壓電疊堆作動(dòng)器率相關(guān)遲滯非線性建模研究

王琴琴， 周孟德， 孫晨晉， 任宇航， 張新雨， 劉 巍

(大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 遼寧 大連 116024)

0 引言

壓電作動(dòng)器作為能實(shí)現(xiàn)電能-機(jī)械能相互轉(zhuǎn)換的微納精度執(zhí)行器，具有體積小，位移分辨率高，響應(yīng)速度快及輸出驅(qū)動(dòng)力大等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于光學(xué)掃描定位、航空航天及生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域進(jìn)行精密定位與控制[1]。在高速風(fēng)洞飛行器動(dòng)穩(wěn)定性評(píng)估試驗(yàn)中，壓電作動(dòng)器作為角位移輸出裝置的驅(qū)動(dòng)元件，通過(guò)電壓驅(qū)動(dòng)的方式驅(qū)動(dòng)壓電疊堆作動(dòng)器產(chǎn)生微位移，經(jīng)角度轉(zhuǎn)換放大裝置轉(zhuǎn)化為不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)[2]。然而壓電材料存在遲滯非線性現(xiàn)象，即輸入電壓與輸出位移呈多值映射性，使壓電作動(dòng)器輸出位移偏移預(yù)設(shè)值，從而影響角位移裝置的輸出精度，甚至造成整個(gè)動(dòng)穩(wěn)定性評(píng)估系統(tǒng)失穩(wěn)[3]?？刂葡到y(tǒng)輸入信號(hào)頻率不固定，而壓電元件輸出位移不僅與當(dāng)前輸入信號(hào)有關(guān)，還受輸入信號(hào)頻率影響。因此，建立壓電疊堆作動(dòng)器的率相關(guān)遲滯非線性模型，是實(shí)現(xiàn)執(zhí)行器線性化控制的前提和保障，有利于提高控制系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性。

針對(duì)壓電元件的遲滯建模問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的科學(xué)研究。目前，描述遲滯現(xiàn)象的模型主要分為：

1) 基于遲滯內(nèi)在物理機(jī)制的物理模型(如Jiles-Atherton模型[4]及Duhem模型[5]等)。

2) 僅考慮系統(tǒng)輸入輸出數(shù)學(xué)關(guān)系的唯象模型(如Prandtl-Ishlinskii(PI)模型、Bouc-Wen模型[6]及Hammerstein模型[7]等)。

3) 基于機(jī)器學(xué)習(xí)方法的智能模型(如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[8]及支持向量機(jī)模型[9]等)。

PI模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且存在數(shù)學(xué)解析逆模型，是當(dāng)前應(yīng)用最廣的遲滯建模方法之一，但PI模型只適用于描述對(duì)稱的遲滯曲線。壓電疊堆作動(dòng)器遲滯環(huán)具有非對(duì)稱及非光滑的特點(diǎn)。許多學(xué)者提出了改進(jìn)的PI模型(如變間隔閾值PI模型[10]、基于非對(duì)稱play算子的PI模型[11]及改進(jìn)增強(qiáng)型PI模型[12]等)，這類改進(jìn)模型通過(guò)將模型進(jìn)行分段描述及增加模型參數(shù)的方法，改善了PI模型奇對(duì)稱的局限性，但改進(jìn)后的模型存在結(jié)構(gòu)復(fù)雜、參數(shù)多的問(wèn)題，并且在輸入信號(hào)頻率大范圍變化時(shí)，建模精度降低，無(wú)法描述遲滯的動(dòng)態(tài)率相關(guān)特性。

