對(duì)剛體滾動(dòng)過程中摩擦力做功問題的探討

鄭 金

（遼寧省凌源市職教中心，遼寧 朝陽(yáng) 122500）

1 引出問題

原題.如圖1所示，半徑為R的圓柱體在重力作用下沿斜面連滾帶滑地從頂端運(yùn)動(dòng)到底端，設(shè)斜面的長(zhǎng)為L(zhǎng)，斜面對(duì)圓柱體的滑動(dòng)摩擦力為f，試研究下滑過程中滑動(dòng)摩擦力對(duì)圓柱體所做的功.

圖1

原解：將摩擦力f平移到圓柱體的中心，同時(shí)附加力偶矩M＝f R的作用.平移到圓柱體中心的力f在運(yùn)動(dòng)過程中做的功等于－f L.設(shè)在運(yùn)動(dòng)過程中圓柱體轉(zhuǎn)過的角度為φ（由于有滑動(dòng)，則φR＜L），可知附加力偶矩做的功為Mφ＝f Rφ.所以，摩擦力對(duì)圓柱體做的功為W＝－f L＋f Rφ＜0.

探討：原題及原解來自文獻(xiàn)［1］.對(duì)于原題，是一道關(guān)于剛體在滾動(dòng)過程中摩擦力做功的問題，但在以往的高中物理競(jìng)賽中，有關(guān)剛體滾動(dòng)的試題很少涉及摩擦力做功的計(jì)算，由此看來，原題的難度是比較大的.此外，對(duì)于原解，雖然算出的功為W＝－f L＋f Rφ，但不是最終結(jié)果，因?yàn)榻嵌圈帐俏粗浚€需求出角度φ代入.

2 解決問題

在原題中提到“連滾帶滑”，這種運(yùn)動(dòng)形式屬于非純滾動(dòng)，只有對(duì)非純滾動(dòng)才能談?wù)摗盎瑒?dòng)摩擦力做功”.鑒于此，首先探究圓柱體發(fā)生非純滾動(dòng)的條件，然后對(duì)摩擦力做的功給出3種求解方法.

2.1 推導(dǎo)圓柱體在斜面上做非純滾動(dòng)的條件

設(shè)斜面的傾斜角為θ，發(fā)生純滾動(dòng)的圓柱體側(cè)面受到靜摩擦力大小為f′，質(zhì)心加速度大小為a，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有mg sinθ－f′＝ma.

2.2 推導(dǎo)相對(duì)滑動(dòng)路程的關(guān)系式及其含義

滑動(dòng)摩擦力對(duì)圓柱體做功，包括兩方面，即滑動(dòng)摩擦力f阻礙圓柱體前進(jìn)，做負(fù)功；同時(shí)，滑動(dòng)摩擦力相對(duì)于質(zhì)心提供一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，使圓柱體加速轉(zhuǎn)動(dòng)，做正功.設(shè)質(zhì)心平動(dòng)路程為s，側(cè)面轉(zhuǎn)動(dòng)路程為s1，相對(duì)滑動(dòng)路程為s2，則摩擦阻力對(duì)圓柱體做的功為W0＝－fs，摩擦動(dòng)力對(duì)圓柱體做的功為W1＝fs1，可知摩擦力對(duì)圓柱體做的總功為

W＝W0＋W1＝－f（s－s1）.

滑動(dòng)摩擦力屬于非保守力，由功能關(guān)系可知，滑動(dòng)摩擦力做功的過程，是機(jī)械能減少的過程，即內(nèi)能增加的過程，因此滑動(dòng)摩擦力做功的絕對(duì)值等于摩擦生熱即內(nèi)能W＝Q＝fs2.

聯(lián)立方程可知相對(duì)滑動(dòng)路程為s2＝s－s1.這表明，在圓柱體質(zhì)心平動(dòng)速度與側(cè)面切向速度方向相反的情況下，相對(duì)滑動(dòng)路程等于質(zhì)心平動(dòng)路程與側(cè)面轉(zhuǎn)動(dòng)路程之差.其中平動(dòng)路程是假設(shè)圓柱體不轉(zhuǎn)動(dòng)只平動(dòng)時(shí)側(cè)面滑動(dòng)的路程，即質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的路程；轉(zhuǎn)動(dòng)路程是假設(shè)圓柱體不平動(dòng)只轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)側(cè)面滑動(dòng)的路程，即側(cè)面相對(duì)于質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的路程.

