地磁測量衛星的矢量磁場在軌標定算法仿真*

杜雯 黃河 周軍

(西北工業大學航天學院 西安 710072)

0 引言

地磁測量衛星是獲取高精確地球磁場數據的重要手段，可為資源勘探、磁場導航、空間環境監測等領域提供技術支撐[1,2]，例如丹麥Oersted 衛星、德國CHAMP 衛星、歐空局Swarm 星座任務以及中國張衡一號電磁監測試驗衛星等。中國目前正在開展高精度磁場測量衛星的研制，然而對于高精度磁場測量衛星的數據標定問題，特別是從0 級到1 級數據的處理，還缺少系統研究[3]。

高精度地磁測量衛星的地磁場測量載荷主要包括矢量磁強計、標量磁強計和星敏感器。其中，矢量磁強計探測三分量矢量磁場，標量磁強計探測地磁場強度。通常為了避免衛星本體磁場干擾對磁強計測量的影響，將磁強計安裝在星體外伸展桿的光學平臺上。由于工藝水平的限制，矢量磁強計在實際使用過程中受到三軸非正交角、標度因子以及偏差的影響，其測量值不能作為絕對準確值。在衛星發射前，矢量磁強計會在實驗室進行校正和對準（飛行前校正）[4]。由于衛星在軌運行的環境條件實驗室無法真實模擬，同時矢量磁強計的偏差和標度因子受時間和溫度的影響，矢量磁強計數據的定期校準是保證精確測量的必然選擇[5]。

地球磁測衛星磁場數據校正精度要求高，校正過程需考慮測量儀器參數的變化以及矢量磁強計所處平臺的條件，保證校正后的磁場誤差在滿足精度要求的前提下盡可能節省運算時間。

對于衛星地磁場數據校正問題，主要有兩種思路：一是采用基于橢球軌跡約束的誤差修正方法，即針對固定點的磁場測量值約束在橢球軌跡上[6-7]，該方法限制磁場強度為定值，不符合地磁測量衛星大范圍磁場測量的要求；二是衛星在軌工作過程中，對磁強計進行標定，其基本思想是基于大量在軌實測磁場強度數據和磁場三分量矢量數據，由兩種數據獲取磁場強度的標量差值，進而辨識磁強計誤差參數，保證在儀器參數變化情況下仍能獲取高精度磁場數據。對于矢量磁強計的標定問題，文獻[8,9]利用CryoSat-2衛星在軌數據，探討了星體內平臺磁強計測量數據的預處理和校準步驟，并考慮了蓄電池、太陽能電池以及磁力矩器引起的磁干擾；文獻[10]結合已校準的磁場數據和地磁臺數據對多個衛星平臺磁強計的參數和磁場參數進行聯合估計，建立了時變地磁場模型；文獻[11]針對高精度星敏感器受溫度影響帶來的誤差進行研究，采用歐拉角與平臺不同位置溫度的線性關系進行建模分析，改善了姿態確定精度，得出星敏感器坐標系與地磁參考系之間的誤差角并非完全由光行差引起，同時受平臺溫度分布影響的結論。文獻[12] 研究了在CHAMP 衛星與SWARM 衛星數據空缺的情況下，采用線性化方法對衛星平臺式磁強計數據進行校準整理，彌補了數據空缺；文獻[13]采用改進的最小二乘算法，對磁通門磁強計三軸正交性和零點漂移進行修正，但其校正模型需進行多項式代入合并，過程較為繁復。對于矢量磁強計多參數估計的情況，計算過程更加復雜。

本文針對地磁測量衛星數據精度要求高、外部環境條件不確定等特點，考慮矢量磁強計非正交角、標度因子和偏差的影響，建立矢量磁強計9 參數線性誤差模型，利用標量磁強計的磁場強度數據，分別設計了基于小量近似的線性校正算法和基于參數辨識更新的非線性校正算法并進行仿真校驗，實現對矢量磁強計參數的辨識分析，考慮了測量噪聲對校正算法精度的影響。同時，為避免標量測量值中的異常值對算法精度的影響，將算法中的權重函數改進為Tukey 權重函數。結果表明，在矢量磁強計9 參數誤差模型及特定的噪聲狀態下，線性算法與非線性算法校正結果相似，誤差均在0.5 nT 以內，滿足高精度磁場數據探測的需求，適用于地磁測量衛星的0 級數據校正。

