用上述框架，得到了圖形圖像數(shù)據(jù)在多種幾何變換[6-7, 48]、顏色變換[10-13]以及圖像模糊[17-18]下的矩不變量實(shí)例。

(3)初步探索了圖形圖像積分與微分不變量和目前流行的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(convolution neural network，CNN)的結(jié)合方式[52]，設(shè)計(jì)了在圖像旋轉(zhuǎn)變換下具有不變性的梯度對(duì)齊卷積操作[53]。

上述不變量和提升CNN模型不變性的方法已經(jīng)被應(yīng)用于圖形圖像的檢索與分類[3,54]、人體骨架識(shí)別[55]、模板匹配[17]、向量場分析[47]等任務(wù)中。

本文對(duì)上述工作進(jìn)行了總結(jié)與回顧，并對(duì)圖形圖像不變量未來的研究進(jìn)行了展望；同時(shí)，為加深讀者的理解，以仿射變換為例，簡單介紹如何使用基本生成函數(shù)構(gòu)造圖形圖像在該變換下的矩不變量實(shí)例，并給出了與其滿足同構(gòu)關(guān)系的微分不變量。

2 基本概念與定義

2.1 常見的圖形圖像變換

目前，文獻(xiàn)中常見的圖像變換可以被分為4類，即二維幾何形變、光照變化、圖像模糊以及多類型變換的復(fù)合(如形狀-顏色雙仿射變換)，而針對(duì)圖形變換的討論則大多只涉及三維幾何形變。如，對(duì)任意二維平面物體，可以使用二維平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、相似、仿射和射影變換模型來描述其由相機(jī)拍攝角度變化導(dǎo)致的幾何形變，不同變換模型之間滿足圖2所示的集合關(guān)系。以仿射變換為例，假設(shè)二維坐標(biāo)點(diǎn)(,)T和(,)T之間滿足仿射變換關(guān)系，則有

其中，2×2非奇異矩陣2為二維仿射變換；2×1向量2為二維平移，即

其中，矩陣2和向量2中的參數(shù)均為實(shí)數(shù)。若將圖2中的變換模型推廣到三維，則能夠使用其描述三維圖形變換。如，2個(gè)三維坐標(biāo)點(diǎn)(,,)T和(,,)T之間的仿射變換關(guān)系可以被表示為

其中，3為3×3非奇異矩陣；3為3×1平移向量。事實(shí)上，使用雙視角圖像對(duì)某個(gè)三維目標(biāo)進(jìn)行重建時(shí)，其不同仿射重建版本的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn)之間即滿足式(3)所定義的關(guān)系。

圖2 平面物體的常用幾何變換模型

Fig. 2 Commonly used transform models for planar objects

2.2 圖形圖像矩不變量

其中，B為任意類型的多項(xiàng)式基底；和為非負(fù)整數(shù)，(+)被稱為圖像矩的階數(shù)。簡言之，可以將圖像矩理解為整幅圖像在某類多項(xiàng)式基底上的投影。目前，最常用的圖像矩是基于冪函數(shù)基底{x y}構(gòu)造的圖像幾何中心矩，即

矩不變量是矩的一類特殊函數(shù)，其通常對(duì)某種圖形圖像變換具有不變性。目前常見的圖形圖像矩不變量大多可以被表示為矩的齊次多項(xiàng)式形式。如，基于幾何中心矩構(gòu)造的圖像幾何矩不變量為

2.3 圖形圖像微分不變量

微分不變量是另一類重要的圖形圖像不變量。事實(shí)上，由泰勒展開式可知，若函數(shù)在某點(diǎn)無窮階可導(dǎo)，則其在該點(diǎn)鄰域內(nèi)的全部信息可以由其無窮階偏微分完整提取，這正是使用圖形圖像函數(shù)的各階偏微分?jǐn)?shù)值描述其局部結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)。然而，偏微分對(duì)大部分圖形圖像變換并不具有不變性，在實(shí)際應(yīng)用中往往表現(xiàn)不佳。如，圖像梯度(即圖像函數(shù)(,)的一階偏微分)會(huì)隨著二維旋轉(zhuǎn)變換而改變。因此，在計(jì)算以尺度不變特征變換(scale-invariant feature transform，SIFT)[56]為代表的圖像梯度描述子時(shí)，需要先估計(jì)圖像的主方向，將其變換到標(biāo)準(zhǔn)位置后再計(jì)算梯度。

