中華計算中的數學文化

童廣鵬

(河南省民權縣高級中學 476800)

中華民族在計算機未發明之前，諦造出諸多計算方法與工具，尤其是大衍無限的洛書、卓著非凡的籌算、玄奧神妙的筆算、博大精深的寫算等，對推進國際計算發展影響深遠．下面結合數學文化題舉例淺析之．

1 古今大衍乃洛書

圖1

例1我國的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：將1,2,…,9填入3×3的方格內，使三行、三列、對角線的三個數之和都等于15，如圖1所示．

一般地，將連續的正整數1,2,3,…,n2填入n×n個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數的和相等，這個正方形叫做n階幻方．記n階幻方的數的和即方格內的所有數的和為Sn，如圖三階幻方記為S3=45，那么S9=( )．

A．3 321 B．361 C．99 D．33

命題背景作為華夏文化源頭的《洛書》是中國古代人民在實踐中運用古代數學、天文歷法、陰陽五行來探索宇宙淵源和矩矱的智慧結晶，可謂是我國宇宙結構模型的鼻祖，在天人合一的文化范疇及履踐中震古爍今、彪炳千古，應運而起的傳統美學格致的作用更為深遠．洛書中呈現的數的組合構成了正自然數范圍內“滿十進一”的十進制計數法規則的全集，為突顯其卓著成效和萌芽時間進而稱為加法進位規則集，研究此數理意義正是不同術數模型最精華、最深度的應用規則部分，充分彰顯了洛書的內涵．洛書進位規則是處理兩數相加有進位時的位間關系的，對應于珠算中用口訣“一上一、二上二……九上九”來處理，這是河圖對應的術數方式，標志著加法的產生，加法相對于術數在便捷性、運算速度及記數范圍上都有質的飛躍，洛書確是具有“大衍”功能的“大衍之數”．

2 問君能有幾多“籌”

例2《孫子算經》中對算籌計數法的描述是“凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當……”，說明計數有縱、橫兩種形式，計數時為避免混淆將縱、橫交錯放置，以空位表示零.這是世界上最早的十進位值制計數體系，對世界數學的發展有劃時代意義．圖2為縱式計數形式，一豎表示1個單位，一橫表示5個單位，例如三豎一橫表示8．

圖2

A．1 B．2 C．3 D．4

解析 正整數1～9中能構成等比數列的三個數一共有四組，分別是1，2，4；2，4，8；1，3，9；4，6，9．其中6，8，9的縱式計數形式中各有一橫且9出現兩次，共計4橫．故選D．

命題背景古代用算籌來進行計數和計算，以縱橫兩種排列方式來表示單位數目的算籌，其中1～5分別以縱橫方式排列相應數目的算籌來表示，6～9則以上面的算籌再加下面相應的算籌來表示．表示多位數時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空．纖細、輕巧的算籌完成的運算龐大、繁復，不僅能計數，而且能計算;它能完成四則運算和開方，還能做特定的演算．由此，方能“運籌帷幄之中，決勝千里之外”．

3 指尖珠算嘖盛贊

例3算盤是中國發明的一種手動操作計算輔助工具，迄今已有二千六百多年的歷史．珠算被譽為中國的第五大發明，最早見于漢朝徐岳撰寫的《數術記遺》，2013年聯合國教科文組織正式將中國珠算項目列入教科文組織人類非物質文化遺產．如圖3，我國傳統算盤每一檔為兩粒上珠、五粒下珠，也稱為“七珠算盤”.未記數(或表示零)時，每檔的各珠位置均與圖中最左檔一樣；記數時，要撥珠靠梁，一個上珠表示“5”，一個下珠表示“1”.現有一種算盤(圖3(1))共兩檔，自右向左分別表示個位和十位．檔中橫以梁，梁上一珠，撥下記作數字5，梁下四珠，上撥每珠記作數字1．現拔動算盤中兩枚算珠，如圖3(2)則表示51，如圖3(3)則表示20．如果撥動圖3(1)算盤中的三枚算珠，表示的整數超過24的概率為( )．

圖3

解析 撥動三枚算珠，有如下12種可能：

若3枚算珠都在個位，則共有2種情況，分別是3和7；

當十位選梁下1枚算珠，個位2枚算珠時，共有2種情況，分別是12和16；

當十位選梁下2枚算珠，個位1枚算珠時，共有2種情況，分別是21和25；

當十位選梁上1枚算珠，個位2枚算珠時，共有2個整數，分別是52和56；

當十位選梁上1枚、梁下1枚算珠，個位1枚算珠時，共有2種情況，分別是61和65；

當十位選3枚算珠時，共有2種情況，分別是30和70.

命題背景被稱為中國“第五大發明”的珠算是人類計算史上一顆永放光芒的明珠，為人類的進步和發展做出了巨大的、不可替代的偉大貢獻．從歷史上看，珠算是從籌算演變來的，籌算的數字表示方法也是在十進制中間加入一個單位5，作為表示數的一種方法．方方正正的算盤，噼噼啪啪的撥珠，穩穩當當的功效，卻造就了不同凡響的數學技藝．

4 格子乘法看寫算

圖4

例4寫算，是一種格子乘法，也是筆算乘法的一種，用以區別籌算與珠算，它由明代數學家吳敬在其撰寫的《九章算法比類大全》一書中提出，是從天元式的乘法演變而來的．例如計算89×61，將被乘數89計入上行，乘數61計入右行，然后以乘數61的每位數字乘被乘數89的每位數字，將結果計入相應的格子中，最后從右下方開始按斜行加起來，滿十向上斜行進一，如圖4，即得5 429．類比此法畫出354×472的表格，若從表內的18個數字(含相同的數字，表周邊數據不算在內)中任取1個數字，則這個數大于5的概率為( )．

圖5

命題背景寫算為中國古算名．“寫算”分“寫乘”與“寫除”兩種．寫乘，計算完成后猶如鋪好的地板，所以程大位稱“鋪地錦”，系一種格子乘法．中國的“寫乘”似從天元式的乘法演變而來，“寫除”是程大位改進吳敬的“河圖算法”而得來的．

上述幾例闡釋了洛書、算籌、算盤、寫算等中華計算在古今世界科技文化征程中留下的不可磨滅的光輝印記，期待中華計算這顆明珠在數學發展史里永放光芒．