基于圖像噪聲源的單粒子布朗運動模擬

楊凱寧，李井源，孟群康，江先陽，王曉峰

（武漢大學(xué)a.物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院；b.物理國家級實驗教學(xué)示范中心，武漢 430072）

0 引言

自然界中有許多隨機現(xiàn)象，人們嘗試了解和計算這些隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，將這些隨機現(xiàn)象應(yīng)用于通信安全［1］和芯片加密［2］等領(lǐng)域。本實驗研究的圖像噪聲，是指存在于圖像數(shù)據(jù)中不必要或多余的干擾信息，其通常表現(xiàn)為引起較強視覺效果的孤立像素點或像素塊［3］。噪聲可以描述為“不可預(yù)測的，只能用概率統(tǒng)計方法來認(rèn)識的隨機誤差”。對于噪聲的去除往往用一定的算法來實現(xiàn)。目前圖像去噪的通常算法有變換域去噪算法，即將二維圖像信號通過傅里葉分析等方法變換到頻率域中，再利用噪聲的高頻特性將其濾除［4］。

布朗運動，作為人類最早認(rèn)識微觀世界的契機，蘇格蘭植物學(xué)家羅伯特·布朗發(fā)現(xiàn)水中的花粉及其他懸浮的微小顆粒不停地作不規(guī)則運動。1877 年，Delsaulx［5］提出，布朗運動的原因是微小顆粒受到周圍分子不平衡的碰撞而導(dǎo)致的運動。1905 年，愛因斯坦發(fā)表了關(guān)于布朗運動理論的論文，布朗運動成為分子運動論和統(tǒng)計力學(xué)的基礎(chǔ)［6］。對于布朗運動的展示，常用顯微鏡直接觀察花粉在液滴內(nèi)的運動，由于花粉布朗運動是隨機的分子熱運動，其具有快速、隨機、大范圍的特點，難以完全復(fù)現(xiàn)；大多數(shù)科技館中的布朗運動演示儀是利用偽隨機數(shù)電控小球進行撞擊，僅僅演示出類似隨機的現(xiàn)象，并不是真正的隨機現(xiàn)象。為克服布朗運動難以測量和演示的困難，在實驗中設(shè)計了基于圖像噪聲的隨機源，并利用現(xiàn)場可編程邏輯門陣列（Field Programmable Gate Array，F(xiàn)PGA）驅(qū)動小車模擬單粒子的布朗運動，其使用簡便、直觀，具有較高的測量準(zhǔn)確度。

1 實驗原理

1.1 布朗運動

用顯微鏡觀察液面懸浮的微粒，當(dāng)微粒足夠小時，受到來自各個方向的液體分子撞擊作用是不平衡的。當(dāng)微粒在某一個方向受到撞擊作用較強時，致使微粒又向其他方向運動，這樣就引起了微粒的無規(guī)則的運動。這種被分子撞擊的懸浮微粒做無規(guī)則運動的現(xiàn)象，稱為布朗運動［7］。

愛因斯坦建立的布朗運動擴散理論［8］，考慮了布朗粒子的一維無規(guī)則運動，粒子每隔r時間被撞擊一次移動的距離為l，每次撞擊后向左和向右運動的可能性各占一半。假設(shè)粒子從原點出發(fā)，在時刻t粒子已受到了n＝t／r次撞擊。愛因斯坦指出：粒子的平均位移為零，均方位移與時間成正比，即

式中，D為擴散系數(shù)。

本實驗利用圖片噪聲生成隨機數(shù)控制小車進行一維和二維運動，在宏觀上模擬布朗運動。

1.2 圖像噪聲的提取

（1）噪聲產(chǎn)生。圖像噪聲分為外部噪聲和內(nèi)部噪聲。外部噪聲指系統(tǒng)受外部環(huán)境的干擾，以電磁波的形式進入系統(tǒng)內(nèi)部而引起的噪聲；內(nèi)部噪聲是指圖像采集設(shè)備中的電子元件產(chǎn)生的噪聲，器件中電子或空穴的隨機性熱運動產(chǎn)生的噪聲，以及光傳播過程中光量子密度受氣體分子的散射產(chǎn)生的光量子噪聲。所有噪聲最終疊加在生成的圖像中，表現(xiàn)為一種隨機的二維高頻噪聲［3］。

（2）小波法提取噪聲。小波變換是一種能對時間或空間頻率的局部化分析，通過伸縮平移運算對信號逐步進行多尺度細(xì)化，能自動適應(yīng)時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細(xì)節(jié)的數(shù)據(jù)分析算法［9-10］。二維數(shù)據(jù)的小波變換的定義如下：

令f(x1，x2) ∈L2（R2）為一個二維信號，x1、x2分別為其橫、縱坐標(biāo)；ψ（x1，x2）為二維基本小波。

正變換和逆變換分別為

利用基本的二維小波變換對圖像的二維信號作兩級多分辨率分析，經(jīng)過正變換之后通過臨界閾值截斷的部分，其逆變換結(jié)果即為圖像中的噪聲信號［3，10-12］。