為此，研究人員開始使用微分不變量描述圖形圖像的局部結(jié)構(gòu)。類似于矩與矩不變量的關(guān)系，微分不變量是各階偏微分的函數(shù)，通常對(duì)某種特定變換具有不變性。理論上，可以被表示為偏微分的任意函數(shù)，如多項(xiàng)式函數(shù)、有理多項(xiàng)式函數(shù)等。但是，F(xiàn)LORACK等[57-58]已經(jīng)證明，任意非多項(xiàng)式形式的微分不變量均可被表示為具有齊次多項(xiàng)式形式的微分不變量的函數(shù)。因此，相比于其他形式的微分不變量，具有齊次多項(xiàng)式形式的微分不變量更加本質(zhì)，因而成為研究重點(diǎn)。如，可以將圖像(,)的微分不變量表示為

其中，各參數(shù)的定義與式(7)相同，且滿足式(8)定義的關(guān)系。

3 仿射變換下矩不變量的生成函數(shù)

本節(jié)重點(diǎn)介紹仿射變換下圖形圖像幾何矩不變量的基本生成函數(shù)。令圖像(,)的定義域?yàn)椋鴺?biāo)點(diǎn)(x,y)T和(x,y)T屬于，T為質(zhì)心坐標(biāo)，則其基本生成函數(shù)為

其中，

其中，

4 仿射變換下矩不變量的構(gòu)造

圖3 二維和三維行列式的幾何意義((a)二維行列式Hij；(b)三維行列式Hijk)

Fig. 3 The geometric meanings of 2D and 3D determinants((a)2D determinant Hij; (b)3D determinant Hijk)

其中，

其中，(·)為絕對(duì)值函數(shù)，生成函數(shù)的定義由式(12)給出。文獻(xiàn)[45]利用式(11)和積分換元法證明了式(17)，并說明了的展開式是式(7)定義的圖像幾何中心矩齊次多項(xiàng)式。因此，使用式(16)構(gòu)造的在二維仿射變換前后只相差一個(gè)與變換矩陣的行列式相關(guān)的常數(shù)。事實(shí)上，先前的研究[2-4]已經(jīng)表明，該常數(shù)可以使用不同方法消除，如多個(gè)的比值。

其中，

最近，DIAO等[59]進(jìn)一步證明了基本生成函數(shù)H和H是構(gòu)造仿射變換下圖形圖像幾何矩不變量的充分必要條件。為了更加清楚地說明如何使用式(16)和式(19)生成仿射矩不變量，式(22)和式(23)分別給出=2和=3時(shí)2個(gè)簡單和實(shí)例的構(gòu)造過程。對(duì)照式(7)和式(8)，可以看出式(22)生成的圖像不變量實(shí)例確實(shí)為圖像幾何中心矩的齊次多項(xiàng)式。例如，在式(22)中，參數(shù)==1=2，2=–2，同時(shí)幾何矩階數(shù)滿足(1,1+1,1)=(2,1+2,1)= (2,1+2,1)=(2,2+2,2)=2。

5 仿射變換下微分不變量的生成

如前所述，先前的研究[35-36, 57-58]大多使用移動(dòng)標(biāo)架等價(jià)方法生成圖形圖像的仿射微分不變量。最近，本研究團(tuán)隊(duì)證明在仿射變換下幾何矩不變量與微分不變量之間具有同構(gòu)關(guān)系[49]，該發(fā)現(xiàn)大大簡化了獲取仿射微分不變量的難度。具體而言，給定任意仿射矩不變量，只需將其中的幾何中心矩替換為同階偏微分即可得到對(duì)應(yīng)的仿射微分不變量。

