數形結合思想下小學生解決問題能力提升的思考與實踐

李承慧

（南師附中仙林學校小學部南郵校區 江蘇南京 210000）

數形結合思想既是數學中重要的數學思想，也是解決問題時有效的數學方法。在小學階段，將數學思想與數學方法統稱為數學思想方法。小學階段的數學思想有很多，數形結合就是其中之一。數形結合指的是，借助簡單的圖形、符號和文字所作的示意圖，通過數和形之間的對應關系和相互轉化來解決問題的思想方法。數形結合可以使抽象的問題數學化、繁難的問題簡潔化，有利于小學生抽象和形象思維的協調發展。教師利用數形結合思想可以幫助小學生利用數學概念、原理和方法，解決現實世界中與數量、圖形有關的問題，不斷提高自身發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。

一、利用數形結合思想，加強算法算理的融合

小學階段需要提升的解決問題能力之一就是數學計算與推理。當下的計算教學，很多老師將教學著力點放在“如何算”上，而忽略“為什么這樣算”，未能準確地把握計算教學中“知其然，知其所以然”的必要性，忽視了算理的理解對于學生計算能力提升所起到的重要作用。所以，在計算教學中要加強對算理的理解。算理是比較抽象的，對于偏形象思維的小學生來講，他們更容易接受“數”“形”相結合的算理。所以，在進行計算教學時，要努力利用數形結合的思想，將無形的數與有形的形結合起來，引導學生加強算法與算理的融合，從而不斷地提高學生的理解能力和計算水平。

1.動手做

在教學蘇教版二年級下冊的“有余數除法”時，教師先創設情境再提出問題：把10支鉛筆分給小朋友，每人分2支，可以分給幾人？每人分3支、4支、5支呢？先動手分一分，再記錄在表格里，并在小組里說說你的發現。學生通過擺一擺，獲得了如下操作結果：

學生在動手操作后，有了對小棒圖的觀察和分析，很容易和下面的幾道算式一一對應：

10÷2＝5（人）

10÷3＝3（人）……1（支）

10÷4＝2（人）……2（支）

10÷5＝2（人）

學生對著形象的操作結果以及幾道除法算式，進一步理解了有余數除法的本質含義、算式的各部分名稱以及計算方法，對于學生牢固地掌握有余數除法，并解決相關問題有著積極的意義。

2.看圖說

對于蘇教版三年級上冊的“兩、三位數乘一位數”，學生必須要牢固掌握算法及算理，才能為后續的更復雜的整數乘除法以及小數乘除法的學習打下堅實的基礎。

根據圖意，學生不難列出乘法算式：12×3。在學生準確說出這道乘法算式的含義后，放手讓學生獨立計算12×3。有的學生結合之前的操作經驗，利用學具輔助對計算結果的探究：

根據這個小棒圖，有的學生聯系乘法意義，一下子想到12×3＝12+12+12＝36；有的學生利用數的組成來拆分計算，3個10是30，3個2是6，合起來就是36；還有的學生直接計算，3×10＝30，3×2＝6，30+6＝36。學生在數形結合的基礎上充分表達了自己的算法。其實，學生在表達算法的同時，也準確地表達出了對12×3算理的理解，進一步地鞏固了兩位數乘一位數的算法，這也為后續的兩位數乘一位數的豎式計算做好了鋪墊。

利用數形結合去融合理解算法與算理，尊重了小學生形象思維為主導的學習特點，既能夠幫助學生理解算理掌握算法，又能夠幫助學生進一步發展數學思維，不斷提高計算水平和問題解決能力。

二、利用數形結合思想，促進空間觀念的形成

空間觀念是2022版課程標準中小學與初中階段的重要核心素養之一。它的形成與否決定了學生能否“會用數學的眼光觀察現實世界”。空間觀念的形成，有助于學生理解現實生活中空間物體的形態與結構，是形成空間想象力的經驗基礎。但小學生以形象思維為主，而空間觀念培養需要小學生具備一定的抽象思維能力，對于抽象思維能力較弱的小學生來說，在學習過程中會感到枯燥無味，且難以在講授中獲取空間概念。因此，培養小學生空間觀念又是小學數學教學的難點之一。

蘇教版五年級上冊的“多邊形的面積”，主要教學平行四邊形、三角形以及梯形的面積。在實際的教學中，筆者發現學生經常會混淆面積計算公式。特別是三角形和梯形的面積計算時，學生經常會忘記除以2。不少老師認為是學生對這些平面圖形的面積計算公式掌握不牢導致的。究其原因，是學生對這些平面圖形的面積計算公式推導過程掌握得不扎實。所以，在教學時，我引導學生根據學習內容的推進適時地繪制脈絡式平面圖形面積公式的推導圖，用圖文結合的方式，幫助自己進一步理解平面圖形的面積公式。