處理步驟主要分為灰度化、兩級小波變換、噪聲提取和隨機性優(yōu)化?；叶然菍D像的RGB 信息轉(zhuǎn)化為灰度信息，設(shè)定灰度值為0～255；兩極小波變換是將灰度化后的圖像去噪；噪聲提取是對原灰度圖像和去噪后的圖像的灰度值求差，并將此差值的中間量偏移128，產(chǎn)生噪聲圖像；隨機性優(yōu)化是將噪聲圖像網(wǎng)格化為多個4 ×4 的灰度值矩陣，每個灰度值矩陣在相同位置取出一個元素組成優(yōu)化后的噪聲圖像，目的是減少圖像相鄰像素點之間的關(guān)聯(lián)性。

（3）小波法與高斯法噪聲提取效果對比。本研究利用Matlab中小波函數(shù)sym4 對原圖［圖1（a）］進行2層小波變換去噪，再將噪聲對應(yīng)的小波變換參數(shù)進行逆變換，得到的結(jié)果為小波法提取出噪聲圖像［圖1（b）］。

作為對比，利用Matlab 中的高斯濾波函數(shù)gausFilter做類似噪聲提取處理，得到的噪聲圖像如圖1（c）所示。

圖1 噪聲提取算法的對比

可見，高斯法得到的噪聲圖明顯保留了一部分原圖的信息，而小波法得到的噪聲圖基本去除了原圖信息的影響［14］。

1.3 隨機數(shù)的產(chǎn)生

取出噪聲圖像中每個像素點的灰度值，將灰度值數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為二進制隨機數(shù)。統(tǒng)計噪聲圖片中每個像素點的灰度值出現(xiàn)的個數(shù)，繪出直方圖（見圖2），像素點灰度值分布呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)期望μ 為128 的高斯分布，即提取出來的噪聲為隨機噪聲。

圖2 噪聲圖像灰度值分布統(tǒng)計圖

將灰度值轉(zhuǎn)換為二進制隨機數(shù)。以灰度中值128作為臨界值，將灰度二值映射為0 和1，以實現(xiàn)二進制隨機數(shù)的產(chǎn)生。

1.4 小車對布朗運動的模擬

（1）小車模擬粒子作一維布朗運動。將20 bit二進制隨機數(shù)作為小車一維運動一次的指令，其中最高位控制前后方向，余下位控制小車每次所走的路程。小車每次所走的路程與控制位的關(guān)系：

（2）小車模擬粒子作二維布朗運動。將20 位二進制隨機數(shù)作為小車一維運動運動一次的指令，其中前10 位控制小車轉(zhuǎn)向的角度，后10 位控制小車每次所走的路程。小車轉(zhuǎn)向角度與控制位的關(guān)系：

1.5 小車位置的測量

（1）超聲波反射法測量小車位置（一維）。測量一維運動中小車位置的方法如圖3 所示。

圖3 超聲波反射法測量小車位置

將超聲波發(fā)射／接收模塊置于小車前端，通過式（8）計算小車距離前方擋板的距離即可推斷出小車現(xiàn)在所處位置，數(shù)據(jù)通過藍牙傳送給電腦端進行分析處理。

式中：tEcho為超聲波從發(fā)射到接收過程的時間；vsound為超聲波在空氣中的傳播速度。

（2）梯形校正法測量小車位置（二維）。測量小車在二維平面內(nèi)運動位置的方法為梯形校正法，如圖4 所示。

圖4 梯形校正法測量小車位置

利用插值算法對圖片進行逐行掃描和插值，以使得圖像視覺對齊。通過讀取校正后小車的位置，軟件可以較為準(zhǔn)確地計算出小車在地面實際位置［15］。

2 實驗方法

2.1 小波法生成隨機數(shù)

為避免外界環(huán)境對提取噪聲準(zhǔn)確度的影響，用相機拍攝單一顏色的環(huán)境得到原始圖像。如1.2、1.3 節(jié)所述，將原始圖像灰度化，利用小波法生成噪聲圖像，取出每個像素點的灰度值生成二維矩陣，將此二維矩陣進行4 ×4 網(wǎng)格化處理，生成新的噪聲圖像，取出每個像素點的灰度值并將其灰度值數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為二進制隨機數(shù)。

2.2 小車模擬粒子運動

如1.4 節(jié)所述定義小車運動的方法，將從圖像噪聲中產(chǎn)生的隨機數(shù)存入只讀存儲器（Read-Only Memory，ROM），通過FPGA 讀取儲存在ROM 中的隨機數(shù)并控制小車運動，使小車走出單個粒子布朗運動的軌跡。

3 數(shù)據(jù)測量與理論驗證

實驗通過FPGA 驅(qū)動小車運動，利用Matlab 進行實現(xiàn)噪聲的提取和處理以及對實驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計和分析。實驗用小車如圖5 所示。