本文針對(duì)壓電疊堆作動(dòng)器的遲滯非線性、非對(duì)稱特性，在PI遲滯模型backlash算子基礎(chǔ)上，提出了符合壓電作動(dòng)器遲滯環(huán)非對(duì)稱，輸入、輸出非負(fù)特性的asymmetric unilateral backlash(aubacklash)算子；考慮到遲滯現(xiàn)象的率相關(guān)記憶特性，構(gòu)建了基于aubacklash算子的率相關(guān)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(BPNN)遲滯模型。搭建了壓電疊堆作動(dòng)器遲滯建模精度評(píng)估系統(tǒng)，采用Levenberg-Marquardt(L-M)算法辨識(shí)了aubaklash算子參數(shù)，確定了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型的最優(yōu)結(jié)構(gòu)。通過(guò)單一高低頻及復(fù)合頻率信號(hào)下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了本文提出的建模方法的準(zhǔn)確性與頻率適應(yīng)性。

1 基于aubacklash算子的率相關(guān)BPNN遲滯建模

對(duì)壓電疊堆作動(dòng)器施加激勵(lì)電壓，其升壓與降壓階段的輸出位移曲線不重合，呈現(xiàn)出一對(duì)多的多值映射非線性，且遲滯曲線隨輸入電壓信號(hào)的頻率變化表現(xiàn)出明顯的率相關(guān)特性，如圖1所示。壓電疊堆作動(dòng)器遲滯非線性還具有局部記憶特性，即當(dāng)前時(shí)刻的輸出位移不僅取決于當(dāng)前時(shí)刻輸入，還受歷史輸出位移的影響。

圖1 壓電疊堆作動(dòng)器率相關(guān)遲滯非線性

本文提出的壓電疊堆作動(dòng)器率相關(guān)遲滯模型結(jié)構(gòu)如圖2所示。圖中，aubacklash算子用于描述靜態(tài)非線性遲滯特性，率相關(guān)特性擴(kuò)展輸入用于描述動(dòng)態(tài)率相關(guān)遲滯特性，將以上兩者結(jié)合構(gòu)成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入，構(gòu)建BPNN遲滯模型。

圖2 率相關(guān)遲滯模型結(jié)構(gòu)

1.1 靜態(tài)aubacklash算子遲滯模型

PI遲滯模型通過(guò)線性疊加多個(gè)不同權(quán)值和閾值的backlash算子來(lái)預(yù)測(cè)壓電疊堆作動(dòng)器遲滯響應(yīng)(見(jiàn)圖1)。backlash算子(見(jiàn)圖3)表達(dá)式為

圖3 backlash算子

(1)

式中：ub(t)為t時(shí)刻backlash算子輸入；Hr[ub](t)為backlash算子輸出；r為backlash算子閾值；T為采樣周期。

由圖3可知，backlash算子輸入-輸出圖像呈嚴(yán)格中心對(duì)稱，當(dāng)輸入為0時(shí)，算子輸出取決于算子權(quán)值與閾值。實(shí)際壓電疊堆作動(dòng)器升降壓遲滯回線非對(duì)稱，且輸入激勵(lì)電壓為0時(shí)，輸出位移響應(yīng)為0。因此,用backlash算子描述壓電疊堆作動(dòng)器遲滯非線性存在精度不足的問(wèn)題。

為增強(qiáng)算子靈活性，改進(jìn)backlash算子在原點(diǎn)處的殘余位移與算子圖像中心對(duì)稱性的問(wèn)題，提出了非對(duì)稱單邊aubacklash算子(見(jiàn)圖4)，其表達(dá)式為

圖4 不同非對(duì)稱系數(shù)m取值的aubacklash算子

(2)

式中：ua(t)為t時(shí)刻的aubacklash算子輸入；Hr,m[ua](t)為aubacklash算子輸出；r為aubacklash算子的閾值;m為非對(duì)稱修正系數(shù);T為采樣周期。

改進(jìn)后aubacklash算子依然具有原backlash算子結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，更符合壓電疊堆作動(dòng)器實(shí)際輸出時(shí)的特性。將以上n個(gè)不同權(quán)值w、非對(duì)稱修正系數(shù)m和閾值r的算子疊加可得到aubacklash算子模型輸出yAPI(t)：

