基于GeoGebra分析一道中考壓軸題的源與流

趙玉葉

(江蘇省蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué) 215228)

中考數(shù)學(xué)試題由專家組精心命制而成，而數(shù)學(xué)壓軸題歷來在數(shù)學(xué)中考中占有舉足輕重的地位．有些試題看似超乎尋常，實則抽絲剝繭后都能尋到基本的“知識源”，擁有很深的基礎(chǔ)性和生命力．GeoGebra數(shù)學(xué)軟件(簡稱GGB)具有動態(tài)、交互、開放、共享、簡單、易用等特點，可以創(chuàng)建開放的探究環(huán)境，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，實現(xiàn)靜態(tài)向動態(tài)教學(xué)的轉(zhuǎn)變．本文基于GGB軟件分析2021年連云港中考數(shù)學(xué)27題這道動點軌跡壓軸題，旨在對其解法進行分析并給出一些初步的思考，從思路摸索中感悟模型的根源，從猜想驗證中體驗本質(zhì)的提煉，從可視化探究中思考問題的推廣，實現(xiàn)壓軸題的“尋源”與“顯流”．

1 試題呈現(xiàn)

在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進行數(shù)學(xué)探究活動．

圖1

(1)△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點，且AE=1，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖1．求CF的長.

(2)如圖1，△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經(jīng)過的路徑長.

(3)△ABC是邊長為3的等邊三角形，M是高CD上的一個動點，小亮以BM為邊作等邊三角形BMN，如圖2．在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經(jīng)過的路徑長.

圖2 圖3

(4)正方形ABCD的邊長為3，E是邊CB上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形BFGH，其中點F，G都在直線AE上，如圖3．當點E到達點B時，點F,G,H與點B重合．則點H所經(jīng)過的路徑長為，點G所經(jīng)過的路徑長為．

第(1)小題是典型的全等三角形模型——“手拉手”模型．我們很容易證明△BAE≌△BCF(SAS)，求得CF=AE=1．

下面主要探討第(2)～(4)小題．

2 尋源：方法初探——“按圖索跡”

2.1 動點軌跡：模型歸納

后三小題考查的是動點的軌跡問題．初中數(shù)學(xué)中的動點軌跡有兩種模型：直線型、圓弧型．受函數(shù)圖象畫法三步驟的指引，解決動點軌跡問題可以分為三步：(1)畫圖，取3個特殊位置(一般是起點、中點、終點)；(2)連線，判斷曲直；(3)求解，求動點路徑的線段長或弧長．

圖4 圖5

圖6

2.2 圖形變換：本質(zhì)提煉

上述常規(guī)解法需要畫圖確定動點的軌跡，所以比較費時費力．如果從圖形變換的角度去思考動點軌跡的問題，往往可以發(fā)現(xiàn)從動點軌跡與主動點軌跡是有關(guān)聯(lián)的．本題所有圖形運動的實質(zhì)都是旋轉(zhuǎn)加位似，共同特征是正多邊形共頂點．在這樣的圖形變換下都會形成“手拉手”模型．

如圖7所示,第(3)小題中由圍繞點B的四條“拉手線”BA=BC，BM=BN，就能找到△BAM≌△BCN(SAS)．所以點N的運動軌跡長等于點M的運動軌跡長DC．同理，如圖8所示，第(4)小題中由圍繞點B的四條“拉手線”BA=BC，BF=BH，能找到△BAF≌△BCH(SAS)，也就是點C，G，H三點共線．于是在Rt△ACG中，點G在以AC為直徑的圓上，在Rt△BCH中，點H在以BC為直徑的圓上．

圖7 圖8

解題的成功要依靠正確思路的選擇，要從最接近它的方向攻克．解初中的幾何題理所應(yīng)當提倡“以圖為綱，按圖索跡”．對于動點軌跡問題，我們可以從局部去分析動點的軌跡模型，判斷直線型或圓弧型；也可以從整體出發(fā)關(guān)注圖形變換(平移、對稱、旋轉(zhuǎn)、位似)．點動成線，線藏于形，解題時雙管齊下，方可使思路并蒂開花．

3 顯流：深度拓展——“按圖索GGB”

數(shù)學(xué)家波利亞指出：“當你找到第一個蘑菇后，要環(huán)顧四周，因為它們總是成堆生長的．”在進行完上述探究過程后，學(xué)生對本題的動點軌跡和圖形變換有了一定的認識與掌握，此時教師可以利用信息技術(shù)工具，向?qū)W生展示點的動態(tài)運動，并對其他特殊動點和一般化圖形作進一步推廣．下文探究“按圖索GGB”的可視化拓展，利用GGB展開探索．