圖5 實驗所用小車

3.1 小車模擬一維粒子布朗運動

（1）實驗裝置如圖6 所示。

圖6 一維布朗運動模擬裝置

（2）實驗數(shù)據(jù)與分析。由于實驗空間以及超聲波模塊測量距離的限制，小車單次行駛的最大距離設(shè)置為400 mm，在小車運動過程中，記錄小車運動的第5、10、15、20 和25 次運動后的位置，進行100 次實驗，算出平均值與平方平均值見表1，并畫出平方平均值與運動時間的關(guān)系圖，如圖7 所示。

圖7 均方位移與運動次數(shù)關(guān)系（一維布朗運動）

表1 一維布朗運動實驗數(shù)據(jù)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)）

（3）一維單粒子布朗運動的仿真。因?qū)嶒瀳龅?、小車電池電量等因素的限制，難以進行長時間的小車布朗運動的模擬，于是進行粒子一維布朗運動的仿真，并對布朗運動條件進行驗證。

將粒子運動的最大距離歸一化，規(guī)定每次實驗粒子運動的次數(shù)為10，實驗的次數(shù)n由10～10 000依次增加，計算n次實驗中粒子的位移平均值，如圖8（a）所示?？梢?，隨著試驗次數(shù)的增多，趨于0 附近，當(dāng)粒子的平均數(shù)增加時，平均位移將穩(wěn)定在原點附近，符合式（1）的布朗運動的規(guī)律。

將粒子運動的最大距離歸一化，規(guī)定實驗的次數(shù)n＝1 000，粒子每次實驗運動的次數(shù)從1 依次增加到100，計算1 000 次實驗中粒子分別運動1～100 次的位移的平方平均值2，如圖8（b）所示。可見，位移的平方平均2風(fēng)使舵與粒子的運動次數(shù)趨于成正比關(guān)系，粒子每次運動的時間是一定的，則粒子運動時間和運動步數(shù)成正比。由此，粒子運動的均方位移正比于運動時間，符合式（2）的布朗運動的規(guī)律。

圖8 一維布朗運動的仿真驗證

3.2 小車模擬二維粒子布朗運動

（1）實驗裝置如圖9 所示。

圖9 二維布朗運動模擬裝置

（2）實驗數(shù)據(jù)與分析。小車單次行駛的最大距離設(shè)置為400 mm，在小車運動過程中，記錄小車運動的第5、10、15、20 和25 次后的位置，進行100 次實驗，算出平均值與平方平均值見表2，并繪制平方平均值與運動時間的關(guān)系圖，如圖10 所示。

圖10 均方位移與運動次數(shù)關(guān)系（二維布朗運動）

表2 二維布朗運動實驗數(shù)據(jù)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)）

4 實驗誤差分析

本實驗是在宏觀上對微觀現(xiàn)象進行模擬，需要對模擬的準(zhǔn)確度進行誤差分析。誤差主要來源于小車的轉(zhuǎn)動慣性、與地面摩擦力的不均勻、小車電池電壓不穩(wěn)定等因素，還有在實驗測量過程中的誤差。在測量一維運動中，測量誤差來自于超聲波模塊；在測量二維運動中，測量誤差來源于梯形校正算法。

4.1 小車一維運動實驗誤差

設(shè)定距離為400 mm（單次運動的最大距離），記錄超聲波測距模塊讀出的測量距離見表3。

表3 小車一維運動實驗誤差測量數(shù)據(jù)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)）

根據(jù)表3 中L1和L2的數(shù)據(jù)以及超聲波模塊儀器手冊讀出的“Δ1＝0.1 mm”可算出不確定度為

式中，n＝50。

在設(shè)定一維運動400 mm 的情況下，其測量距離為400 ±4 mm。

4.2 小車二維布朗運動實驗誤差

設(shè)定終點坐標(biāo)為（400 mm，400 mm），用卷尺讀出實際距離，用梯形校正法讀出測量距離見表4。

表4 小車二維運動實驗誤差數(shù)據(jù)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)）

計算識別算法的誤差“Δ2”：錄像畫面分辨率為1 920 ×1 080，每像素對應(yīng)的實際長度約為0.15 mm，經(jīng)過多次檢驗和邊緣調(diào)整，小車識別點像素位置誤差在x方向和y方向均不超過20 個像素點，即梯形校正后橫、縱坐標(biāo)測量誤差均為8 mm，經(jīng)計算可得Δ2＝3 mm。根據(jù)表4 中（x1，y1）和（x2，y2）的數(shù)據(jù)，算出不確定度分別為

式中，n＝50。

在設(shè)定二維運動目標(biāo)坐標(biāo)為（400 mm，400 mm）的情況下，其測量坐標(biāo)為（400 ±9）、（400 ±9）mm。

5 結(jié)語

本實驗通過圖像噪聲產(chǎn)生隨機數(shù)，并用隨機數(shù)控制小車作一、二維運動，作為微觀布朗運動的宏觀模擬。經(jīng)Matlab仿真分析發(fā)現(xiàn)：小車運動的平均位移趨近于零，小車運動的均方位移和時間趨于正比關(guān)系，符合布朗運動的規(guī)律。通過本實驗，將復(fù)雜和難以演示的微觀粒子布朗運動，用簡易的、易于展示的小車運動演示出來，對布朗運動的模擬展示具有一定的意義。