基于擾動觀測器的固定時間控制器設計

張雯雯, 吳中華, 卜旭輝

(河南理工大學，河南 焦作 454000)

0 引言

穩定性、準確性(控制精度)與快速性(瞬態性能)是衡量控制系統品質的3項重要指標。在系統穩定的前提下，有限時間控制由于具有收斂速度快、跟蹤精度高等優點被廣泛應用[1-6]。為實現有限時間控制，控制律設計往往采用小于1的分數冪項。但虛擬控制律反復求導會引起控制律奇異問題，且有限時間控制的收斂時間與系統初始條件密切相關，若初始狀態遠離其平衡點，會導致系統收斂時間大幅增加。因此，不依賴系統初值的固定時間控制方法迅速成為當前的研究熱點。文獻[7]給出了固定時間穩定的定義，以及相關定理;文獻[8]將固定時間理論用于多輸入多輸出系統；文獻[9]利用固定時間穩定理論，針對一類非線性系統設計了非奇異終端滑模控制器;文獻[10]提出了一種平滑切換方法有效地避免了反演控制中的奇異問題;文獻[11]利用上述平滑切換策略，針對一類嚴格反饋非線性系統提出了基于反演控制的固定時間跟蹤控制算法，但該算法在設計過程中需要求解n元方程來獲取切換系數，大大增加了控制器設計中參數的數量，不利于工程實現，且上述基于平滑切換的固定時間控制算法未考慮外界擾動對系統的影響。因此，對不含分數次冪項的光滑反演固定時間控制器設計方法需進一步深入探討。

擾動觀測器作為解決系統外界干擾的有效途徑之一，其相關方法得到了廣泛應用[12-16]。文獻[17]針對具有外部擾動的非線性系統設計了擾動觀測器，保證系統內所有信號的一致漸近收斂性;文獻[18]提出反步法與擾動觀測器相結合的復合控制策略，有限時間內收斂提高了閉環系統的收斂速度和抗干擾能力;文獻[19]研究了具有非匹配擾動的二階多智能體系統固定時間跟蹤問題，為避免奇異問題設計了新型滑模面。但上述擾動觀測器僅能應用于二階以下低階系統，不能直接擴展到適用于反演控制算法的高階嚴格反饋非線性系統(若擾動觀測器中包含小于1的分數次冪，反演虛擬控制求導仍會引起奇異問題)。因此，對具有外界非匹配擾動的嚴格反饋非線性系統擾動觀測問題需要進一步深入研究。

針對上述問題，本文提出一種改進擾動觀測器的設計方法，有效消除了外界非匹配擾動的不利影響。

1 問題描述及預備知識

1.1 問題描述

考慮如下外部非匹配擾動的非線性系統

(1)

注1 在實際的工業生產過程中，許多系統的數學模型或可以轉換為系統，并通常包含擾動。如文獻[20]中的單機無窮大總線電力系統，文獻[21]中的機器人系統等。

注2 匹配擾動是指擾動和控制輸入在同一通道進入系統，而在實際系統中常常遇到非匹配擾動，如磁懸浮系統[22]和液壓伺服系統[23]。

針對具有外界非匹配擾動的嚴格反饋非線性系統，設計一種改進擾動觀測器與不含分數次冪項的固定時間反步控制算法，將觀測擾動估計值補償到標稱反步控制中以達到消除外界擾動、實現閉環系統固定時間收斂的目的。為方便書寫，下文中的時間t均被省略。

1.2 預備知識

考慮如下系統

(2)

式中:x(t)∈Rn,是系統狀態變量;f(x(t))表示已知非線性光滑函數;x(0)=x0,為系統的初始狀態。

引理1[24]假設存在一個連續可微光滑的正定函數V(x)，有

(3)

式中，x∈Rn，υ1>0，υ2>0，p>1，0

(4)

引理2[25]設x∈R,y∈R，m>1，n>1，且滿足(m-1)(n-1)=1，ε>0，則有

(5)

引理3[26]對于任意的常數ε>0，及任意變量z∈R，有如下不等式成立

(6)

引理4Cauchy-Schwarz不等式,對于任意xi≥0，i=1,2,…,n，有

(7)

引理5[27]對于xi∈R，i=1,2,…,n以及l∈[0,1]，有

(8)

2 固定時間控制器設計

為消除非匹配擾動對系統的影響，首先,設計固定時間擾動觀測器對擾動進行在線估計；然后，結合擾動觀測器估計值，運用反步法設計不含分數次冪項的光滑實際固定時間控制器；最后，采用Lyapunov方法對系統穩定性進行分析。

2.1 固定時間控制器設計

2.1.1 擾動觀測器設計

針對非匹配外界擾動，設計新型擾動觀測器為

(9)

