“三會(huì)”視角下二次函數(shù)的認(rèn)識(shí)與思考

文／黃秀旺（特級(jí)教師）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”）提出，數(shù)學(xué)課程著力發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，主要包括會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界這三個(gè)方面，簡(jiǎn)稱(chēng)“三會(huì)”。那么，對(duì)于“二次函數(shù)”這一章，我們?cè)撊绾握J(rèn)識(shí)“三會(huì)”呢？這主要包含學(xué)習(xí)什么（內(nèi)容與任務(wù)），以及怎么學(xué)習(xí)。

會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界

蘇科版數(shù)學(xué)教材通過(guò)探究水滴激起的波紋所形成的面積與半徑的關(guān)系、小兔活動(dòng)的面積與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的關(guān)系、制作一面鏡子的總費(fèi)用與鏡面寬的關(guān)系，獲得了相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，并引入字母，對(duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行符號(hào)表示（S=πr2、y=-x2+8x、y=240x2+180x+45），在此基礎(chǔ)上抽象概括為y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0），以上就是通過(guò)抽象得到數(shù)量關(guān)系以及二次函數(shù)的一般式。當(dāng)然，由y=x2、的性質(zhì)得

會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界

到y(tǒng)=ax2（a＞0）和y=ax2（a＜0）的性質(zhì)也是抽象的思想，同樣，通過(guò)抽象得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)。

由之前學(xué)習(xí)一次函數(shù)和反比例函數(shù)，我們能感受到函數(shù)的圖像在探究函數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)用函數(shù)解決問(wèn)題中的重要作用。類(lèi)似的，我們也是借助函數(shù)圖像探究二次函數(shù)的性質(zhì)，借助二次函數(shù)的圖像探究一元二次方程的問(wèn)題，以及運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，感受到借助圖像解決問(wèn)題的直觀性，體現(xiàn)形與數(shù)的聯(lián)系。新課標(biāo)特別提出“知道二次函數(shù)的系數(shù)與圖像形狀和對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系”這一要求，加強(qiáng)了幾何直觀的要求。

此要求在本章中主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力和推理能力。我們知道，運(yùn)算能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必備的基本能力，在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，也表現(xiàn)得非常豐富。比如，探究二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，獲得y=a（x+h）2+k的性質(zhì)后，對(duì)于任意二次函數(shù)，如教材例題提到的y=-x2-4x-5，就需要通過(guò)變形得到y(tǒng)=-（x+2）2-1。這樣，利用函數(shù)表達(dá)式可以得到函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，-1），對(duì)稱(chēng)軸是過(guò)點(diǎn)（-2，-1）且平行于y軸的直線(xiàn)，結(jié)合圖像開(kāi)口向下，獲知當(dāng)x=-2時(shí)，y的值最大，最大值是-1。因此，我們要會(huì)對(duì)所給的函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行熟練的變形。一般地，我們可以將二次函數(shù)y=ax2+bx+c變形為（教材上呈現(xiàn)了詳細(xì)的變形過(guò)程）。如果沒(méi)有扎實(shí)的運(yùn)算基本功，僅知道有關(guān)二次函數(shù)的結(jié)論，我們是無(wú)法學(xué)好本章內(nèi)容的。

推理能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必備的核心能力之一。在本章的內(nèi)容中，充滿(mǎn)了數(shù)學(xué)推理。比如，在獲得二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的基本性質(zhì)后，指出一個(gè)具體的二次函數(shù)的性質(zhì)，這就是演繹推理的思想，即從一般到特殊的推理。又如在探究“二次函數(shù)與一元二次方程”的關(guān)系時(shí)，數(shù)學(xué)推理也體現(xiàn)得非常清晰。教材例題如下：

例不畫(huà)圖像，判斷二次函數(shù)y=-x2+5x-8的圖像與x軸是否有公共點(diǎn)？

解：因?yàn)橐辉畏匠?x2+5x-8=0的根的判別式b2-4ac=52-4×（-1）×（-8）＜0，所以方程-x2+5x-8=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根。二次函數(shù)y=-x2+5x-8的圖像與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)。

這個(gè)解答過(guò)程中，包含了兩個(gè)數(shù)學(xué)推理，它們分別是：

①因?yàn)橐辉畏匠蘟x2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式b2-4ac＜0，所以方程ax2+bx+c=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

又因?yàn)橐辉畏匠?x2+5x-8=0的根的判別式b2-4ac=52-4×（-1）×（-8）＜0，

所以方程-x2+5x-8=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

②因?yàn)椤叭绻辉畏匠蘟x2+bx+c=0（a≠0）沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)”，

又因?yàn)榉匠?x2+5x-8=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

所以二次函數(shù)y=-x2+5x-8的圖像與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)。

以上兩個(gè)推理在形式上是不是與幾何推理類(lèi)似呢？這需要我們細(xì)細(xì)地品味。

會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界

教材呈現(xiàn)了一些實(shí)際問(wèn)題，其中變量之間的關(guān)系可以用二次函數(shù)來(lái)表示，進(jìn)而利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)來(lái)研究，最后解決了實(shí)際問(wèn)題。例如，在“用二次函數(shù)解決問(wèn)題”中，可以將問(wèn)題分為兩類(lèi)，一類(lèi)是求在什么條件下收益最大、總產(chǎn)量最大、毛利潤(rùn)最大等問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題可以歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值，具體求解過(guò)程：實(shí)際問(wèn)題（情境）→提出問(wèn)題→用字母表示兩個(gè)變量并用符號(hào)表示問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，得到二次函數(shù)的表達(dá)式（建立模型）→對(duì)函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行變形得到頂點(diǎn)式，指出最大值或最小值（求解模型）→檢驗(yàn)結(jié)果（是否符合實(shí)際）→實(shí)際結(jié)果（解決實(shí)際問(wèn)題），這就是數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程；還有一類(lèi)是建立平面直角坐標(biāo)系，把實(shí)物的示意圖看作一個(gè)二次函數(shù)的圖像，進(jìn)而寫(xiě)出函數(shù)的表達(dá)式，利用函數(shù)的表達(dá)式解決問(wèn)題。比較這兩類(lèi)問(wèn)題，一類(lèi)是通過(guò)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系得到函數(shù)的表達(dá)式，一類(lèi)是借助二次函數(shù)的圖像得到函數(shù)的表達(dá)式，但都是通過(guò)建立二次函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性。

通過(guò)以上“三會(huì)”視角下的分析，我們感受到，學(xué)習(xí)二次函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)，可以發(fā)展抽象、運(yùn)算、推理等多種能力，以及運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。事實(shí)上，“三會(huì)”的“會(huì)”就是“學(xué)會(huì)”，“眼光”“思維”“語(yǔ)言”告訴我們數(shù)學(xué)課程要學(xué)什么，“觀察”“思考”“表達(dá)”告訴我們?cè)趺床拍軐W(xué)會(huì)。因此，我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次函數(shù)的過(guò)程中，不僅要獲得基本結(jié)論，更要關(guān)注如何獲得這些結(jié)論。