基于能力導向的工科高等數學教學
——以方向導數與梯度為例

張京良

（中國海洋大學 數學科學學院，山東 青島 266100）

高等數學是工科類專業的一門公共基礎必修課，其內容多、學分重和抽象性強，教學效果直接影響到工科專業的人才培養質量。

近幾年，工科類專業正在進行兩個重要方面的建設，一是工程教育專業認證，二是新工科建設。工程教育專業認證中要求學生具備應用、分析、評價和創造等高階學習能力[1]；新工科人才培養中要求學生具有較強的創新思維和實踐應用能力[2]。工科類專業的發展對作為基礎必修課的高等數學教學提出了新要求：教學中應注重能力培養。

傳統的高等數學教學多是重視數學知識的講解，關注數學的抽象性、嚴密性，強調計算和證明的技巧性，導致學生學習興趣低、能力提升慢，不適應工科專業發展對數學教學的要求。為強化學生能力培養，我們在教學中補充了生活、工程等方面的應用性案例作為課堂引例，案例的應用性提高了學生的學習興趣，案例的分析、解決過程培養了學生的知識應用能力和創造性思維能力。實踐表明，案例教學法不但能更好地推動知識教學目標的實現，而且能有效促進能力教學目標的達成。

下面以方向導數與梯度為例給出詳細的能力導向的教學設計。

一、教材內容和學情分析

（一）教材內容分析

方向導數與梯度在教材[3-4]中被安排在偏導數的應用部分，意圖是想說明用偏導數可以計算出方向導數與梯度，所以教材中直接引入了方向導數與梯度的概念，然后給出方向導數與梯度的計算公式。教材中沒有說明這兩個概念自身的應用場景，造成了概念引入突兀、直觀理解欠缺。如果按照教材內容直接進行傳統講授，學生學完本節知識后對方向導數與梯度的計算能夠掌握，但對它的本質并不理解，進而難以提升他們對數學的學習興趣，更談不上知識應用能力和創造性思維的培養。換句話說，就是教學目標中的知識目標能夠達到，但能力目標就很難達到了。為此，對該節知識的講授有必要進行推敲研究[5-7]，做好能力導向的教學設計工作。

（二）學情分析

傳統的高等數學教學往往以教師為中心、以知識講授為目的，學生習慣于被動聽講，學習興趣與學習主動性不夠，導致學生知識掌握不牢固、能力培養跟不上。如何以學生為中心，提高學生學習興趣，重視知識理解、強化能力培養，是高等數學教學面臨的挑戰。

二、教學策略與教學目標

（一）教學策略

針對高等數學在傳統教學中遇到的上述問題，我們的教學策略是：采用能力為導向的教學設計，在教學內容中引入生活、工程和軍事等方面的應用性案例，用案例教學法進行教學。一方面，案例的應用性可以提高學生的學習興趣；另一方面，案例的分析、解決與實驗驗證過程可以培養學生的知識應用能力和創造性思維能力。

（二）教學目標

為滿足中國海洋大學“高素質創新人才”的培養要求和適應工程教育認證與新工科建設的需求，我們優化了本節教學目標，強化了能力培養與價值塑造。

（1）知識目標：記住方向導數與梯度的概念；理解偏導數與方向導數的關系；掌握方向導數與梯度的計算。

（2）能力目標：通過飛機在雷暴區飛行問題與螞蟻逃跑問題兩個案例的分析、解決及實驗驗證來提高分析問題、解決問題的能力和創造性思維能力；通過方向導數與梯度的計算來提高數值計算能力。

（3）素質目標：通過對極限思想、歸納演繹法和例證法的運用來提高在數學思想、數學方法方面的素養。

（4）價值目標：通過方向導數與梯度在登山與速降、梯田修建、圖像處理和洋流預測等方面的應用，提高學習興趣，樹立積極的學習觀；通過分組討論增強團結協作精神。

三、教學內容與教學過程

（一）新課導入

首先，播放電影《中國機長》中飛機在雷暴區飛行片段，導入案例1[8]。

引例1 飛機在雷暴區飛行問題。飛機飛入雷暴區時，可能遭遇雷擊，給飛行安全帶來很大隱患。這就要求駕駛員制定合理的飛行路線，盡快飛離雷暴區。問飛行員應該按照什么路線飛行才合理?

