基于改進Benders分解的配電網擴展規劃機會約束優化方法

閆明文，劉惠穎，宮游，李興剛，文茹馨，廖小兵

(1. 國網黑龍江省電力有限公司供電服務中心, 哈爾濱 150000; 2.武漢工程大學 電氣信息學院, 武漢430205)

0 引 言

配電網位于電力系統的末端，起著連接電力系統和用戶并分配電能的作用，是保障電力可靠供應的關鍵環節[1]。一方面，隨著經濟、社會水平的發展導致負荷水平急劇增長;另一方面，基于分布式風電、分布式光伏的分布式電源(Distributed Generation，DG)大量的分散接入，其出力的隨機性、波動性導致配電網的運行方式更加復雜多變。在此背景下，配電網為了適應負荷水平的發展，一方面需要進行變電站、配電線路的擴展規劃[2]，另一方面在規劃過程中需要考慮到分布式電源出力的不確定性[3]。

近年來，為了適應負荷水平增長和DG分散接入，配電網規劃研究從早期的網架規劃發展到源網荷儲的多維協調規劃。文獻[4]考慮了不同的DG類型和負荷類型，研究了源荷協調規劃方法。文獻[5]將電池儲能和分布式電源同時嵌入到配電網規劃模型中，提出了配電網規劃-運行聯合優化模型。文獻[6]在配電網規劃中將電動汽車作為充電負荷，可以通過充電負荷轉移高峰負荷成本，降低了規劃期內的建設成本。文獻[7]進一步將基于風光可再生能源的風光儲充電站嵌入到配電網規劃中，建立了配電網雙層規劃模型。文獻[4-7]是從源網荷儲協調規劃的角度建立完善的配電網規劃模型，但缺乏對DG出力不確定性的考慮。

迄今為止，為了解決DG出力的不確定性，已有研究提出了隨機規劃方法[8]、魯棒規劃方法[9-10]、機會約束規劃方法[11]。配電網隨機規劃方法根據DG出力的概率密度函數生成大量的離散場景集，接著進行場景削減來獲取少量的典型場景集，基于削減場景的隨機優化方法雖然維持了確定性規劃模型，簡單易于實現，但典型場景的代表性和全局性難以獲得精確可靠的規劃方案[12]。而配電網魯棒規劃為了克服隨機規劃的弊端，通過在DG出力的區間范圍內尋求最惡劣場景下的規劃結果，其規劃結果往往偏保守。機會約束規劃方法是允許規劃模型中不等式約束成立的概率不小于某一置信水平，可以避免一些極端惡劣場景下造成配電網規劃投資的浪費，這也是機會約束規劃方法與隨機規劃方法、魯棒規劃方法的最大優勢。文獻[13]建立了綜合設備購置成本、安裝成本、運行維護成本、系統運行成本以及殘值回收的全壽命周期成本模型，考慮了電壓和傳輸容量成立的機會約束，并采用改進人工魚群算法求解，但智能算法固有的收斂性差難以得到全局最優解。文獻[14]考慮了電動汽車大量接入的場景，提出了基于蒙特卡洛模擬的配電網兩階段場景規劃方法，但場景數會隨著配電網維數增大而急劇增加。文獻[15]提出了輸電網和配電網一體化的規劃思路，為了克服場景法和優化維數的問題，提出了分布式求解思路。文獻[16]面向含高比例可再生能源的主動配電網，提出了一種基于典型場景的軟開關機會約束規劃方法。從文獻[14-16]中不難看出，已有的機會約束方法都是基于場景法，其計算效率與場景數之間的矛盾一直制約機會約束優化方法的應用。

為了解決已有配電網機會約束規劃方法的不足，提出了基于雙線性Benders分解的配電網擴展規劃兩階段機會約束優化方法，在第一階段優化投資成本，在擴建線路、變電站增容和電容器組進行投資優化；在第二階段優化運行成本，并通過場景數對負荷需求和電價不確定性進行建模，構建了基于場景的配電網隨機擴展規劃模型，為了進一步提高優化效率，設計了基于雙線性Benders分解的機會約束優化方法。三個測試算例驗證了所提出方法的優越性。