6 其他變換下的積分與微分不變量

除仿射變換外，本研究團(tuán)隊(duì)已經(jīng)得到不同圖形圖像數(shù)據(jù)在下列變換下的積分和微分不變量。

6.1 圖像射影變換

如圖1所示，二維射影變換能夠表示平面物體因拍攝視角變化導(dǎo)致的任意形變。事實(shí)上，當(dāng)相機(jī)與平面物體間的距離遠(yuǎn)大于物體自身尺寸時(shí)，射影變換的射影性較弱。此時(shí)，仿射變換能夠較好的近似射影變換。然而，當(dāng)該條件不被滿足時(shí)，基于仿射不變量構(gòu)建的圖像檢索或分類算法性能明顯下降。因此，構(gòu)造圖像在射影變換下的積分或微分不變量是有意義的。

如圖2所示，仿射變換是射影變換的子集，因此射影微分不變量也是仿射微分不變量。假如能夠得到足夠多的仿射微分不變量實(shí)例，則可能從中篩選出射影微分不變量。利用第5節(jié)仿射微分不變量與矩不變量間的同構(gòu)關(guān)系，文獻(xiàn)[50, 60]系統(tǒng)生成了圖像仿射微分不變量，并從中發(fā)現(xiàn)了2個(gè)圖像射影微分不變量；隨后，首次證明了射影變換下圖像矩不變量的存在，這種矩不變量能夠被表示為圖像微分加權(quán)矩的齊次多項(xiàng)式，其中，先前得到的圖像射影微分不變量被作為加權(quán)函數(shù)；最后，給出了一組簡單的圖像射影加權(quán)矩不變量實(shí)例，并詳細(xì)分析了實(shí)際計(jì)算過程中可能的誤差來源。

6.2 反射變換

反射變換是另一類常見的圖形圖像幾何變換，具體而言，變換前后的2個(gè)物體互為鏡像。如圖4顯示了滿足反射變換關(guān)系的一對(duì)灰度圖像和一對(duì)人體網(wǎng)格數(shù)據(jù)。手性與非手性是一組與反射變換具有緊密聯(lián)系的物體屬性。若對(duì)于任意反射變換，物體均與其鏡像不同，則稱其具有手性；若物體存在對(duì)稱軸或?qū)ΨQ平面，則沿其對(duì)稱軸或?qū)ΨQ平面進(jìn)行反射變換后得到的鏡像與該物體完全相同，如二維空間中的圓和三維空間中的立方體等，這種性質(zhì)被稱為非手性。顯然，圖4(a)的灰度圖像具有手性，而圖4(b)的三維人體網(wǎng)格則近似具有非手性。

圖4 圖形圖像數(shù)據(jù)的反射變換((a)灰度圖像的反射變換；(b)三維人體網(wǎng)格的反射變換)

實(shí)際生活中存在大量滿足對(duì)稱性的非手性物體，構(gòu)造反射變換下的圖形圖像不變量對(duì)于分析其結(jié)構(gòu)具有重要意義。基于第3節(jié)的基本生成函數(shù)，文獻(xiàn)[48, 61]給出了反射變換下圖形圖像幾何矩不變量的構(gòu)造方式，并給出了5個(gè)簡單的不變量實(shí)例。圖5顯示了使用該組不變量進(jìn)行三維人臉對(duì)稱性檢測得到的結(jié)果。如圖5(a)所示，該三維人臉網(wǎng)格模型為非手性物體，以軸所在的平面為對(duì)稱面，網(wǎng)格上各點(diǎn)處的顏色表示某個(gè)反射矩不變量在以該點(diǎn)為中心的局部區(qū)域上計(jì)算得到的數(shù)值。顯然，反射幾何矩不變量的數(shù)值分布關(guān)于平面對(duì)稱，即在2個(gè)滿足反射變換關(guān)系的位置上計(jì)算得到的不變量數(shù)值互為相反數(shù)。基于此，將5個(gè)反射幾何矩不變量的數(shù)值作為網(wǎng)格上每個(gè)頂點(diǎn)的特征，在選定一個(gè)頂點(diǎn)后，可基于特征距離判斷其鏡像 對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而計(jì)算出人臉模型的對(duì)稱平面，如 圖5(b)所示。

圖5 三維人臉對(duì)稱面檢測((a)反射幾何矩不變量數(shù)值分布；(b)人臉對(duì)稱平面檢測結(jié)果)