值得注意的是，圓柱體克服摩擦力做的功并不等于產(chǎn)生的熱量，只有總功的絕對(duì)值才等于熱量.這如同光滑水平面上的平板車與車上的物塊發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的過程中摩擦力做的總功，即相互作用的一對(duì)摩擦力對(duì)系統(tǒng)做的功為負(fù)值，其絕對(duì)值等于熱量，等于摩擦力大小與相對(duì)滑動(dòng)路程之積.

2.3 計(jì)算滑動(dòng)摩擦力做的功

下面給出不同于原解的3種方法.

解法1：間接計(jì)算相對(duì)滑動(dòng)路程.

當(dāng)圓柱體發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，質(zhì)心的加速度大小為

a＝g sinθ－μg cosθ.

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

其中動(dòng)摩擦因數(shù)滿足f＝μmg cosθ，可知

因此相對(duì)滑動(dòng)路程為

滑動(dòng)摩擦力做功為

解法2：直接計(jì)算相對(duì)滑動(dòng)路程.

由轉(zhuǎn)動(dòng)定理可知圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為

則側(cè)面相對(duì)于質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度為

a1＝βR＝2μg cosθ.

在接觸面處，切向加速度方向沿斜面向上，質(zhì)心加速度方向沿斜面向下，根據(jù)相對(duì)滑動(dòng)加速度等于質(zhì)心平動(dòng)加速度與側(cè)面切向加速度的矢量和，得

a2＝a－a1＝g sinθ－3μg cosθ.由于初速度為0，則相對(duì)滑動(dòng)的路程為

利用f＝μg cosθ可知摩擦力做的總功為

解法3：應(yīng)用能量守恒定律計(jì)算熱量.

圓柱體的動(dòng)能包括質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能與繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能.由能量守恒定律可知摩擦產(chǎn)生的熱量為

其中vC＝at，ω＝βt.由功能關(guān)系知滑動(dòng)摩擦力做功W＝－Q.

3 結(jié)語(yǔ)

綜上可見，圓柱體在斜面上滾動(dòng)過程中的相對(duì)滑動(dòng)路程是一個(gè)很抽象的物理量，不僅與軸線平動(dòng)的路程有關(guān)，還與側(cè)面相對(duì)于軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的路程有關(guān).若圓柱體側(cè)面相對(duì)于質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的路程與質(zhì)心平動(dòng)的路程不相等，則相對(duì)滑動(dòng)路程不為0，發(fā)生非純滾動(dòng).若在接觸點(diǎn)處的切向運(yùn)動(dòng)方向與質(zhì)心平動(dòng)方向相反，則相對(duì)滑動(dòng)路程等于剛體質(zhì)心平動(dòng)路程與側(cè)面轉(zhuǎn)動(dòng)路程之差的絕對(duì)值；若在接觸點(diǎn)處的切向運(yùn)動(dòng)方向與平動(dòng)方向相同，則相對(duì)滑動(dòng)路程等于剛體質(zhì)心平動(dòng)路程與側(cè)面轉(zhuǎn)動(dòng)路程之和.為了計(jì)算相對(duì)滑動(dòng)路程，關(guān)鍵是把剛體的運(yùn)動(dòng)分解為質(zhì)心的平動(dòng)與側(cè)面繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)都是勻變速運(yùn)動(dòng)，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可求出各自的路程.但要注意側(cè)面的“勻變速”運(yùn)動(dòng)是曲線運(yùn)動(dòng)，而且兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的加速度不同.滑動(dòng)摩擦力做的功為負(fù)值，包括兩方面，即滑動(dòng)摩擦力阻礙圓柱體的平動(dòng)做負(fù)功以及使圓柱體加速轉(zhuǎn)動(dòng)做正功，總功即二者的代數(shù)和為負(fù)值，其絕對(duì)值為圓柱體的機(jī)械能變化量，在數(shù)值上等于系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量，等于摩擦力大小與相對(duì)滑動(dòng)路程之積.