(10)

(11)

擾動誤差的導數可表示為

(12)

2.1.2 復合控制器設計

1) 步驟1。構造如下Lyapunov函數

(13)

對式(13)兩端求導，可得

(14)

(15)

式中,ε1>0,ζ1>0,k1>0,K1>0，皆為設計的參數變量。

將式(15)代入式(14)，可得

(16)

(17)

(18)

式(16)中，

(19)

由引理2可知

(20)

故式(19)轉化為

(21)

(22)

將式(17)代入，可得

(23)

2) 步驟i。2≤i≤n-1：選擇第i個子系統的Lyapunov函數為

(24)

Vi對時間的導數可表示為

(25)

設計擾動觀測器和虛擬控制律分別為

(26)

由引理2和引理3，式(26)代入式(25)可寫為

(27)

3) 步驟n。選擇第n個子系統的Lyapunov函數為

(28)

式(28)求導可得

(29)

(30)

且有

(31)

結合引理2和引理3及式(30)～(31)，則式(29)為

(32)

2.2 穩定性分析

定理1若系統滿足1.1節假設1，其擾動觀測器及控制律分別設計為式(9)及式(10)，則根據引理1，系統為固定時間收斂。

證明:定義閉環系統的Lyapunov函數為

(33)

對Vn兩端求導，可得

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

根據引理4和引理5有

(39)

結合引理1，收斂時間為

(40)

3 數值模擬及仿真實例

本文通過Matlab對比仿真驗證所提復合控制算法的有效性(對比算法為文獻[28])。分別通過數值模擬系統和仿真實例——倒立擺系統[29]進行仿真。選擇合適的系統控制參數，在初始值不同情況下分別得出系統輸出、控制輸出曲線，通過對比系統穩定時間來表明所提擾動觀測器的優點，驗證所提擾動觀測器的實用性。

3.1 數值模擬系統

為驗證所提擾動觀測器和控制律的優越性，考慮一個數值模擬系統

(41)

系統在3種不同情況下的初始狀態分別定義為x(0)=[0.20.1]，x(0)=[0.50.5]，x(0)=[1.51.5]。

控制器參數設計如表1所示。

表1 控制器參數(式(41))Table 1 Controller parameters (Formula (41))

仿真結果如圖1、圖2所示。

圖1 系統輸出對比Fig.1 Output comparison

圖2 控制輸入對比Fig.2 Control input comparison

圖中，x(0)為本文算法初始狀態，x′(0)為對比算法初始狀態。圖1為本文算法輸出y和對比算法輸出ys，圖2為本文算法控制輸入u和對比算法控制輸入us。由仿真觀測結果可看出，當初始值不同時，本文算法可以在1.5 s內快速收斂，并保持穩定，具有更強的抗干擾能力，增強了系統的魯棒性。

3.2 仿真實例——倒立擺系統

本節采用倒立擺模型驗證所提復合控制算法的有效性。根據文獻[29]，倒立擺系統模型為

(42)

式中:V為倒立擺轉樞處垂直向下的力；H為水平方向的力；M為車的質量；m為倒立擺的質量；l為倒立擺的長度；J=ml2/3，是關于重心的轉動慣量;y為轉樞的位移；θ為倒立擺的角位移(順時針方向測量)；g為重力加速度;u為水平推力。

(43)

式中:f為非線性光滑函數；b為系統輸入u的系數

(44)

(45)

對比算法與3.1節相同，控制器參數設計如表2所示。

表2 控制器參數(式(43))Table 2 Controller parameters (Formula (43))

仿真結果如圖3、圖4所示。圖3為系統輸出軌跡對比，圖4為控制輸入軌跡對比。由圖3～4可知，當狀態初始值不同時，對比算法收斂速度較快，在2.5 s系統進入穩定狀態，而本文算法所提出的固定時間控制使系統在1.5 s進入穩定狀態。綜上，本文所設計的基于固定時間收斂的擾動觀測器具有更好的控制性能，能夠滿足快速性和高精度的任務需求。

圖3 系統輸出軌跡對比Fig.3 Output comparison

圖4 控制輸入軌跡對比Fig.4 Control input comparison

4 結論

本文針對具有外界非匹配擾動的嚴格反饋非線性系統，設計了一種改進固定時間擾動觀測器，提出了結合擾動觀測器與反演控制器的復合控制方案。在避免奇異問題的基礎上實現固定時間收斂，通過定義合適的Lyapunov函數證明了擾動觀測器的穩定性，完成了不同初值下擾動觀測器的仿真測試。仿真結果表明，本文所提出的擾動觀測器和控制器具有收斂速度快、結構簡單、易于工程實現的優點。