接著，進行問題分析。事實上，雷暴區的氣壓低，飛離雷暴區就是盡快從氣壓低的地方飛到氣壓高的地方。需要解決兩方面問題。

（1）沿某個方向，氣壓變化度怎么表示？

（2）沿哪個方向，氣壓變化度最大？

然后導入案例2。

引例2 螞蟻逃跑問題。設平面上有一鐵板，紅點表示一熱源，鐵板上有一螞蟻。螞蟻感覺到發燙時就會逃走。問螞蟻沿什么方向逃跑，才能盡快逃到涼爽區？

再進行問題分析。螞蟻應該沿著溫度下降最快的方向逃跑。需要解決兩方面問題。

（1）沿某個方向，溫度變化度怎么表示？

（2）沿哪個方向，溫度變化度最大？

然后對兩個案例進行小結，指出引例1 中的（1）與引例2 中的（1）本質上是本節要學的方向導數；引例1 中的（2）與引例2 中的（2）本質上是第二節課要學的梯度。

（二）方向導數

1.方向導數的定義

先進行引例1 中的問題（1）的解決：以雷暴區中心為原點，建立坐標系。假設發生雷暴時飛機的飛行高度不變，氣壓函數為z=p（x，y）。任取一方向P0P，設P0（x0，y0），P（x，y），則在P0點處沿P0P 方向的氣壓變化度為

再進行引例2 中問題（1）的解決：建立坐標系，設溫度函數為z=T（x，y），任取一方向P0P，設P0（x0，y0），P（x，y）則在P0處沿P0P 方向的溫度變化度為

總之，互聯網環境下，圖書從傳統的長形式變遷為長形式與網形式結合的形態，是對當前超文本閱讀環境的一種積極適應，也是對長形式圖書生命力的極大延伸。讀者在原界面與跨界面的不斷切換中，實現從閱讀到躍讀的循環，如此，長形式圖書的商業價值與閱讀價值同時得以提升，或許這就是圖書出版業未來發展的主流趨勢。

最后對兩個問題的共性進行總結：上述是兩個不同的問題，發現它們的解決方法相同，最后得到的結果形式相同。類似這樣的問題不只有這兩個，還有很多，如研究電場時考慮電壓沿不同方向的變化、攻山作戰時需要研究山坡陡峭度沿不同方向的變化等，這一類問題解決方法相同、最后結果形式類似，故對這一類問題進行概括歸納，總結出其共性，并加以抽象，就得到了一個新的概念，稱為方向導數。

定義1：設l 是xoy 平面上以P0（x0，y0）為始點的一條射線，函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）的某一鄰域U（P0）內有定義，P（x，y）∈U（P0）為l 上另一點。令如果極限存在，則稱此極限為函數f（x，y）在點P0沿方向l 的方向導數，記作

注：此處可進行課程思政教育，解決這一類問題時所用的數學思想——極限思想，給出方向導數定義時采用的數學方法——演繹歸納法，這種數學思想與數學方法以前使用過，如導數的定義、定積分的定義，今后還將繼續使用，如重積分的定義、線面積分的定義。

2.方向導數與偏導數的關系

前面已經學過了偏導數，現在介紹方向導數，自然討論二者的關系。以取l=x 為例，先寫出二者的定義

發現，偏導數是雙側極限，方向導數是單側極限，故方向導數存在，偏導數不一定存在；反之，若偏導數存在，方向導數是否一定存在呢？不一定，用例證法，舉例說明。

易求得：函數沿任何方向的方向導數都不存在，但兩個偏導數都是0。

此例說明，偏導數存在保證不了方向導數存在，那函數滿足什么條件時方向導數才存在呢？啟發學生：能否把條件加強一下？前面學習全微分時知道，全微分存在可推出偏導數存在，故此處換為偏微分存在試一下。