3.1 驗：驗證動點的軌跡

圖9 圖10 圖11

3.2 探：探索其他的動點

問題1-1第(2)小題中等邊三角形BEF的各邊中點形成了怎樣的軌跡？

圖12

先利用GGB探究：輸入等邊三角形ABC→在邊AC上任取一點E→連結(jié)BE，輸入等邊三角形BEF→輸入中點K,N,H→分別選擇中點K,N,H關(guān)于動點E的軌跡．如圖12，可發(fā)現(xiàn)各邊中點的軌跡也是線段．

證明中位線NI中位線HM易證明△BCD是等邊三角形，則菱形ABDC的中位線KL

問題1-2若將第(2)小題中等邊三角形ABC和等邊三角形BEF都換成一般三角形，那么第三個頂點的軌跡會有怎樣的變化？

圖13

先利用GGB探究：輸入任意三角形ABC→在邊AC上任取一點D→連結(jié)BD，標記∠BCD為α→順時針旋轉(zhuǎn)△BCD，旋轉(zhuǎn)角為α→作位似三角形BED→選擇點E關(guān)于動點D的軌跡．如圖13，可以發(fā)現(xiàn)點E的軌跡不再與AB邊平行，但保持直線型軌跡．

問題1-3若將第(2)小題中等邊三角形ABC和等邊三角形BEF都換成一般三角形，那么各邊中點的軌跡會有怎樣的變化？

圖14

先利用GGB探究：輸入中點H,M,L→分別選擇中點H,M,L關(guān)于動點D的軌跡．如圖14，可發(fā)現(xiàn)各邊中點的軌跡也是線段．

證明中位線LJ中位線MK中位線HI

問題2若將第(3)小題的中點D換成一般位置的點，其軌跡會有怎樣的變化？

圖15

先利用GGB探究：輸入等邊三角形ABC→在邊AB上任取一動點D→連結(jié)CD，在邊CD上任取一動點E→連結(jié)BE，輸入等邊三角形BEF→選擇點F關(guān)于動點E的軌跡．如圖15，拖動點D可發(fā)現(xiàn)點F的起點G隨之運動，終點H保持不變，軌跡依舊呈現(xiàn)直線型．拖動點E，點F隨之在線段GH上運動．

證明根據(jù)BD=BG，利用“手拉手”模型，我們?nèi)菀鬃C明△BDE≌△BGF(SAS)，所以點F的軌跡長GH等于點E的軌跡長CD．

問題3若將第(4)小題中動點E從邊BC換到直線BC上，那么點G與H的軌跡會怎樣變化？

圖16

證明在Rt△ACG中，點G在以AC為直徑的圓上；在Rt△BCH中，點H在以BC為直徑的圓上．

數(shù)學(xué)解題總是從分析已知元素和未知元素開始，二者的關(guān)聯(lián)越不明顯，就越值得探究．本道中考壓軸題難度較大，區(qū)分度明顯，學(xué)生很難觀察出從動點與主動點的直接聯(lián)系，更難將軌跡和圖形變換分析出來．但運用GGB，學(xué)生能夠直觀地“看到”動點間的聯(lián)系和要求的動點軌跡．具象化地展示試題的完成和拓展可以幫助學(xué)生認清試題本質(zhì)、理解數(shù)學(xué)問題，有助于其養(yǎng)成反思的好習慣，落實“低起點，高落點”的目標．

4 結(jié)語

中考數(shù)學(xué)命題十分重視回歸教材、重視基本知識，而中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，形成正確的解題思路和看題觀點，這是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的本源[1]．弗賴登塔爾認為：“數(shù)學(xué)知識不是教出來的，而是研究出來的．”學(xué)生解決問題的能力何嘗不是如此呢？只有親歷問題的探索過程、鍛煉科學(xué)的思維方式，才能在實踐中逐步具備豐富的策略方法．教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標適時、適量地使用信息化平臺，能夠突破數(shù)學(xué)“難以意會，無法言傳”的障礙，真正做到“教懂、教活、教深”[2]，引導(dǎo)學(xué)生將更多精力集中在高層次的數(shù)學(xué)思考上，實現(xiàn)有意義的解題教學(xué)，促進學(xué)生的思維發(fā)展．