1 矢量磁強計線性輸出模型

地磁測量衛星為保證地磁場測量的精確性，配備有多種磁場測量載荷，包括VFM 矢量磁強計、ASM標量磁強計以及高精度星敏感器。在衛星進行磁場數據處理之前，應已根據GNSS 載荷觀測得到精密軌道數據；矢量磁強計測量其坐標系下磁場三分量值，標量磁強計測量地磁場總強度，校準磁場矢量測量結果；去除衛星本體的磁場擾動，對磁場數據進行重采樣，結合慣性姿態信息將磁強計輸出磁場轉換至地理坐標系下。所有處理部分均依賴于發射前在地面對載荷與衛星進行的標定與測試，其標定測試的參數結果準確性決定了星上數據處理的精度。為獲取矢量磁強計的精確指向信息，同時保證磁場測量精度，矢量磁強計與星敏感器安裝在星體外伸展桿中部的光學平臺上[14]。高精度星敏感器包含三個觀測單元，測量矢量磁強計的慣性姿態信息（孔間角誤差＜3''）。該安裝結構在Oersted，CHAMP 和SWARM 衛星上都有所應用。此結構既減小了矢量磁強計內部線圈對標量磁強計磁場測量的影響，還可以確保磁強計輸出結果中來自衛星本體磁場的磁凈度。本文重點研究矢量磁強計輸出數據在非正交角、標度因子以及偏差的影響下，利用標量磁強計讀數對磁場矢量進行標量校正的數據處理方法。

矢量磁強計線性輸出模型如下[15]：

式中，BVFM=[Bx,By,Bz]T（單位nT）為矢量磁強計處的真實磁場矢量，E=[Ex Ey Ez]T（單位nT）為矢量磁強計輸出磁場矢量，矩陣S∈R3×3為矢量磁強計的標度因子矩陣，矩陣P∈R3×3描述正交系下真實磁場矢量轉換至矢量磁強計的非正交系下，b=[bx0by0bzo]T（單位nT）描述矢量磁強計三軸固有偏差。

矢量磁強計的標度因子矩陣S為三軸靈敏度構成的對角陣形式，不考慮軸間干擾，可寫為

式中，Sx，Sy，Sz分別為三軸標度因子，三者均為接近1 的常數（無量綱），不考慮軸間串擾。

考慮到矢量磁強計機械軸不可能完全正交，三軸非正交角定義如圖1 所示。Ox′y′z′表示矢量磁強計測量磁場非正交坐標系，Oxyz為正交坐標系，U1，U2，U3表示正交系與非正交系之間的夾角，三者均為小角度。非正交系坐標軸x′軸投影在Oxy，Oxz平面，與x軸的夾角分別為非正交角U2，U3；y′軸與y軸的夾角為非正交角U1；z′軸與正交系z軸重合。

圖1 非正交角定義Fig.1 Definition of the non-orthogonalities

描述矢量磁強計非正交性的矩陣可表示為

2 標量校正算法設計

針對以SWARM 為代表的地磁測量衛星矢量磁強計與標量磁強計的安裝特點以及工作原理進行校正算法設計。

標量磁強計利用塞曼效應進行磁場測量，其測量值與磁場方向、溫度和時間無關。而且，由于標量磁強計距離衛星本體較遠且不受外界環境影響，可利用磁場標量測量值對矢量數據進行校正。

2.1 基于小量近似的線性校正算法

在矢量磁強計線性輸出模型基礎上，由于U1，U2，U3均為小角度，式（3）可簡化為[16]

式中，ax′y′，ax′z′，ay′z′表示傳感器任意兩軸間夾角。式（4）可記為

式中，k1～k6為線性校正模型的校正系數。

矢量磁強計處的地磁場強度為

矢量磁強計三軸輸出值為

式中，ΔBx,y,z為矢量磁強計測量誤差。由式（5）可進一步得到

矢量磁強計與標量磁強計磁場測量的標量殘差可表示為

具體推導為

式中，FASM為標量磁強計測量的磁場標量值，具體表示為

將式（8）代入式（9）中，標量殘差可表示為矩陣形式

式中，k為待求校正參數矢量；M為磁場數據矢量，具體表示為

針對上述線性模型采用迭代重加權最小二乘（Iteratively Reweighted Least Squares，IRLS）算法實現。損失函數定義為

待求參數矢量為

R為正則化項，減少迭代過程中由于矩陣奇異造成結果不準確的情況。通過適當選取參數p、正則化項以及迭代次數，實現損失函數的極小化。

2.2 基于參數辨識更新的非線性校正算法

基于參數辨識更新的非線性校正算法采用非線性最小二乘方法，從極小化磁場標量殘差的角度出發，直接考慮非正交角、偏差以及標度因子矩陣對磁場測量的影響。相比線性校正算法中簡化非正交性矩陣得到的線性校正模型，非線性校正算法直接對矢量磁強計的誤差參數進行辨識更新，直接得到非正交角、偏差以及標度因子的校正結果。

由式（3）矢量磁強計處的磁場矢量，得到磁場標量表達式為[17]

