“三會”視角下二次函數的認識與思考

文／黃秀旺（特級教師）

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）提出，數學課程著力發展學生的核心素養，主要包括會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界這三個方面，簡稱“三會”。那么，對于“二次函數”這一章，我們該如何認識“三會”呢？這主要包含學習什么（內容與任務），以及怎么學習。

會用數學的眼光觀察現實世界

蘇科版數學教材通過探究水滴激起的波紋所形成的面積與半徑的關系、小兔活動的面積與長方形的長的關系、制作一面鏡子的總費用與鏡面寬的關系，獲得了相應的數量關系，并引入字母，對數量關系進行符號表示（S=πr2、y=-x2+8x、y=240x2+180x+45），在此基礎上抽象概括為y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，且a≠0），以上就是通過抽象得到數量關系以及二次函數的一般式。當然，由y=x2、的性質得

會用數學的思維思考現實世界

到y=ax2（a＞0）和y=ax2（a＜0）的性質也是抽象的思想，同樣，通過抽象得到二次函數y=ax2+bx+c的性質。

由之前學習一次函數和反比例函數，我們能感受到函數的圖像在探究函數的性質、運用函數解決問題中的重要作用。類似的，我們也是借助函數圖像探究二次函數的性質，借助二次函數的圖像探究一元二次方程的問題，以及運用二次函數解決實際問題，感受到借助圖像解決問題的直觀性，體現形與數的聯系。新課標特別提出“知道二次函數的系數與圖像形狀和對稱軸的關系”這一要求，加強了幾何直觀的要求。

此要求在本章中主要表現為運算能力和推理能力。我們知道，運算能力是學習數學必備的基本能力，在二次函數的學習過程中，也表現得非常豐富。比如，探究二次函數的圖像和性質，獲得y=a（x+h）2+k的性質后，對于任意二次函數，如教材例題提到的y=-x2-4x-5，就需要通過變形得到y=-（x+2）2-1。這樣，利用函數表達式可以得到函數圖像的頂點坐標是（-2，-1），對稱軸是過點（-2，-1）且平行于y軸的直線，結合圖像開口向下，獲知當x=-2時，y的值最大，最大值是-1。因此，我們要會對所給的函數表達式進行熟練的變形。一般地，我們可以將二次函數y=ax2+bx+c變形為（教材上呈現了詳細的變形過程）。如果沒有扎實的運算基本功，僅知道有關二次函數的結論，我們是無法學好本章內容的。

推理能力是學習數學必備的核心能力之一。在本章的內容中，充滿了數學推理。比如，在獲得二次函數y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，且a≠0）的基本性質后，指出一個具體的二次函數的性質，這就是演繹推理的思想，即從一般到特殊的推理。又如在探究“二次函數與一元二次方程”的關系時，數學推理也體現得非常清晰。教材例題如下：

例不畫圖像，判斷二次函數y=-x2+5x-8的圖像與x軸是否有公共點？

解：因為一元二次方程-x2+5x-8=0的根的判別式b2-4ac=52-4×（-1）×（-8）＜0，所以方程-x2+5x-8=0沒有實數根。二次函數y=-x2+5x-8的圖像與x軸沒有公共點。

這個解答過程中，包含了兩個數學推理，它們分別是：

①因為一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式b2-4ac＜0，所以方程ax2+bx+c=0沒有實數根，

又因為一元二次方程-x2+5x-8=0的根的判別式b2-4ac=52-4×（-1）×（-8）＜0，

所以方程-x2+5x-8=0沒有實數根。

②因為“如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實數根，那么二次函數y=ax2+bx+c的圖像與x軸沒有公共點”，

又因為方程-x2+5x-8=0沒有實數根，

所以二次函數y=-x2+5x-8的圖像與x軸沒有公共點。

以上兩個推理在形式上是不是與幾何推理類似呢？這需要我們細細地品味。

會用數學的語言表達現實世界

教材呈現了一些實際問題，其中變量之間的關系可以用二次函數來表示，進而利用二次函數的圖像和性質來研究，最后解決了實際問題。例如，在“用二次函數解決問題”中，可以將問題分為兩類，一類是求在什么條件下收益最大、總產量最大、毛利潤最大等問題，這類問題可以歸結為求二次函數的最大值或最小值，具體求解過程：實際問題（情境）→提出問題→用字母表示兩個變量并用符號表示問題中的數量關系，得到二次函數的表達式（建立模型）→對函數的表達式進行變形得到頂點式，指出最大值或最小值（求解模型）→檢驗結果（是否符合實際）→實際結果（解決實際問題），這就是數學建模的基本過程；還有一類是建立平面直角坐標系，把實物的示意圖看作一個二次函數的圖像，進而寫出函數的表達式，利用函數的表達式解決問題。比較這兩類問題，一類是通過問題中的數量關系得到函數的表達式，一類是借助二次函數的圖像得到函數的表達式，但都是通過建立二次函數來解決問題的，體現了數學知識的應用性。

通過以上“三會”視角下的分析，我們感受到，學習二次函數的概念、圖像與性質，可以發展抽象、運算、推理等多種能力，以及運用二次函數解決實際問題的能力。事實上，“三會”的“會”就是“學會”，“眼光”“思維”“語言”告訴我們數學課程要學什么，“觀察”“思考”“表達”告訴我們怎么才能學會。因此，我們在學習二次函數的過程中，不僅要獲得基本結論，更要關注如何獲得這些結論。