力密度法在空間索面人行懸索橋主纜找形分析中的應(yīng)用

朱友鎧

（西華大學(xué)建筑與土木工程環(huán)境學(xué)院，四川 成都 611730）

0 引言

近年來，隨著我國(guó)旅游業(yè)的高速發(fā)展，人行懸索橋由于其強(qiáng)大的跨越能力和優(yōu)美的結(jié)構(gòu)形式廣泛地應(yīng)用于中西部山區(qū)和部分旅游景區(qū)。目前,對(duì)懸索橋主纜線路形的計(jì)算基礎(chǔ)理論研究,大致包括了傳統(tǒng)的拋物線基礎(chǔ)理論、分段拋物線基礎(chǔ)理論、分段直線基礎(chǔ)理論以及分段懸鏈線基礎(chǔ)理論等,在忽視了主纜抗彎剛度的因素下,以分段懸鏈線基礎(chǔ)理論較為準(zhǔn)確[1]。平行索面懸索橋幾種設(shè)計(jì)方法的誤差探討已較完善，如唐茂林《大跨度懸索橋空間幾何非線性分析與軟件開發(fā)》[2]。而關(guān)于空間索面吊橋各設(shè)計(jì)理論的最大誤差及其應(yīng)用情況的探討,目前國(guó)內(nèi)研究尚缺乏。本文對(duì)力密度法在空間索面懸索橋主纜找形分析中的應(yīng)用進(jìn)行介紹。

1 力密度法

1.1 力密度法的概念

力密度法是一個(gè)高效的索膜結(jié)構(gòu)找形方法,所謂“力密度”便是桿單元內(nèi)力和長(zhǎng)度之比，由H.J.Shcek首先提出，并用于索網(wǎng)與膜結(jié)構(gòu)等建筑物的找形分析，后來針對(duì)膜結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，L.Grunidg等人改進(jìn)并推廣了該理論[3]。通過對(duì)節(jié)點(diǎn)平衡方程組加以適當(dāng)?shù)淖兓?在引入力密度法后可以將非線性方程組化為一次方程組，在簡(jiǎn)化運(yùn)算的同時(shí)，也提高了運(yùn)算的速度和精確度。通過選取所預(yù)期的力密度值作為平衡方程中的已知值,從而獲取有關(guān)節(jié)點(diǎn)位置的線性方程組,進(jìn)而求出節(jié)點(diǎn)的三維坐標(biāo),便可得出所欲解析結(jié)構(gòu)的幾何線形,并同時(shí)求出各單元的內(nèi)力及無應(yīng)力長(zhǎng)度,通過該方法規(guī)避了初始坐標(biāo)系的設(shè)置和非線性控制系統(tǒng)的收斂?jī)纱髥栴}。

1.2 力密度法的基本原理

在基于力密度法的找形計(jì)算中,主要基礎(chǔ)技術(shù)參數(shù)包含:單元與節(jié)點(diǎn)之間的拓?fù)渎?lián)系、邊界約束要求、平衡內(nèi)力分布和平衡條件下的結(jié)構(gòu)幾何形狀，結(jié)構(gòu)的拓?fù)渎?lián)系確定了結(jié)構(gòu)單元和連接節(jié)點(diǎn)之間的規(guī)律和次序[4]。

根據(jù)力密度的基本原理，將描述各單元與節(jié)點(diǎn)聯(lián)系的拓?fù)渚仃嚩x為：

式中：e——單元編號(hào)，取值范圍為[1，m]；

i——節(jié)點(diǎn)號(hào)，取值范圍為[1，n](n為自由節(jié)點(diǎn)和固定節(jié)點(diǎn)之和)；

Ct——有m行和n列。

以x方向?yàn)榇?假設(shè)節(jié)點(diǎn)位置由n維向量{x}組成，則得到各節(jié)點(diǎn)的位置差矢量{u}為：

設(shè)單元長(zhǎng)度和單元內(nèi)力的m維向量分別為{l}和{t},外荷載向量為{P}。取屬于{u}和{l}的對(duì)角矩陣[U]和[L]，即可表示各節(jié)點(diǎn)的合力均為零。其中[U]屬于{u}的意義為將m維矢量{u}轉(zhuǎn)化為m×m維的對(duì)角矩陣[U]。則結(jié)構(gòu)平衡關(guān)系表達(dá)式為：

令：

則可以得到等效于式（3）的方程。

此時(shí)力密度為m維的矢量{q}為單元內(nèi)力與單元長(zhǎng)度之比。據(jù)式（4）可得出平衡方程為：

據(jù)：

式中：[Q]——屬于{q}的對(duì)角矩陣，將式（6）代入式（5）后得：

令：

則式（7）改寫為：

式（8）為力密度法的基本方程組。式中，n維方陣[D]是[Ct]的廣義高斯變換，對(duì)角矩陣[Q]的元素為力密度，若結(jié)構(gòu)中不存在孤立點(diǎn)，且q>0，則[D]為正定矩陣。

對(duì)于任何一個(gè)既定的荷載體系，就有一組與之相對(duì)應(yīng)的力密度值，且在這組力密度下的荷載體系擁有其唯一平衡形態(tài)：

單元內(nèi)力{t}為：

對(duì)于既定的結(jié)構(gòu)內(nèi)部關(guān)系即為拓?fù)渚仃嚕谝阎暮奢d和邊界條件下，矢量{q}和平衡形態(tài)的改變保持同步。由此可見，根據(jù)力密度法對(duì)空間索面懸索橋主纜結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行描述是適用的。