1 配電網隨機擴展規劃模型

首先建立配電網擴展規劃的兩階段優化模型，其中第一階段在規劃層面決策變電站擴建、輸電線擴建和電容器配置；第二階段考慮擴建后的新系統在運行層面進行決策。由于第二階段擴建系統的優化運行是根據隨機負荷和實時電價進行的，采用隨機優化中的場景法來建立配電網擴展規劃模型，以一組離散場景和概率來表征不確定性。

1.1 目標函數

配電網擴展規劃的目標是使得投資成本Cinv和運行維護成本Copr,s最小，其中投資成本Cinv包括變電站、饋線線路和電容器組投資的固定成本和可變成本；運行維護成本Copr,s包括切負荷懲罰成本、網損成本和饋線運行維護成本。因此，所建立的配電網擴展規劃的目標函數用式(1)描述如下：

(1)

其中:

(2)

(3)

1.2 約束條件

配電網擴展規劃模型的約束條件包括系統的功率平衡約束、變電站節點功率約束、饋線電流約束、節點電壓約束、支路潮流約束、變電站容量約束、0-1決策變量約束、變電站和電容器組投資約束、輻射狀網絡約束、擴建饋線電流約束。下面將逐一介紹。

(1)節點功率平衡約束。

(4)

(5)

(2) 變電站節點功率約束。

(6)

(7)

(3) 饋線電流約束。

(8)

(4)節點電壓約束。

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

式(14)是由輔助變量Rij,t,s和Lij,t,s構成的二階錐約束，具體定義見式(15)～式(16)。各支路的實際有功功率和無功功率分別由式(17)、式(18)約束。

(6) 變電站容量約束。

(7)變電站和電容器組投資約束。

(20)

(21)

式中M為一個足夠大的數。

(8)0-1決策變量約束。

(22)

(23)

(24)

式(22)～式(24)表明，如果對現有饋線進行投資(即kij=1)，考慮到網絡拓撲的輻射性要求，舊的饋線必須從網絡斷開(即yij=0)。

(9)輻射狀網絡約束。

(25)

(26)

(27)

(10)擴建饋線電流約束。

(28)

(29)

上述建立的基于場景的配電網擴展規劃模型是一個大規模的混合整數二階錐規劃模型(Mixed Integer Second Order Cone Programming，MISOCP)。雖然商業求解器能求解，但隨著配電網的規模和情景數的增加，優化效率需要進一步的提升。

為了便于推導，本節將建立的基于場景的隨機規劃模型表示矢量形式，定義：

(30)

(31)

式中x表示第一階段規劃層面的投資決策變量；y表示第二階段運行層面的操作決策變量。使用下標表示場景s中的相關參數(gs,Es,ds,Bs,ls,Hs,hs)，因此，配電網擴展規劃的基于場景的隨機優化模型(StoP)可表示為：

(32)

s.t.Fx≤f

(33)

Esys=ds， ?s

(34)

Ax+Bsys≥ls， ?s

(35)

(36)

與第1節建立的基于場景的隨機規劃模型相比，式(33)為投資決策變量約束，式(34)為功率平衡方程約束，式(35)為投資和運行耦合的決策約束，式(36)為二階錐約束。

2 基于雙線性Benders分解的機會約束MISOCP模型求解方法

2.1 基于Big-M的機會約束MISOCP模型求解方法

在第1節建立的隨機規劃模型StoP可以采用Big-M將其轉化為機會約束規劃模型(CC-bigM)，如下所示：

mincx+G(y1,ω1,…,y|S|,ω|S|)

(37)

s.t.Fx≤f

(38)

Esys-ds+Mωs≥0, ?s

(39)

ds-Esys+Mωs≥0, ?s

(40)

Ax+Bsys+Mωs≥ls, ?s

(41)

‖Hsys‖-Mωs≤hsys, ?s

(42)

(43)

ωs∈{0,1}， ?s∈S

(44)

顯然，如果ωs=1，含場景s中的所有約束均不起作用，可以忽略。因此，0-1變量ωs可以用來反映在獲得最優解時包含的場景s。根據式(43)，尋求一個性能良好的規劃解滿足在所有隨機場景中成立的概率不低于(1-ε)×100%，因此，這種機會約束規劃方法忽略了一些場景，在目標函數式(37)中引入了含場景s和ωs的函數G，以獲取第二階段決策的成本貢獻。