式中，矢量磁強計標度因子、非正交角及偏差共9 個參數，可由參數矢量m表示，有

矢量磁強計與標量磁強計磁場測量的標量殘差可以表示為

式中，δdk為第k次迭代的殘差；Gk為Jacobi 矩陣；權重矩陣在每次迭代中更新，為對角陣形式。具體表示為

式中kwi為第k次迭代中權重矩陣的對角線元素，取決于第k次迭代中每個樣本點對應的殘差量大小。

3 仿真校驗

3.1 仿真數據模擬

由于目前國際上SWARM 等衛星并未公開磁場探測的0 級數據，為驗證本文算法的有效性，為中國后續高精度地磁測量衛星磁場標定提供參考，這里通過數學仿真的方式構造原始探測數據。由國際通用地磁場模型IGRF13 系數以及磁位函數的球諧表達式，建立地球磁場模型[18]。地磁位的球諧函數表達式為

式中，a為地球半徑，r為觀測點離開地心的徑向距離，θ為地理余緯；λ為 東經；(cosθ)為n階m次的締合勒讓德函數；N′取14；和為地磁場球諧系數。圖2 給出了全球地磁場仿真結果。

圖2 全球等強度地磁分布Fig.2 Global geomagnetic map of equal intensity

針對某地磁測量衛星，軌道高度400 km，軌道傾角87.357°，升交點赤經297.019°，衛星軌道為圓軌道，考慮地球扁率攝動的影響。

假定標量磁強計與矢量磁強計初始采樣頻率均為50 Hz，標量磁強計測量值的固定誤差設置為0.3 nT，其他仿真參數在表1 中給出。衛星本體坐標系定義為：O點位于衛星質心，Ox軸在軌道平面內指向速度方向，Oz軸指向地心，Oy軸垂直于軌道平面且與Ox和Oz軸構成右手坐標系。假設衛星本體系與矢量磁強計坐標系重合。

表1 不同情況下非線性校正算法參數辨識結果與初始參數對比Table 1 Parameter identification results of the nonlinear correction algorithm in different cases compared with the initial parameters

3.2 標量校正算法對比

在上述初始參數給定的情況下，研究引入傳感器誤差后兩種校正方法的有效性。將兩種校正方法進行對比分析，在仿真中不考慮其他磁場干擾的影響。

衛星本體坐標系下的磁場仿真數據（共計124000 組）如圖3 所示。從圖4 可以看出，傳感器初始參數設置帶來的x軸磁場測量誤差最高達85 nT，y軸誤差最高達98 nT，z軸誤差最高達81 nT。

圖3 采樣頻率為50 Hz 時的磁場仿真數據Fig.3 Magnetic field simulation data at sampling frequency of 50 Hz

圖4 三軸初始測量誤差Fig.4 Initial measurement errors of the three axes

圖5 表明，經線性校正算法校正后，三軸誤差在±0.352 nT 范圍內變化，標量殘差在±0.0008 nT 范圍內變化。圖6 表明，經非線性算法校正后，磁場三軸誤差在±0.341 nT 范圍內變化，標量殘差在±0.0007 nT 范圍內變化。

圖5 經線性模型校正后的磁場三軸誤差變化曲線以及標量殘差Fig.5 Magnetic field errors and scalar residuals after linear model correction

圖6 經非線性模型校正后的磁場三軸誤差以及標量殘差變化曲線Fig.6 Magnetic field errors and scalar residuals after nonlinear model correction

對比兩種算法的校正結果，在考慮矢量磁強計非正交角、標度因子和偏差的影響下，兩種算法校正結果基本相同。

基于小量近似的線性校正算法通過更新磁場矢量數據和誤差模型參數實現校正效果，最終的辨識參數為校正后矢量磁場數據（誤差＜0.5 nT）對應的誤差參數；基于參數辨識更新的非線性校正算法通過不斷更新誤差模型參數，使其逼近磁場矢量測量數據對應的誤差參數，實現校正效果。

非線性校正后的傳感器參數辨識結果列于表1，偏差量誤差在±0.23 nT 以內，三軸標度因子誤差保持在±0.000006 nT 以內，非正交角誤差在±0.0004°以內，辨識后傳感器參數均保持在較高精度。

3.3 噪聲干擾情況下仿真對比

分析矢量磁強計不同形式測量噪聲干擾對校正方法的精度影響。由于兩種校正方法在噪聲干擾情況下的校正結果相似，因此這里給出了非線性方法的校正結果。

添加幅值為0.15 nT 的高斯白噪聲，校正后三軸誤差由于受矢量磁強計誤差的限制，其振蕩幅值在±0.6 nT 以內。標量殘差受噪聲影響較大，其范圍由±0.0007 nT 增大至±0.5 nT。添加幅值為1 nT 的高斯白噪聲，三軸誤差水平基本保持在±2.5 nT 以內。對比圖7 和圖8 可以看出，校正后三軸誤差與標量殘差的幅值均與噪聲相關，表明噪聲對傳感器誤差造成了疊加影響，標量殘差受噪聲影響較大。圖9 給出了矢量磁強計存在幅值為0.5 nT 的均勻分布噪聲和周期性噪聲時，經算法校正后的三軸誤差。結果表明，校正誤差不受噪聲形式影響，基本與噪聲的幅值水平保持一致，誤差分布與噪聲具體分布相關。結合表1 不同形式的噪聲干擾對比結果可以得出，參數辨識結果僅與噪聲幅值相關，與噪聲形式無關。

