重力勢能零勢能面選取地面而非無限遠處的定量分析

陳 澤 徐 華 張新玉

（鹽城師范學院物理與電子工程學院，江蘇 鹽城 224002）

1 問題的提出

為什么零勢能面隨著研究對象的運動特點的不同而不同？要解決這種困惑，必須從勢能面選取的原則性、合理性、簡潔性入手，運用物理建模、定量分析的科學思維方法，深刻理解零勢能面的物理內涵.在此基礎上，引導學生運用科學思維與探究能力形成清晰的能量觀念，提升學生的物理核心素養.［1］重力勢能屬于能量觀念范疇，是物理學中重要的物理概念.重力勢能的大小由零勢能面決定.重力勢能的零勢能面一般選取地面；另一方面重力勢能作為特定情況下的引力勢能，而引力勢能的零勢能面通常又選取無限遠處.這一看似習以為常的零勢能面選取方法，實際上蘊含著豐富的物理思想.本文將對這一有趣且重要的物理問題作詳細，深入的分析.

2 問題的分析

本文關于重力勢能與引力勢能的表述需要指出的是，物體在地表附近運動時，物體運動的空間尺度相比地球半徑可以忽略.此時，引力的大小、方向可以近似看作不變，物體的引力勢能通常可以說成重力勢能；而物體在遠離地表運動時，物體的空間運動尺度與地球半徑處于同一數量級，此時引力的大小、方向在運動過程中，變化比較明顯，一般不說成重力勢能.因此，重力勢能是特定情況下的引力勢能.

2.1 以無限遠處為零勢能面

如圖1所示，假設一物體從A點經B點運動到C點.分析物體運動過程中的運動規律，一種是以力，加速度，速度，位移為基本概念來描述物體的運動特點；另一種是以功、能量之間的轉化來描述物體的運動特點.后者是在前者認識上的升華.為了從能量觀念上認識該物體的運動規律，顯然需要建立動能、重力做功、重力勢能這些物理概念.重力勢能這一概念又建立在重力做功概念的基礎上.為了討論問題的方便，這里忽略空氣阻力.某一位置物體的引力勢能是物體從該位置運動到零勢能面過程中引力所做的功.因此，若選擇無限遠處為零勢能面，物體在A點的引力勢能可以表示為［2］

圖1

這里G為萬有引力常量，M為地球質量，m為物體質量，r為物體與地心之間的距離.引力勢能表達式也可以利用微元法與數列求和相結合的初等數學方法推導.［3］接下來，根據公式（1），分析物體在地球表面附近與遠離地球表面兩種情況下引力勢能的特點.

2.1.1 遠離地表

在物體遠離地表時，物體距離地面的高度與地球半徑處于同一數量級，此時物體的引力勢能可通過公式（1）進一步推導得到.其大小表示為

這里RE為地球半徑.從公式（2）可以清晰地看出，物體在遠離地表時，物體的引力勢能與地心的距離r＝RE＋hA成反比.該表達式不但非常簡潔，而且能清晰地反映物體引力勢能隨物體位置變化的規律.因此在研究物體遠離地表運動時，如天體的運動規律，引力勢能的零勢能面選取無限遠處是很顯然的結果.

2.1.2 地表附近

接下來分析公式（2）描述地表附近（hA?RE）物體的重力勢能的不合理之處.物體在地表附近運動過程中，重力勢能的變化量相比重力勢能的大小幾乎可以忽略，導致描述物體在地表附近運動過程中能量轉化的直觀性很差.為了更形象地體現這一缺點，對公式（2）做進一步化簡

2.2 以地面為零勢能面

如圖2所示，若選擇地面為零勢能面，物體在A點的重力勢能可以表示為

圖2

接下來，根據公式（4），仍然分析物體在地表附近與遠離地表附近兩種情況下引力勢能的特點.

2.2.1 遠離地表

在物體遠離地表時，物體距離地面的高度與地球半徑處于同一數量級，此時物體的引力勢能可通過公式（1）進一步推導得到.其大小表示為

2.2.2 地表附近

在地表附近（hA?RE），公式（5）可以進一步化簡為

在地表附近，以物體為研究對象，根據牛頓第二定律可得

聯立公式（7），公式（6）進一步簡化為

公式（8）推導過程利用到常用近似公式：x→0時，（1＋x）n≈1＋nx.［4］公式（8）為常見的重力勢能表達式.這里我們從引力勢能定義出發，以地面為零勢能面，給出了地表附近物體的重力勢能表達式.雖然過程稍顯復雜，但對于揭示地表附近物體的重力勢能應選取地面為零勢能面背后的物理本質，顯得至關重要.從公式（8）可以清晰地看出：以地面為零勢能面，地表附近物體的重力勢能與距離地面的高度hA成正比.該表達式不僅非常簡潔，而且能非常直觀地反映重力勢能隨著hA的變化而變化.因此，在研究地表附近的物體運動時，物體的重力勢能的零勢能面選取地面非常合理.

3 結語

通過從引力勢能為零的定義出發，結合勢能變化與保守力做功之間的關系，采用定量分析的科學思維方法，解釋了物體的運動尺度相比地球半徑可以忽略時，地表附近物體重力勢能的零勢能面選擇地面而不是無限遠處的原因；以及物體的運動尺度相比地球半徑處于同一數量級時，引力勢能的零勢能面選擇無限遠處而不是地面的原因.