(3)

算子閾值向量r=(r1,…,rn)T為一組由算子輸入決定的等差數(shù)列[12]：

(4)

式中：n為aubacklash算子個(gè)數(shù)；umax(t)為最大輸入電壓。

1.2 動(dòng)態(tài)率相關(guān)BPNN遲滯模型

BPNN通常由一個(gè)輸入層、一個(gè)非線性隱含層和一個(gè)線性輸出層構(gòu)成，采取輸入信息前向傳播、預(yù)測(cè)誤差反向傳播的方式進(jìn)行模型學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，使其輸出不斷逼近待辨識(shí)的復(fù)雜非線性模型[13]。與遲滯現(xiàn)象的多值映射特性不同，BPNN描述的是一對(duì)一的映射關(guān)系，因此需引入能代表遲滯率相關(guān)記憶性的特征輸入作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擴(kuò)展輸入層節(jié)點(diǎn)，通過(guò)擴(kuò)展BPNN輸入向量維度，使其能準(zhǔn)確描述壓電作動(dòng)器多對(duì)一的遲滯特性。

針對(duì)壓電疊堆作動(dòng)器的率相關(guān)遲滯特性，通過(guò)當(dāng)前時(shí)刻和上一時(shí)刻的輸入電壓作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擴(kuò)展特征輸入，以此表征輸入信號(hào)頻率對(duì)當(dāng)前時(shí)刻輸出位移的影響；針對(duì)其局部記憶特性，引入上一時(shí)刻的輸出位移作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擴(kuò)展特征輸入。因此，將上一時(shí)刻輸入激勵(lì)電壓u(t-1)、當(dāng)前時(shí)刻輸入激勵(lì)電壓u(t)、上一時(shí)刻輸出位移y(t-1)作為BPNN擴(kuò)展輸入，與aubacklash算子模型預(yù)測(cè)輸出yAPI(t-1)一起作為遲滯模型輸入層，形成由4個(gè)輸入層節(jié)點(diǎn)、j個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)、1個(gè)輸出層節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，該遲滯模型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 BPNN遲滯模型結(jié)構(gòu)示意圖

BPNN隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)將對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)精度產(chǎn)生較大的影響，隱含層最優(yōu)節(jié)點(diǎn)數(shù)的范圍為

(5)

式中：i為輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)；j為隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)；k為輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)；a為0～10的常數(shù)。

由圖5可知，i=4，k=1，再根據(jù)式(5)可得，BPNN遲滯模型中隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)為2～12。

2 遲滯模型參數(shù)辨識(shí)

2．1 遲滯建模精度評(píng)估系統(tǒng)

搭建的遲滯建模精度評(píng)估系統(tǒng)如圖6所示。數(shù)據(jù)采集記錄儀器使用美國(guó)NI公司嵌入式實(shí)時(shí)控制器，增設(shè)了采樣率250 kS/s的16位控制信號(hào)輸出(D/A)模塊及采樣率102.4 kS/s的24位應(yīng)變信號(hào)采集(A/D)模塊作為驅(qū)動(dòng)型號(hào)輸出及位移采集系統(tǒng)。壓電疊堆作動(dòng)器為德國(guó)PI公司的定制高壓壓電陶瓷P-016.20，其諧振頻率為64 kHz，壓電陶瓷內(nèi)部封裝的應(yīng)變片可用于實(shí)時(shí)應(yīng)變監(jiān)測(cè)，在驅(qū)動(dòng)電壓0～1 000 V下，作動(dòng)器標(biāo)稱行程范圍為0～30 μm。D/A模塊可輸出電壓信號(hào)為0～10 V。在驅(qū)動(dòng)電壓0～10 V下無(wú)法獲取壓電疊堆作動(dòng)器遲滯特性曲線，因此，在D/A模塊與壓電作動(dòng)器之間增加信號(hào)放大環(huán)節(jié)，選用PI公司功率放大器將D/A模塊輸出控制信號(hào)放大100倍。在功率放大器輸出驅(qū)動(dòng)信號(hào)作用下，壓電作動(dòng)器產(chǎn)生的應(yīng)變可通過(guò)應(yīng)變采集模塊構(gòu)成應(yīng)變?nèi)珮螂娐窚y(cè)量作動(dòng)器實(shí)時(shí)應(yīng)變，并由控制器實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)應(yīng)變-位移的轉(zhuǎn)換，進(jìn)而將位移信號(hào)傳輸至上位機(jī)顯示與保存，信號(hào)傳輸流程如圖6所示。