圖7 添加幅值為0.15 nT 高斯白噪聲干擾后的校正結果Fig.7 Calibrating results disturbed by Gaussian white noise which amplitude is 0.15 nT

圖8 添加幅值為1 nT 高斯白噪聲干擾后的校正結果Fig.8 Calibrating results disturbed by Gaussian white noise which amplitude is 1 nT

圖9 添加幅值為0.5 nT 均勻分布噪聲和周期性噪聲干擾后的校正結果Fig.9 Calibrating results disturbed by uniform noise and periodical noise which amplitude is 0.5 nT

3.4 異常擾動情況下仿真對比

考慮標量磁強計測量過程中，可能由于數據處理單元電壓的瞬變導致測量結果中出現異常值[19]，同時考慮該異常體現在標量磁場測量值的瞬間突變，且無法通過數據預處理進行消除。這里針對磁場標量數據的異常擾動問題，對線性和非線性校正算法的處理結果進行分析。

在標量數據中添加單次大小為2 nT 的異常擾動，該異常擾動由瞬間脈沖仿真實現，矢量數據不受標量異常的影響。

由圖10 可以看出，標量數據存在2 nT 的異常擾動時，對線性算法校正精度影響較大。考慮線性校正算法第k次迭代中利用k-1 次校正結果，將異常值造成的誤差反復迭代，因此受標量數據異常值的影響較大。增大異常擾動至5 nT，非線性校正算法精度也受到影響。由于兩種算法均通過最小化均方誤差實現參數求解，擴大了異常值帶來的影響。為提高算法的魯棒性，將權重函數改進為Tukey 權重[20]，有

圖10 標量數據中添加2 nT 異常擾動后的校正結果Fig.10 Calibrating results of scalar data adding 2 nT anomaly perturbation

式中，δi為數據殘差，ε為定義異常值的削波函數。Tukey 權重函數通過削弱標量數據中異常值的權重，提高算法的魯棒性。數據中的異常值由削波函數ε體現，當數據對應的擬合殘差大于ε定義的閾值時，則視為異常值。Tukey 權重函數使異常值處權重為0，不參與算法運算，降低干擾。改進權重函數后，標量數據添加10 nT 的異常擾動，兩種校正算法的標量殘差如圖11 所示，兩種算法基本不受異常值的影響。同時，由表1 非線性算法參數辨識結果可以看出，權重函數的改進提高了非線性校正算法的參數辨識性能。這表明在應用Tukey 權重函數有利于提高算法的抗干擾能力。

圖11 標量數據中添加10 nT 異常擾動后的校正結果Fig.11 Calibrating results of scalar data adding 10 nT anomaly perturbation

4 結論

針對地磁測量衛星矢量磁強計測量誤差的在軌標定問題，分別設計了基于小量近似的線性校正算法和基于參數辨識更新的非線性校正算法，仿真了傳感器誤差影響下的磁場測量數據，校驗分析了兩種磁場標定算法的效果。其中，基于小量近似的線性校正算法在考慮矢量磁強計非正交角均為小量的基礎上進行設計，同時矢量磁強計的誤差模型僅考慮非正交角、標度因子和偏差的影響，因此線性校正算法的近似是允許的。衛星在軌運行期間，由于不確定性因素引起的建模誤差，對于小量近似的線性模型校正方法具有一定局限性。非線性校正算法從矢量磁強計誤差模型參數辨識更新的角度出發，通過求解矢量磁強計誤差參數矢量的Jacobi 矩陣實現磁場測量數據校正。相比線性校正算法，基于參數辨識更新的非線性校正算法的參數擴展性更強，更適用于復雜誤差模型的磁場數據校正。

仿真結果表明，在考慮矢量磁強計標度因子、偏差、小角度非正交角的影響且矢量磁強計測量噪聲幅值低于0.5 nT 的情況下，兩種算法校正后的三軸誤差均在0.5 nT 以內，非線性校正的辨識參數與初始參數誤差在合理范圍內，算法不受測量噪聲的影響。同時，將算法中關于殘差的權重函數改進為Tukey 權重函數提高了算法的魯棒性，適用于地磁測量衛星磁場探測數據的在軌標定。研究結果可為中國張衡一號、澳門科學一號等高精度地磁測量衛星數據處理提供參考。