深入本質(zhì) 立足建模 提升思維
——“用一元一次方程解決利潤問題”的教學(xué)與思考

付小飛

(江蘇省蘇州市第十六中學(xué)校 215003)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》在核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)及其內(nèi)涵中明確指出：“初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過程，從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”[1]．方程的本質(zhì)是描述現(xiàn)實世界中的等量關(guān)系，更形象地說，用等號連接兩種不同的表示方法表達(dá)相同或相等的量，用方程解決問題在初中階段對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力起著至關(guān)重要的作用．但是在實際的教學(xué)過程中，有些教師習(xí)慣于將方程的應(yīng)用根據(jù)題目的實際背景分成不同類型，先分析類型特征、歸納常用等量關(guān)系，再通過例題示范、變式訓(xùn)練來教學(xué)．新課的教學(xué)不知不覺就變成了習(xí)題課，大量的變式題排山倒海而來，這種教學(xué)方式不僅沒有抓住方程的本質(zhì)，還會多出大量的所謂解題的“套路”，一旦遇到“非標(biāo)準(zhǔn)”的類型時，學(xué)生就會束手無策，長此以往不利于學(xué)生思維水平的提升．帶著這些問題，筆者對蘇科版七年級上冊“用一元一次方程解決利潤問題”作了全新的教學(xué)設(shè)計，并在全市上了一節(jié)示范課，得到了與會專家和教師的高度評價．現(xiàn)對其主要的教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行介紹，并且給出各環(huán)節(jié)的教學(xué)分析以及教學(xué)建議，以供同行參考．

1 創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

活動1 在剛剛過去的“雙11”購物節(jié)中，小明以每個20元的價格進(jìn)了一批玩具，貼上每個30元的標(biāo)簽，為了吸引顧客，打出“大酬賓，九折優(yōu)惠”的廣告，則進(jìn)價是元，標(biāo)價是元，售價是元，利潤是元，利潤率是．

問題1：你能列舉打折促銷中的哪些常用量?

問題2：說出商家從進(jìn)貨到銷售的過程中涉及哪些量?你能寫出各個量之間的關(guān)系嗎？

問題3：售價有幾種表示方式呢?

教學(xué)分析與建議在課前可以讓學(xué)生做一次社會調(diào)查，體會商品銷售問題中的現(xiàn)實情境，收集各種打折銷售的活動方式．有了真實的體驗，可進(jìn)一步幫助學(xué)生更深刻地理解相關(guān)術(shù)語．然后再通過問題情境，通過具體的數(shù)字，利用銷售流程(圖1)和柱狀圖(圖2)理清銷售問題各個量之間的關(guān)系，并且歸納出售價的兩種不同表示方法．這種設(shè)計從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，通過創(chuàng)設(shè)實際的生活情境，將學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識與生活實際相聯(lián)系，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲望．

圖1 圖2

2 數(shù)形探究，分析問題

活動2 商店將進(jìn)價為140元的商品按標(biāo)價的8折銷售，仍可獲利28元，問商品的標(biāo)價為多少元？

師：如果設(shè)標(biāo)價為x元，有幾種列式的方法？

生1：0.8x=140+28．

師：請解釋一下方程兩邊所表示的意義．

生1：左邊的式子表示售價，右邊的式子也表示售價．

師：有沒有列方程的其他方法？

生2：0.8x-28=140，左邊的式子表示進(jìn)價，右邊的式子也表示進(jìn)價．

生3：0.8x-140=28，左邊的式子表示利潤，右邊的式子也表示利潤．

生4：我用的是小學(xué)學(xué)的算式的方法，(140+28)÷0.8．

師：如果左邊用x表示，則可以得到x=(140+28)÷0.8，實際上這也是一個方程．

生4：左邊表示的是標(biāo)價，右邊也是標(biāo)價．

師：上面列出幾種不同的方程，方程的兩邊都是表示同一個量，因此我們在列方程解應(yīng)用題時，可以利用題目中某些量的兩種不同表示方法來列方程．

圖3

學(xué)生討論過程中教師巡視，借助銷售條形圖(圖3)引導(dǎo)學(xué)生列出不同的方程．

教學(xué)分析與建議在初中階段用方程解決實際問題時學(xué)生“最大的痛點”就是無法將實際問題中各個量用代數(shù)語言描述并構(gòu)建方程．如果教師僅僅告訴學(xué)生要通過審題，找出等量關(guān)系，再列出方程，那么對于學(xué)生來說是比較含糊的，容易使學(xué)生望而生畏．因此在教學(xué)時教師要給學(xué)生指出一個明確的方向，告訴學(xué)生列方程實質(zhì)上就是用兩種方式表示相同或相等的量．例如活動2中，可從以下幾個方向思考：

思考1 以兩種方式表達(dá)進(jìn)價，即0.8x-28=140 ①；

思考2 以兩種方式表達(dá)利潤，即0.8x-140=28 ②；

思考4 以兩種方式表示售價，即0.8x=140+28 ④；

思考5 以兩種方式表示標(biāo)價，即x=(140+28)÷0.8 ⑤.

通過以上幾個方程的列出過程，我們可以發(fā)現(xiàn)題目中給出的任何一個量都可以用兩種不同方式來表示，要得到方程就是“信手拈來”，這樣為學(xué)生用方程解決實際問題指明了方向．同時利用圖表的示意作用讓思維可視化，解除了學(xué)生的畏難心理．

尤其對于方程⑤，如果把右端的x抹去，就是小學(xué)時的算術(shù)解法．而當(dāng)學(xué)生提出用算術(shù)的方法時，如果教師直接告訴學(xué)生算術(shù)解法不如列方程來得簡潔，這時學(xué)生就會產(chǎn)生疑惑．初一的學(xué)生正面臨從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡，我們可以通過比較算術(shù)方法和方程方法的優(yōu)劣性，讓學(xué)生體會從算術(shù)到方程的通性，學(xué)生自然就可以從小學(xué)的算術(shù)思想過渡到方程思想．

3 典例示范，內(nèi)化新知

活動3 一件夾克衫先按成本提高50%標(biāo)價，再以8折出售，結(jié)果獲利28元，這件夾克衫的成本價是多少元?