6.3 莫比烏斯變換

莫比烏斯變換是平移、縮放、旋轉(zhuǎn)、反射和反演變換的組合，其中，反演變換(inversion transform)使其區(qū)別于等距變換。圖6給出了滿足反演變換關(guān)系的一對(duì)灰度圖像和一對(duì)人體網(wǎng)格數(shù)據(jù)。相較于仿射、射影變換這類全局變換，莫比烏斯變換只保證物體的局部形狀在變換前后滿足某種性質(zhì)，因此能夠描述更加復(fù)雜和真實(shí)的圖形圖像形變。事實(shí)上，莫比烏斯變換與共形變換(conformal transform)有著密切的聯(lián)系。GEHRIM[62]證明了三維及三維以上空間的共形變換與莫比烏斯變換等價(jià)。最近，計(jì)算共形幾何的相關(guān)理論與技術(shù)被成功應(yīng)用于醫(yī)學(xué)圖像分析、形狀分析和幾何分類等任務(wù)中，并取得了良好的效果[63-65]。事實(shí)上，共形變換正是共形幾何研究的基礎(chǔ)和重要組成部分。因此，構(gòu)造圖形圖像在莫比烏斯變換下的不變量不僅有助于更深入的理解共形變換，而且能夠進(jìn)一步提升當(dāng)前算法在形狀分析等任務(wù)上的表現(xiàn)。

在先前的研究中，最常用的莫比烏斯不變量為交叉比。文獻(xiàn)[51, 61]首次得到了圖形圖像函數(shù)在反演變換下的微分不變量實(shí)例，其中包括拉普拉斯算子與梯度內(nèi)積的比值；隨后，驗(yàn)證了其對(duì)平移、旋轉(zhuǎn)、縮放和反射變換同樣具有不變性，進(jìn)而確認(rèn)了其是莫比烏斯變換下的微分不變量。

圖6 圖形圖像數(shù)據(jù)的反演變換((a)灰度圖像的反演變換；(b)三維人體網(wǎng)格的反演變換)

6.4 圖像模糊

圖像模糊是一類常見的圖像變換，包括失焦模糊、直線運(yùn)動(dòng)模糊、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)模糊和徑向運(yùn)動(dòng)模糊等。如，圖7(a)和(b)分別顯示了灰度圖像的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)模糊和失焦模糊版本。

圖7 不同類型圖像模糊((a)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)模糊；(b)失焦模糊)

文獻(xiàn)[66-67]首次提出了旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)模糊下圖像幾何矩不變量的生成方法；隨后，文獻(xiàn)[18]基于該方法得到了圖像在該變換下的Gaussian-Hermite正交矩不變量，相對(duì)于前者，后者具有更強(qiáng)的噪聲魯棒性。先前的研究發(fā)現(xiàn)，滿足重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)與原圖像進(jìn)行卷積能夠較好的模擬由鏡頭失焦導(dǎo)致的真實(shí)圖像模糊。文獻(xiàn)[17]建立了一種獲得幾何形變和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱模糊下圖像幾何矩不變量的直觀方法。具體而言，對(duì)任意滿足重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，首先證明了其同階幾何中心矩之間存在線性依賴關(guān)系。基于該性質(zhì)，提出了一種判斷現(xiàn)存圖像相似或仿射幾何矩不變量是否同時(shí)對(duì)重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱模糊具有不變性的簡單方法。與先前的相關(guān)工作不同，該方法并不依賴復(fù)雜的操作或構(gòu)造公式。使用該方法，分析了最經(jīng)典的圖像矩特征—HU矩[1]，發(fā)現(xiàn)其中的5個(gè)不變量對(duì)重對(duì)稱模糊具有天然的不變性，并首次得到了仿射變換和重對(duì)稱模糊下的矩不變量實(shí)例。