2.2 基于雙線性Benders分解的機會約束MISOCP模型求解

雖然2.1節介紹的基于Big-M的機會約束MISOCP模型求解方法將配電網擴展規劃模型轉化為一個混合整數二階錐規劃問題，但由于場景數多導致其計算量仍然很大。由于機會約束優化方法僅關心相關場景中產生的成本，因此，通過推廣Benders分解，提出了基于雙線性Benders分解的機會約束(CC-BL)MISOCP模型求解方法，比基于Big-M的機會約束MISOCP模型求解方法具有更好的優化性能[19]，具體如下所示：

(45)

s.t.Fx≤f

(46)

ηs=gsys(1-ωs), ?s

(47)

(Esys-ds)(1-ωs)=0, ?s

(48)

(Ax+Bsys-ls)(1-ωs)≥0， ?s

(49)

(‖Hsys‖-hsys)(1-ωs)≤0， ?s

(50)

(51)

ωs∈{0,1}, ?s

(52)

注意式(47)中如果ωs=1，即忽略場景s，它不會影響總成本。因此，通過將ωs賦值為1或0，情景s的影響將全部反映在目標函數中。此外，當ε=0，對于所有場景s∈S，則有ωs=0，這將CC-bigM或CC-BL模型簡化為相應的StoP模型。因此，StoP模型作為CC-bigM或CC-BL模型的特例。

Benders分解是一種主子問題結構化方法，但目前主要應用于魯棒優化模型，很少有將這一方法擴展應用到隨機MISOCP或者機會約束MISOCP模型。因此，將擴展Benders分解應用于機會約束機MISOCP模型。下面將介紹雙線性Benders分解的子主問題和迭代過程[20]。

2.3 子問題和主問題

(53)

s.t.Esλs+Bsθs+Hsσs+μshs=gs

(54)

‖σs‖≤μs

(55)

θs,μs≥0,λs,σs任意

(56)

式中θs、μs、λs、σs為對偶變量。

(57)

s.t.Fx≤f

(58)

(59)

(60)

ωs∈{0,1}，s∈S

(61)

可以看出：通過列舉SPs的所有極值點，MP-BL就是CC-BL精確的Benders重構模型。因此，MP-BL本質上是在一個極值點處松弛的CC-BL，其最優值為一個下界。此外，式(59)中的雙線性項可以使用McCormick線性化，從而將MP-BL轉換為混合整數線性規劃問題求解。具體算法流程圖如圖1所示。

3 仿真分析

將通過一個簡單的示例和兩個復雜的配電系統來驗證所提出方法的優點。采用MATLAB 2018b編程實現文中的算法，其中誤差容許度e為0.1%，并在默認設置下采用商業求解器Mosek[21]求解MISOCP模型。

為了便于說明，先將所提出的方法應用于圖1所示的簡單示例中。這個配電系統將在第五年進行擴建，負荷數據如表1所示。假設變電站的固定和可變投資成本分別為20萬$和5萬$/MW。假設饋線投資和維護成本分別為15萬$/km和450 $。電容器組固定和可變投資成本分別為3000 $、 450 $/kvar。年化成本使用r(1+r)y/[(1+r)y-1]計算，其中r為利率，y為年數，這里以15年的投資回報期以10%的利率考慮。假設網損成本是表1給出的價格的10倍。設置7條饋線作為候選線路包括替換現有的線路和新的候選線路5-4和3-5。

圖1 雙線性Benders分解法求解流程圖

表1 負荷數據及其電價

(1)不采用機會約束案例分析：本節設置了三種案例，一種是確定性案例(記為案例0)，另一種是兩種隨機性案例(記為案例1和案例2)，考慮負荷需求和電價的不確定性，采用均勻分布得到10個等可能性的場景，其中負荷需求和電價根據表2中的數據進行縮放，比例因子是從[0.5, 3]區間獨立生成的隨機數，優化得到的配電網擴建結果如圖2所示。案例0不需要投資，僅通過移除饋線3-4實現輻射狀拓撲。案例1的結果表明，將現有的2個支路1-2和2-5支路替換為容量更大的支路，變電站增容了0.116 p.u.。案例1也不需要投資，刪除現有分支2-4以增加輻射性。