在一步一步地完善過程中，及時引導學生觀察、分析所繪制的推導圖，找到平面圖形面積公式推導過程中的聯系與區別、相同點與不同點。學生集思廣益，能從不同的角度發現知識，總結規律。例如長方形面積公式是其他平面圖形面積公式的推導基礎；平行四邊形、三角形、梯形面積公式推導時都利用了轉化的數學思想；平行四邊形的面積公式又是三角形和梯形面積公式的推導基礎；三角形、梯形的面積公式推導時都是利用兩個完全相同的圖形拼成平行四邊形進行的，所以，三角形、梯形的面積公式最后都要除以2等。有了這樣的深度思維過程，學生對面積公式的本質理解更深入了，相關問題就能迎刃而解了。

可見，數形結合的方法能夠“以圖解形”“以形助圖”，能幫助學生具體問題具體對待，靈活轉變思維模式，將形象思維與抽象思維有機結合起來，力爭用淺顯易懂的方法解決復雜、陌生的問題，不斷地優化解決問題的方式，提高思維的深度和廣度，從而提高解決問題的能力。

三、利用數形結合思想，輔助數學信息的梳理。

在教學中經常會遇到這樣一種情況，對于數學信息較多、較復雜、較難理解的問題，不少學生會束手無策，解決問題時思維較混亂，導致結果出錯。數學是一門邏輯性很強的學科，需要學生有清晰的邏輯思維能力，能夠有較強的數感去直觀把握量與量之間的關系等。而對于這方面能力比較欠缺的學生而言，數學信息在其意識中是無序的、繁雜的，即便是幫助他們就題解題，遇到其他類型的問題依舊會出現類似的學習現象。所以，有條理地整理題目中較復雜的數學信息，是能夠正確解決相關問題的基礎，也是關鍵。

運用數形結合的思想，不僅可以幫學生整理數學信息，理清解題思路，找到準確的解題方法，更重要的是由于形象、抽象思維的協調運用，進一步地拓寬了解題的思維寬度，提升了思維的靈活性和創新性，也進一步提高了解決問題的能力。

四、利用數形結合思想，引導數量關系的確立。

在解決數學問題過程中，學生數感的強弱直接影響到他們能否快速、準確地利用題目中相關聯的條件找出數量關系并列式解答。對于數感及抽象思維都較弱的學生而言，借助圖形找出數量關系，就顯得尤為重要了。

在蘇教版四年級上冊“解決問題的策略”單元有這樣一道思考題：

變化的是倒入水的杯數和總質量，不變的是空杯的質量。但有的學生就是想不到這個不變量，導致解題時無從下手。這時，我引導孩子們畫出這樣的示意圖：

在經歷了畫示意圖表示數學信息的過程后，學生就能夠很直觀地看出其中的變化關系，也就是（980-740）克對應的是（5-3）杯水，而和空杯子本身的質量是無關的，所以就能夠準確地找到解決本題的數量關系：（變化后總質量-變化前總質量）÷（變化后的杯數-變化前杯數）＝每杯水的質量，列出算式就是：（980-740）÷（5-3）＝120（克）。

還有這樣一道題：甲、乙、丙三人一共有圖書125本，乙比甲多10本，丙的本數是甲的3倍還多15本，請問甲、乙、丙各有多少本圖書？很顯然，這道題的數量關系是比較復雜的，需要學生畫圖整理數學信息，并從中尋找數量關系。

學生畫出線段圖后，進行集體交流：和之前學過的哪種類型題目像？（倍數問題）感到困難的地方在哪里？（乙和丙的本數都不是甲的整倍數）對于多出來的10本、15本，怎么解決？在這樣的引導下，學生就會再次結合形象的線段圖思考圖形與數量之間的關系，而且積極地尋找到解題的突破口。學生很容易想到（125-10-15）本對應的是線段圖中甲的本數的（1+1+3）倍，從而順利求出甲的本數：（125-10-15）÷（1+1+3）＝甲的本數的5倍，即（125-10-15）÷（1+1+3）＝20（本），求出甲的本數后再對著線段圖中所展現出來的數量關系，順利求出乙的本數：20+10＝30（本），還有丙的本數：20×3+15＝75（本）。

可見，在解決稍復雜的數學問題時，教師引導學生把數和形結合起來思考，根據問題的具體情形，把圖形的問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形的問題，能夠使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，進一步地提高學生的思維能力和解決問題的能力。

著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性，數形結合通過“以形助數”或“以數解形”，加強抽象思維與形象思維的有機融合，能使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現優化解題途徑、提高解決問題能力的目的。