2 程序?qū)崿F(xiàn)

2.1 力密度法找形基本假定

分析與設(shè)計(jì)程序中，假定：

（1）材料遵循胡克定律，應(yīng)力-應(yīng)變呈線性關(guān)系；

（2）主纜屬于既不受壓也不受彎的理想柔性，因主纜的截面尺寸與索長(zhǎng)相比非常小，所以截面的抗彎剛度在計(jì)算中可以忽略不計(jì)；在索曲線有轉(zhuǎn)折的地方，如果轉(zhuǎn)折的曲率半徑足夠大，那么局部彎曲同樣忽略不計(jì)；

（3）由于懸索橋主纜橫截面積在外荷載作用下變化量十分微小，因此在計(jì)算纜索變形時(shí)主纜的抗拉剛度忽略這種變化帶來的細(xì)微影響[5]。

2.2 空纜纜型求解

由于空纜主跨垂度為已知量，因此可以將主纜的垂度作為迭代求解的重要依據(jù)。在此過程中，其他所需基本參數(shù)如下：?jiǎn)卧獢?shù)、節(jié)點(diǎn)數(shù)、邊界條件、節(jié)點(diǎn)荷載數(shù)、主纜自重集度、垂度、彈性模量、力密度區(qū)間及收斂限等。主纜線形求解流程如圖1所示。

圖1 主纜線形求解流程圖

將上述參數(shù)進(jìn)行編輯，利用Matlab軟件的強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算功能進(jìn)行編程求解。根據(jù)力密度法，則式（10）可改寫為：

由式（12）~（14）則可以求出任意張力體系下自由節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而獲得體系平衡狀態(tài)的精確位置。當(dāng)懸索橋主纜的荷載及約束條件確定后，主纜的最終狀態(tài)也是唯一的。因此，在此方法中，以主纜垂度作為控制條件，找到一組合適的力密度值，進(jìn)而完成各索段的循環(huán)分析。

3 工程算例與找形結(jié)果分析

本文以某空間索面懸索橋?yàn)楣こ瘫尘埃ㄒ妶D2），該橋僅在跨中495m長(zhǎng)度范圍內(nèi)設(shè)加勁梁，兩側(cè)分別有55.0m和60.0m無吊索區(qū)。主塔為非對(duì)稱設(shè)計(jì)，一側(cè)主塔塔頂高程為891.0m，主纜橫向間距為3.0m；另一側(cè)主塔塔頂高程為911.0m，主纜橫向間距為30.0m；中跨主纜跨中在恒載作用下成橋垂度為50.0m，成橋矢跨比為1/12。

圖2 橋型布置圖

該橋設(shè)置上游、下游兩根主纜，主纜采用預(yù)制平行鋼絲索股，每股由91根直徑為5.3mm鍍鋅高強(qiáng)鋼絲組成，鋼絲標(biāo)準(zhǔn)抗拉強(qiáng)度不小于1960MPa，每根主纜由37股索股組成。

針對(duì)該橋空纜線形的確定問題，基本參數(shù)如下：索塔高差h=20m，主纜計(jì)算跨徑L=600m，無應(yīng)力長(zhǎng)度分別為609.5841m和609.8555m，等效直徑D=307.537mm，等效橫截面積A=0.07428m2，彈性模量E=1.98E+5MPa，沿主纜弦線的自重均布荷載為q=5831.1N/m。單幅空纜狀態(tài)線形計(jì)算結(jié)果見圖3。

圖3 懸索橋單幅空纜狀態(tài)計(jì)算線形

為驗(yàn)證本文采取的力密度法應(yīng)用于空間索面懸索橋主纜找形研究的正確性，根據(jù)計(jì)算結(jié)果采取Midas/Civil有限元軟件對(duì)其建立有限元模型并進(jìn)行自平衡校驗(yàn)。Midas/Civil有限元模型見圖4，主纜位移分析結(jié)果見圖5。

圖4 中跨空纜有限元模型圖

圖5 單幅空纜狀態(tài)位移分析結(jié)果

從主纜橫橋向和縱向位移結(jié)果可以看出：基于力密度法理論建立的Midas/Civil有限元模型靜力分析中主纜橫橋向位移均小于0.01mm；主纜豎向位移最大值僅為3.047mm，表明力密度法應(yīng)用于空間索面懸索橋主纜找形得出的計(jì)算結(jié)果精度高，且滿足工程精度要求。

4 結(jié)束語

通過對(duì)力密度法的推演、程序?qū)崿F(xiàn)以及依托工程的算例分析，得出以下結(jié)論：

（1）力密度法在空間索面懸索橋主纜進(jìn)行找形分析中具有較強(qiáng)的適用性和可靠性，能將計(jì)算結(jié)果應(yīng)用于施工流程中，同時(shí)成為施工作業(yè)的指導(dǎo)性資料，能更有效地幫助空纜架設(shè)的順利進(jìn)行。

（2）力密度法及本文基于力密度法的實(shí)現(xiàn)程序，對(duì)其他類型懸索橋同樣適用，根據(jù)力密度法原理，力密度在結(jié)構(gòu)體系各單元中的分布規(guī)律和相對(duì)值才是真正影響找形結(jié)果的因素，因此，通過計(jì)算迭代得出一組合適的力密度值，不僅規(guī)避了初始坐標(biāo)問題和非線性系統(tǒng)的收斂問題，而且進(jìn)一步證實(shí)了力密度法在空間索面懸索橋主纜找形分析中具有收斂穩(wěn)定、高效率和高精度的特點(diǎn)。