圖2 原網絡和擴建網絡示意圖

表2 隨機場景數據

(2)機會約束案例分析：對表2中案例1所描述的情景采用機會約束模型進行求解，得到機會約束水平分別為100%、90%、80%、65%的規劃結果如表3所示。對于這個小系統，得到的規劃結果與圖1中案例1基本上相似。觀察最昂貴成本的場景，即4、3、6(見表2)，隨著機會約束水平的降低而下降。因此，通過調整機會約束水平，決策者可以在擴建成本和期望的安全風險之間進行權衡。

表3 不同機會約束水平規劃結果對比

(3)優化性能分析：表4比較了三種不同優化方法的優化性能。如果由于程序運行時間超過1 h不能得到最優解，結果被標記為“T”。三種優化方法依次是基于商業求解器Mosek求解(直接求解Stop模型)、基于Big-M的隨機規劃方法(CC-bigM)、基于雙線性Benders分解的機會約束規劃方法(CC-BL)。

表4 不同優化方法規劃結果對比

從表4中可以看出：即使是商業求解器Mosek也不能在1 h內求解5節點系統。反觀，基于Big-M的隨機規劃方法和基于雙線性Benders分解的機會約束規劃方法的優化效率大大提高，將優化時間減少了幾個數量級。具體而言，基于雙線性Benders分解的機會約束規劃方法雖然比基于Big-M的隨機規劃方法多迭代了1次，但由于在迭代子問題中的優化維數更低，因而優化時間更快。

第二個測試系統是在18節點配電系統[22]的基礎上進行了一些修改，如圖3所示，該系統有18個節點、2個變電站、24條支路。現有和候選線路如表5所示。電價和負荷需求的場景同樣采用均勻分布得到20個等可能性場景，比例因子均勻分布在[0.6,1.8]區間，其他設置與5節點系統相同。

設置3種情況：(1)負荷水平為150%的確定性情況；(2)兩種隨機情況，機會約束水平分別為100%和80%。18節點配電系統擴展規劃結果如表5和圖3所示。由表5可以看出：隨機情況下需要投資9條新饋線擴建電網，變電站擴建2.84 MV·A，而在確定性情況下不增加變電站容量。很顯然，不同的輻射狀拓撲結構對應著不同的成本，而最高的擴建成本一定是在100%的機會約束水平下得到的，這是由于其要求所有場景下安全性約束都要滿足。

表5 18節點配電系統擴展規劃結果

圖3 配電網擴展規劃結果

第二個測試系統是在138節點配電系統的基礎上進行了一些修改，該系統由138個節點、3個變電站和151條線路組成。負荷的無功功率是在功率因數固定為0.96的情況下計算得到的。設置49條候選饋線，電價和負荷需求的場景同樣采用均勻分布得到50個等可能性場景，比例因子均勻分布在[0.85, 1.5]區間，其他設置與18節點系統相同。

所提出的方法能在在5小時內獲得優化結果，如表6所示。表6中給出中場景數為1的結果是確定性場景，這是為了對比所提出的方法。顯然，由于138節點系統規模較18節點系統更大，優化時間比18節點系統要長得多。然而，對比表5和表6的結果可以看出：所需的迭代數并沒有明顯的增加，這表明所提出的基于雙線性Benders分解的機會約束規劃方法具有很強的魯棒性，收斂性較好。

表6 138節點配電系統擴展規劃結果

4 結束語

文章考慮負荷需求和電價的不確定性，構建了配電網隨機擴展規劃模型，提出了基于雙線性Benders分解的機會約束優化方法。主要結論如下：

(1)在模型方面：建立了配電系統隨機擴展規劃模型，并且采用了混合整數二階錐規劃的潮流模型；

(2)在優化方法方面：設計了基于雙線性Benders分解的機會約束優化方法。三個測試算例表明，所提出的方法顯著優于商業的求解器，而且隨著系統規模的增大，所提出的方法迭代次數并未急劇增加，驗證了所提出方法強健的魯棒性。