6.5 向量函數(shù)的全變換

伴隨著數(shù)據(jù)仿真和采集技術(shù)的不斷發(fā)展，多通道數(shù)據(jù)的獲取變得越來越容易。在計(jì)算機(jī)視覺和圖形學(xué)領(lǐng)域，常見的多通道數(shù)據(jù)包括彩色圖像、二維向量場和三維流場等，其均可以被看作是一般向量函數(shù)的不同實(shí)例。值得注意的是，前文介紹的旋轉(zhuǎn)、相似和仿射變換等作用于空間坐標(biāo)域的幾何變換模型并不具備描述向量函數(shù)真實(shí)形變的能力，因?yàn)檫@些形變往往同時(shí)出現(xiàn)在坐標(biāo)域和向量域。為此，研究者提出了全變換的概念，具體包括全旋轉(zhuǎn)變換(total rotation transform)、旋轉(zhuǎn)-仿射變換(rotation-affine transform)和全仿射變換(total affine transform)等。如，旋轉(zhuǎn)-仿射變換能夠同時(shí)建模拍攝視角變化和外界光照變換導(dǎo)致的彩色圖像幾何旋轉(zhuǎn)變換和顏色仿射變換，圖8(a)顯示了一幅彩色圖像的旋轉(zhuǎn)-仿射變換版本；同樣的，如圖8(b)所示，研究者們通常使用全旋轉(zhuǎn)變換對(duì)向量場數(shù)據(jù)的局部形變進(jìn)行建模。

圖8 不同類型向量函數(shù)的全變換((a)彩色圖像的旋轉(zhuǎn)-仿射變換；(b)二維向量場的全旋轉(zhuǎn)變換)

利用本文第3節(jié)介紹的仿射變換下矩不變量的基本生成函數(shù)，文獻(xiàn)[11]首先構(gòu)造了彩色圖像在形狀-顏色雙仿射變換下的幾何矩不變量。事實(shí)上，該變換是一般全仿射變換在彩色圖像數(shù)據(jù)上的特例。基于該方法，文獻(xiàn)[46, 68]進(jìn)一步提出了全仿射變換下一般向量函數(shù)幾何矩不變量的構(gòu)造框架。最近，文獻(xiàn)[13]提出了旋轉(zhuǎn)-仿射變換下彩色圖像Gaussian-Hermite正交矩的構(gòu)造方法，文獻(xiàn)[47]則將該方法推廣到了一般向量函數(shù)。如前文所述，相對(duì)于幾何矩不變量，全變換下的正交矩不變量對(duì)噪聲具有更強(qiáng)的魯棒性。

6.6 不變量的應(yīng)用場景與優(yōu)缺點(diǎn)

積分與微分不變量是一類具有一般性的特征，可應(yīng)用于圖形圖像領(lǐng)域的不同任務(wù)中。如，文獻(xiàn)[3, 44]將三維幾何矩不變量用于圖形檢索；文獻(xiàn)[50, 60]將圖像射影不變量實(shí)例應(yīng)用于圖像檢索、紋理分類等任務(wù)，證明了其在二維射影變換下比目前常用的圖像矩不變量具有更好的穩(wěn)定性和區(qū)分性；基于TOSCA數(shù)據(jù)集中的三維人臉網(wǎng)格模型，文獻(xiàn)[51, 61]驗(yàn)證了莫比烏斯微分不變量在網(wǎng)格點(diǎn)匹配任務(wù)中的性能；文獻(xiàn)[17]發(fā)現(xiàn)HU矩在模糊圖像分類、檢索和模板匹配任務(wù)中具有良好的穩(wěn)定性和區(qū)分性，并指出該經(jīng)典特征在眾多任務(wù)中均表現(xiàn)良好的原因之一是其具有較強(qiáng)的模糊不變性；文獻(xiàn)[47]則將全變換下向量函數(shù)的矩不變量應(yīng)用于彩色圖像分類、向量場渦旋檢測等任務(wù)中。

相比其他類型的圖形圖像特征，積分與微分不變量具有如下2個(gè)顯著的優(yōu)點(diǎn)。首先，不變量適用于多種數(shù)據(jù)類型和多種圖形圖像變換。通過上述介紹本文已經(jīng)得到了灰度圖像、彩色圖像、向量場、點(diǎn)云、曲線和網(wǎng)格曲面等圖形圖像數(shù)據(jù)在幾何變換、顏色變換、圖像模糊和全變換下的矩不變量。其次，不變量具有較強(qiáng)的可解釋性。且文獻(xiàn)[38-41]已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了部分使用一、二階偏微分構(gòu)造的旋轉(zhuǎn)和仿射微分不變量具有明確的幾何意義，其數(shù)值對(duì)某些圖像局部結(jié)構(gòu)具有特殊的響應(yīng)。