圖6 遲滯建模實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)圖

本實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)采集控制算法基于LabVIEW軟件，為實(shí)現(xiàn)不同頻率激勵(lì)電壓信號(hào)下壓電疊堆作動(dòng)器輸出位移信號(hào)的精確還原，設(shè)置輸入輸出模塊采樣頻率均為10 kHz，對(duì)壓電作動(dòng)器施加幅值和直流偏置為A、頻率為f的偏置正弦激勵(lì)電壓。u(t)=A+Asin(2πft-0.5π)，采集的激勵(lì)電壓信號(hào)及輸出位移信號(hào)通過(guò)LabVIEW在上位機(jī)實(shí)時(shí)顯示與存儲(chǔ)。

2.2 aubacklash模型參數(shù)辨識(shí)

要辨識(shí)率相關(guān)記憶BPNN遲滯模型參數(shù)，首先需要確定BPNN輸入層aubacklash算子模型預(yù)測(cè)輸出yAPI(t)。在Matlab/Simulink中搭建算子個(gè)數(shù)n=9的aubacklash算子模型，使用模型參數(shù)辨識(shí)工具箱對(duì)模型未知參數(shù)(權(quán)值w、非對(duì)稱修正系數(shù)m)進(jìn)行辨識(shí)。參數(shù)辨識(shí)方法采用L-M算法，設(shè)置參數(shù)辨識(shí)終止條件：ε=0.001，阻尼系數(shù)初值λ1=0.000 1，最大迭代次數(shù)kmax=100，導(dǎo)入峰-峰值為8 V、直流偏置電壓為4 V、混合頻率為1 Hz/5 Hz/10 Hz/ 30 Hz/50 Hz/80 Hz正弦激勵(lì)下，輸入激勵(lì)電壓-輸出位移數(shù)據(jù)辨識(shí)參數(shù)(w、m)如表1所示。

表1 aubacklash算子模型參數(shù)

2.3 BPNN模型結(jié)構(gòu)參數(shù)

采用與上述aubacklash算子模型參數(shù)辨識(shí)相同的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)BPNN進(jìn)行訓(xùn)練，設(shè)置BPNN學(xué)習(xí)速率為0.01，訓(xùn)練目標(biāo)最小誤差為0.000 01，將單一頻率4 Hz下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為模型精度測(cè)試數(shù)據(jù)，不同隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型計(jì)算的建模均方根誤差(ERMSE)為

(6)

式中：y(t)為壓電疊堆作動(dòng)器實(shí)際輸出；ym(t)為模型擬合輸出。根據(jù)式(6)計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 不同隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)建模誤差

由表1可知，當(dāng)隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)為6時(shí)建模均方根誤差值最小，因此可確定該率相關(guān)記憶BPNN模型各層神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為4-6-1。

3 模型精度實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所提出模型在描述壓電疊堆作動(dòng)器率相關(guān)遲滯特性時(shí)的優(yōu)勢(shì)，分別用2Hz、60 Hz、100 Hz的單一正弦激勵(lì)信號(hào)及混合正弦激勵(lì)信號(hào)3 Hz/8 Hz/20 Hz/40 Hz/70 Hz下的數(shù)據(jù)建立BPNN遲滯模型與PI遲滯模型，對(duì)比了兩模型在相同輸入信號(hào)下的建模結(jié)果。PI模型由一系列不同權(quán)值w和閾值r的backlash算子線性疊加而得，同樣搭建backlash算子個(gè)數(shù)n=9的PI模型，在Simulink中采用L-M算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。