3.方向導數存在的充分條件與計算

定理：如果函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處可微分，那么函數在該點沿任一方向l 的方向導數都存在且有，其中cosα，cosβ 是方向l 的方向余弦。

證明：此處略，見教材[3-4]。

注：（1）本定理不但給出了方向導數存在的充分條件，而且給出了方向導數的計算方法。（2）方向導數的概念和計算公式可推廣到三元函數上[3-4]。

（三）梯度

1.梯度的定義

先回顧引例1 與引例2 中的問題（2）：引例1 中的問題（2）——沿哪個方向，氣壓變化度最大？引例2 中的問題（2）——沿哪個方向，溫度變化度最大？

再分析這兩個問題的解決：由第一節知，事實上這兩個問題都可以歸結為沿什么方向導數最大？可轉化為如下數學問題。

數學問題：u（x，y）為一個可微函數，P（x，y）是平面上一點為過P（x，y）的射線，則滿足什么條件時，u（x，y）沿方向的方向導數取最大值？

雖然學生知道沿梯度方向，函數變化率，也即方向導數取最大值，但對梯度方向仍然沒有直觀認識，這就是會算卻不會用，知識應用能力還沒有得到很好的培養。為此，我們打算對引例進行數學實驗驗證，需要先介紹梯度的幾何意義。

2.梯度的幾何意義

梯度的幾何意義：曲面u（x，y，z）=C 的梯度就是它的一個法向量，事實上

明白了梯度的幾何意義后，就可以對引例進行數學實驗驗證了。

3.引例1 與引例2 的數學實驗驗證

引例1 的實驗驗證：飛機飛行高度不變，設飛行區的氣壓函數為P（x，y）=x2+2y2，飛機位于P0（1，2）點。問飛行員應該按照什么路線飛行才合理?

解：應該沿每一點處的梯度方向飛行。而梯度為gradp（x，y）=（2x，4y）。設飛機飛行路線為y=y（x），方向為其切向量s→=（1，y′）。則

積分得y=Cx2，又過P0（1，2），所以y（1）=2，求得C=2。故飛行函數應該為y=2x2。

用matlab 畫出等壓線C=x2+2y2與飛機飛行路線y=2x2，如圖1 所示，發現：直觀上，飛行路線確實垂直于等壓線，即為其法線。

圖1 引例1 的數學實驗驗證

引例2 的實驗驗證：設鐵板溫度函數為T（x，y）=100-x2-4y2，在P0（1，-2）處有一只螞蟻。問螞蟻沿什么路線逃跑，才能盡快逃到涼爽區？

注：推導過程類似于引例1 的實驗驗證，此處可采用分組討論法，提高學生的學習參與性、培養團結協作精神。可求得螞蟻逃跑函數應該為y=-2x4，用matlab 畫出等溫線與螞蟻逃跑路線，如圖2 所示，發現，直觀上，螞蟻逃跑路線確實垂直于等溫線，即為其法線。

圖2 引例2 的數學實驗驗證

概括起來，我們的方向導數與梯度的教學采用案例教學法，強化了學生的知識應用能力和創造性思維能力的培養，整個課堂教學流程圖如圖3 所示。

圖3 教學流程圖

四、結束語

案例教學法是實現以能力為導向的工科高等數學教學的有效途徑。案例的應用性可以加深學生對數學知識應用背景的了解，提高對數學的學習興趣，增強知識掌握效果，更好地實現教學目標中的知識目標；案例的分析、解決與實驗驗證過程可以培養學生的知識應用能力和創造性思維能力，有效促進教學目標中能力目標的達成，適應了工程教育專業認證與新工科建設等對數學教學的要求。評教結果與學習效果表明，基于案例的能力導向的高等數學教學受到了學生的歡迎，值得推廣。