作為一種基礎(chǔ)特征，積分與微分不變量善于提取圖形圖像數(shù)據(jù)的形狀、紋理和顏色等基本信息，卻并不能夠被直接用來提取數(shù)據(jù)的高級(jí)語義信息，這導(dǎo)致不能完全滿足某些實(shí)際應(yīng)用的需求。如，在一般圖像分類任務(wù)中，屬于同一類別的圖像(即包含同類目標(biāo))往往是在不同場景下拍攝的，幾何和顏色變換無法描述其之間滿足的關(guān)系。顯然，若在整幅圖像上計(jì)算積分不變量，則其數(shù)值可能出現(xiàn)較大變化，進(jìn)而導(dǎo)致分類器無法基于該特征準(zhǔn)確預(yù)測圖像的類別。另外，已有研究表明，使用高階矩或偏微分構(gòu)造的不變量具有計(jì)算復(fù)雜度高、數(shù)值穩(wěn)定性差等缺點(diǎn)，而低階不變量的數(shù)目又非常有限，這限制了圖形圖像不變量特征最終的維數(shù)。

7 不變量與深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)合

2012年以來，以卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(convolutional neural network，CNN)為代表的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在計(jì)算機(jī)視覺和圖形學(xué)的諸多任務(wù)中取得了巨大成功。事實(shí)上，通過在大規(guī)模數(shù)據(jù)集上進(jìn)行訓(xùn)練，深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠有效地提取圖形圖像數(shù)據(jù)的高級(jí)語義特征。然而，先已有研究表明，傳統(tǒng)CNN模型本身并不具備常見圖形圖像變換下的不變性。如，傳統(tǒng)卷積操作只對(duì)平移變換具有不變性，以旋轉(zhuǎn)變換為例，如果在訓(xùn)練階段不使用數(shù)據(jù)增廣方法，即使輸入的圖形圖像數(shù)據(jù)只發(fā)生了微小的旋轉(zhuǎn)變換，CNN模型的性能也會(huì)驟降[69-70]。這使得越來越多的研究者開始思考如何提升常見圖形圖像變換下CNN模型的不變性。

顯然，圖形圖像不變量與深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有互補(bǔ)性，若能將前者的變換不變性與后者的高級(jí)語義特征提取能力相結(jié)合，將進(jìn)一步提升CNN模型在圖形圖像領(lǐng)域各類任務(wù)上的性能。為此，文獻(xiàn)[52]使用本文第4節(jié)介紹的方法構(gòu)造圖像仿射矩不變量IMI，并將其引入了CNN網(wǎng)絡(luò)中，如圖9所示。具體而言，首先在各卷積層輸出的特征圖上計(jì)算IMI，然后將其與最后一層卷積層的輸出串聯(lián)并一起輸入全連接層，用來指導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的學(xué)習(xí)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法明顯提升了CNN對(duì)圖像仿射變換的魯棒性。值得注意的是，這種結(jié)構(gòu)適用于任意類型的不變量，以提升CNN模型對(duì)特定變換的不變性。部分研究者通過修改標(biāo)準(zhǔn)卷積操作來提升CNN的不變性。事實(shí)上，對(duì)某種變換具有不變性的卷積操作具備提取該變換下圖形圖像不變特征的能力。最近，文獻(xiàn)[53]提出了梯度對(duì)齊卷積，使用其替換CNN中的標(biāo)準(zhǔn)卷積可以實(shí)現(xiàn)模型對(duì)圖像旋轉(zhuǎn)變換的不變性。由于旋轉(zhuǎn)不變性被固化在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，不需要使用數(shù)據(jù)增廣方法對(duì)修改后的CNN模型進(jìn)行訓(xùn)練。相比于其他同類方法，該網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)在具有旋轉(zhuǎn)特性的MNIST-rotation和Plankton-sub-rotation等數(shù)據(jù)集上取得了最優(yōu)結(jié)果。