圖4

師：銷售這件夾克衫涉及哪些價格？

生1：成本、標(biāo)價、售價．

師：說得很好！如果設(shè)這件夾克衫的成本是x元，我們可以從中找出的等量關(guān)系是什么？(生討論發(fā)言)

師：在實際操作中，我們可以畫線性示意圖或畫柱狀示意圖．

師：獲利28元是從哪里來的？(生討論發(fā)言)

師：從柱狀示意圖(圖4)中，可以得到的相等關(guān)系是什么?

生：發(fā)現(xiàn)售價有兩種不同的表示方法，這兩個代數(shù)式相等，即為等量關(guān)系．

(學(xué)生做，教師用多媒體演示)

師：請大家做完后想一想，還有沒有其它的量可以用不同方法表示，從而得到方程？如果有，哪一個列式方法相對簡單?

教學(xué)分析與建議本活動的重點是借助柱狀示意圖尋找各個量之間的數(shù)量關(guān)系，嘗試多種方法列方程后，引導(dǎo)學(xué)生合理選擇要表達(dá)的量作為列方程的依據(jù)，突破“找等量關(guān)系”這個難點．在實際教學(xué)中，在給學(xué)生充分時間思考后，學(xué)生給出了多達(dá)8種不同的列方程的方法，通過分析比較，讓學(xué)生理解為什么在這個問題中以售價作為要表達(dá)的量最為簡捷．這就好比A要從甲地(題中的已知)送物品給乙城的B(題中設(shè)為x的未知量)，最為節(jié)省時間的方法就是A，B約定同時到兩地之間某個地點來交換物品．而售價就好比A，B兩人相約的地點．相當(dāng)于列方程時我們思考的工作量被分成了兩段，就是分別用進(jìn)價和標(biāo)價來表示售價，然后用等號連接就得到方程．而小學(xué)算術(shù)解法中的算式，就相當(dāng)于是A到乙城直接送交到B手中，思維上要求就更高一點．所以快速準(zhǔn)確地找到最合適的表達(dá)量來列方程，可大大減少思考的難度．

4 自主學(xué)習(xí)，類比理解

活動4 請以下列方程各編寫一道關(guān)于商品利潤的應(yīng)用題：(1)140(1+x)=210×80%，(2)140+28=210x．(學(xué)生合作交流)

生：商店將進(jìn)價為140元的商品標(biāo)價為210元，打八折銷售后，利潤率是多少？

生：商店將進(jìn)價為140元的商品標(biāo)價為210元，問商品打幾折銷售后可獲得28元的利潤？

師：你能說出方程兩邊表示的實際意義嗎？

生：方程(1)和(2)左右兩邊都是表示售價，左邊是用進(jìn)價表示，右邊是用標(biāo)價表示．

教學(xué)分析與建議通過分小組討論，自編題目，互評互檢，并引導(dǎo)學(xué)生說出方程兩邊分別表達(dá)的量的意義，強(qiáng)化用兩種方式表達(dá)同一個量來列方程的解題思路．讓學(xué)生從多個方向、多個層次進(jìn)行思考，

從而提升思維水平．同時，讓學(xué)生自己設(shè)計習(xí)題，也能更好地鍛煉學(xué)生的建模能力，當(dāng)學(xué)生面對自己“創(chuàng)造”出的習(xí)題更感興趣時，練習(xí)也就更投入了．

5 合作探究，提高技能

活動5 某件商品因換季準(zhǔn)備打折出售，如果按標(biāo)價的七五折出售將賠25元；而按標(biāo)價的九折出售將賺20元，問這件商品的標(biāo)價是多少？

圖5

師生活動：讓學(xué)生獨立思考后，通過以下問題串，引導(dǎo)學(xué)生選擇用合適的量作為目標(biāo)來建立相等關(guān)系列方程：

(1)題目中涉及到幾種價格？

(2)你能否準(zhǔn)確設(shè)出未知數(shù)?

(3)你能否畫出本題中的柱狀示意圖?

(4)你能否用不同的方式來表達(dá)這個量?

(5)你認(rèn)為選哪一個量作為列方程的依據(jù)最為簡單?

列方程解決實際問題的學(xué)習(xí)對學(xué)生以后學(xué)習(xí)分式方程、不等式以及函數(shù)都有一定的啟發(fā)作用，所以學(xué)生學(xué)習(xí)本章的結(jié)果將直接影響學(xué)生對后續(xù)內(nèi)容的理解與掌握．《義務(wù)教學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》要求“應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷對現(xiàn)實問題中量的分析，借助用字母表達(dá)的未知數(shù)，建立兩個量之間關(guān)系的過程，知道方程或不等式是現(xiàn)實問題中含有未知數(shù)的等量關(guān)系或不等關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)；體會算術(shù)與代數(shù)的差異．”[1]基于這些原因，在教學(xué)設(shè)計的過程中，務(wù)必力求做到從學(xué)生已有知識經(jīng)驗出發(fā)，注重新舊知識的聯(lián)系，恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)，做到一題多解，重視展示思維過程，讓學(xué)生通過比較來感悟方程解決問題的優(yōu)越性，從中了解和體會數(shù)學(xué)地研究問題的思路與方法．