圖7、8為單一頻率2 Hz與混合頻率3 Hz/8 Hz/20 Hz/40 Hz/70 Hz輸入電壓信號(hào)下，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與BPNN模型、PI模型建模對(duì)比及建模誤差圖。

圖7 單一頻率2 Hz時(shí)模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖8 混合頻率3 Hz /8 Hz /20 Hz /40 Hz /70 Hz時(shí)模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由圖7可知，單一頻率輸入信號(hào)下，在輸入信號(hào)峰值和谷值時(shí)，PI模型建模誤差較大，且在周期正弦輸入信號(hào)作用下，模型輸入-輸出遲滯環(huán)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)遲滯環(huán)重合度較低。與PI模型相比，在整個(gè)周期內(nèi)，BPNN模型建模誤差均低于PI模型，模型預(yù)測(cè)輸出更穩(wěn)定。由圖8可知，混合頻率輸入信號(hào)下，PI模型隨著輸入信號(hào)頻率升高，建模誤差明顯增大。而B(niǎo)PNN模型對(duì)混合頻率信號(hào)有較好的適應(yīng)能力，即BPNN模型對(duì)變頻率信號(hào)預(yù)測(cè)輸出更接近真實(shí)值。

采用均方根誤差ERMSE、相對(duì)誤差ERE驗(yàn)證BPNN模型與PI模型精度，計(jì)算式為

(7)

表3為不同頻率下BPNN模型與PI模型建模誤差對(duì)比。

表3 BPNN模型與PI模型建模誤差對(duì)比

由表3可知，在輸入信號(hào)頻率為2Hz時(shí),BPNN模型ERMSE較PI模型ERMSE提高89.98%，ERE較PI模型ERE提高89.84%；輸入信號(hào)頻率為60 Hz時(shí)，BPNN模型ERMSE較PI模型ERMSE提高78.82%，BPNN模型ERE較PI模型ERE提高78.83%；輸入信號(hào)頻率為100 Hz時(shí)，BPNN模型ERMSE較PI模型ERMSE提高70.90%，BPNN模型ERE較PI模型ERE提高70.69%；輸入混合頻率信號(hào)時(shí)，BPNN模型ERMSE較PI模型ERMSE提高88.14%，BPNN模型ERE較PI模型ERE提高88.28%。因此，低頻、高頻及混合頻率下，本文提出的率相關(guān)BPNN遲滯模型較PI唯象模型均表現(xiàn)出較大優(yōu)勢(shì)，模型具有良好的頻率適應(yīng)性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)壓電疊堆作動(dòng)器的非線性、率相關(guān)遲滯特性，對(duì)PI模型的backlash算子做出了改進(jìn)，提出了非對(duì)稱aubacklash算子。在此基礎(chǔ)上，將aubaklash算子輸出作為BPNN擴(kuò)展輸入，提出了率相關(guān)記憶BPNN遲滯模型。通過(guò)本文搭建的基于NI實(shí)時(shí)控制器的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)所提出的率相關(guān)遲滯模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，與PI模型相比，在高、低單一頻率及混合頻率輸入信號(hào)下，本文提出的BPNN遲滯模型精度均明顯比PI模型優(yōu)，均方誤差提高較PI模型降低了70.90%～89.98%，相對(duì)誤差較PI模型降低了70.69%～89.84%，對(duì)不同頻率信號(hào)均有良好的適應(yīng)性。該建模方法求逆過(guò)程簡(jiǎn)單，模型精度高且頻率適應(yīng)性好，為疊堆壓電作動(dòng)器的線性化補(bǔ)償與高精度控制奠定了基礎(chǔ)。