圖9 圖像仿射不變量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

8 總結(jié)與展望

在過去二十年中，本研究團(tuán)隊(duì)對(duì)圖形圖像積分與微分不變量進(jìn)行了較為系統(tǒng)的研究，得到了大量常見變換下圖形圖像矩不變量和微分不變量的實(shí)例，并測試了其在實(shí)際任務(wù)中的性能，本文對(duì)相關(guān)工作進(jìn)行了總結(jié)和回顧，重點(diǎn)介紹了如何使用簡單的基本生成函數(shù)構(gòu)造仿射變換下圖形圖像的矩不變量，并利用矩不變量與微分不變量的同構(gòu)關(guān)系獲得仿射微分不變量；簡要回顧了射影變換、反射變換、莫比烏斯變換、圖像模糊和向量函數(shù)全變換下圖形圖像矩不變量或微分不變量的生成與應(yīng)用；為了提升深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在常見圖形圖像變換下的不變性，說明了如何將圖形圖像不變量引入CNN模型，并設(shè)計(jì)了對(duì)圖像旋轉(zhuǎn)變換具有不變性的梯度對(duì)齊卷積操作。

未來的研究將主要聚焦于以下3個(gè)方面：定義復(fù)雜變換模型更好的模擬真實(shí)的圖形圖像形變，構(gòu)造新變換下的矩不變量與微分不變量；分析高階積分與微分不變量的幾何含義，為其賦予明確的語義信息；通過分析不變量與深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)勢與劣勢，將不變量或其他不變特征構(gòu)造過程中獲取不變性的手段和方法引入深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，進(jìn)一步增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)于常見變換的不變性，從而提升其在分類或檢索任務(wù)中的準(zhǔn)確率。

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The construction and application of integral invariants and differential invariants of graphics and images

MO Han-lin1,2, HAO You1,2, GUO Rui1,2, HAO Hong-xiang1,2, ZHANG He1,2, LI Qi1,2, LI Hua1,2

(1. Key Laboratory of Intelligent Information Processing, Institute of Computing Technology, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China; 2. School of Computer Science and Technology, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

As common features for graphics and images, differential invariants and integral invariants represented by moment invariants play significant roles in such fields as computer vision, pattern recognition, and computer graphics. In the past two decades, based on fundamental generating functions, our research group have constructed moment invariants of various data types of graphics and images, including grayscale images, color images, vector fields, point clouds, curves, and mesh surfaces, under the conditions of geometric transforms, color transforms, image blurring, and total transforms. The research proved the existence of the isomorphism between geometric moment invariants and differential invariants under affine transform, proposed a simple method for the generation of affine differential invariants by means of this property, and further derived differential invariants of graphics and images under projective transform and M?bius transform. In order to enhance the invariance of deep neural networks for the commonly used graphic/image transform models, the exploration was conducted on how to combine certain invariants of graphics or images with deep neural network models. This paper reviewed and summarized our previous work. In addition, a brief introduction was presented on how to utilize fundamental generating functions to generate geometric moment invariants and differential invariants of graphics and images under affine transform. Analyses were also undertaken on typical applications, advantages, and disadvantages of graphic and image invariants, with future research plan proposed.

transforms of graphics and images; feature extraction; moment invariants; differential invariants; image classification; shape analysis; template matching

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2022061182

A

2095-302X(2022)06-1182-11

2022-07-31；

：2022-11-06

國家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目(2017YFB1002700)；國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61379082)

墨瀚林(1992-)，男，博士研究生。主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)視覺與模式識(shí)別。E-mail：mohanlin@ict.ac.cn

李 華(1957-)，男，研究員，博士。主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)圖形學(xué)。E-mail：lihua@ict.ac.cn

31 July，2022；

6 November，2022

National Key R&D Program of China (2017YFB1002700); National Natural Science Foundation of China (61379082)

MO Han-lin (1992-), Ph.D. candidate. His main research interests cover computer vision and pattern recognition. E-mail：mohanlin@ict.ac.cn

LI Hua (1957-), professor, Ph.D. His main research interest covers computer graphics. E-mail：lihua@ict.ac.cn