壓電懸臂梁振動控制系統聯合仿真與實驗研究

李康敏，張 柯，劉永斌，琚 斌

(安徽大學 電氣工程與自動化學院，安徽 合肥 230601)

0 引言

現代工程和機械操作時存在的不必要結構振動會加速機器的疲勞損傷，影響機器的正常工作。1982年，美國航天局發射陸地探測衛星挑戰者號執行探測任務時，由于探測儀旋轉部分受到驅動系統的振動干擾，影響了探測儀拍攝的圖像質量，導致傳輸處的圖片某些部分模糊不清，從而阻礙航天任務的進一步探索。1992年，阿姆斯特丹空難，由于發動機架的銷釘常年受到驅動系統各頻率的振動，使得銷釘疲勞斷裂造成重大事故。因此，研究機械結構的振動控制對于提升其工作狀況和使用壽命具有重要的研究意義和價值。

在早期的結構振動控制中，根據能量的消耗方式，結構振動控制可分為主動控制、被動控制及半主動控制。被動控制擁有不需要外界能量即能實現機械結構振動控制的優點，結構簡單且易實現，但需要通過電路的設計來耗散、吸收結構的能量，抑制結構振動的效果有限。1979年，Forward[1]首次提出利用壓電智能材料和電感組成分流電路進行實驗，以能量耗散的方式實現懸臂梁結構的振動控制，驗證了電路分流消耗能量的實驗可行性。吳巧云等[2]基于能量最小原理，推導了兩種被動阻尼器優化參數的解析表達式，并通過二自由度和多自由度系統的數值算例驗證了優化系數的阻尼器對結構控制的有效性。半主動控制可應對更復雜的環境，但不能將已有主動控制算法直接應用于半主動控制中，靈活性比主動控制弱。Takamoto Ikuya等[3]提出基于分段恒定輸入的預測開關(PSPCI)方法可預測半主動控制輸入，并使控制輸入的確定多樣化，從而有效地抑制結構的振動。Riascos Carlos等[4]提出了一種半主動控制策略的加壓調諧液柱阻尼器 (PTLCD) 在正面看臺型鋼結構上的實驗。實施主動控制需要額外的能量實現控制，Fanson等[5]提出使用正反饋位置的方法實現懸臂結構的振動控制，針對大型結構的復雜性和多模態，利用多個壓電致動器和傳感器實現了結構的多模態振動控制。Rogacheva Nelly[6]提出使用基于數學的模型來解決結構的主動振動系統。隋大鵬等[7]和劉濤等[8]應用哈密頓原理的數學方法建立了柔性梁動力學模型，并在Simulink中進行仿真研究。近期利用智能算法進行識別并建立結構系統模型的研究逐漸增多。宋哲等[9]利用神經網絡算法對懸臂梁進行系統識別，并且利用該算法實現懸臂梁的主動振動控制。李輝等[10]基于改進的一階剪切變形理論、能量法和瑞利-里茲方法,推導結構系統自由與強迫振動方程建立系統模型。

目前傳統的機械結構振動控制需要建立數學模型進行解析，但考慮到建立數學模型的復雜性及系統模型精確性不高的問題，本文應用COMSOL仿真軟件搭建懸臂梁系統有限元模型，并結合控制器算法模型進行聯合仿真，提高了系統模型的精度，增加了系統設計的靈活性。

由于主動振動控制在低頻振動控制領域擁有更好的控制效率，本文采用壓電材料作為主動控制驅動器，并應用比例、積分、微分(PID)控制算法在懸臂梁一階固有頻率下進行振動抑制研究。傳統PID控制參數的整定一般需根據經驗手動調試，根據誤差進行湊試，但實際情況中會出現最優化困難，耗費精力且不利于實時反饋等問題，因此，本文利用遺傳算法來優化PID控制器的參數。壓電懸臂梁振動控制的聯合仿真與實驗結果均表明，利用遺傳算法優化PID參數的方法是有效的，并且該算法模型具有很好的魯棒性，在懸臂梁不同驅動位置處均可獲得最佳的PID整定參數，實現振動抑制最佳效果。

1 建立聯合仿真模型

為了避免建立懸臂梁數學解析模型的復雜性，本文首先需要在多物理場仿真軟件中建立壓電懸臂梁的有限元模型。圖1為COMSOL上搭建的懸臂梁系統簡要模型。為了使模型更符合實際情況，本文引入點載荷輸入變量用于模擬外界干擾。此外，為了直觀觀測懸臂梁的振動變化過程，可在懸臂梁末端設置位移變量，實時監測懸臂梁振動位移。為形成閉環反饋系統，在本文設計執行器輸入變量與傳感器輸出信號。搭建好壓電懸臂梁模型后，需要先進行特征頻率研究，分析其固有頻率、振型和應力分布。根據仿真好的特征頻率結果和應力分布結果，后期可優化壓電陶瓷片的粘貼位置，為后續的實驗提供理論和指導作用。

圖1 COMSOL中懸臂梁系統模型

表1為懸臂梁與壓電陶瓷的材料參數。需要給模型添加仿真環境及初始條件，添加固體力學和靜電的耦合物理場，并設置好懸臂梁和壓電陶瓷片的初始值，在懸臂梁根部施加固定約束，在自由端添加垂直于懸臂梁的一階共振頻率正弦激勵信號，模擬外界干擾。考慮實際壓電陶瓷具有阻尼，對壓電材料添加一定的瑞利阻尼，其質量阻尼參數和剛度阻尼參數設置如表2所示。

表1 懸臂梁和壓電陶瓷片(PZT-4)材料參數

表2 瑞利阻尼參數

圖2為通過特征頻率分析所得懸臂梁的一階振型。圖中，懸臂梁的中軸線上布置30個探測點，依次從根部至端部，在端部施加一階共振頻率載荷為50 mN，得到應力分布如圖3所示。由圖可看出，懸臂梁位于根部的應力最大，從根部至尾部應力逐漸減小。根據力學知識可知，壓電陶瓷片位于懸臂梁根部可有效地進行信號感應和振動抑制。將壓電陶瓷片粘貼在位于應力最大處的根部上下面，再次對壓電懸臂梁進行特征頻率下的仿真分析，求出結構模型系統一階共振頻率f=22.69 Hz。

圖2 懸臂梁一階振型

圖3 一階模態懸臂梁應力分布

圖4為本文所設計的壓電懸臂梁聯合仿真模型，其中灰色區域為壓電懸臂梁結構。圖中，Kp、Ki、Kd分別為比例參數、積分時間常數、微分時間常數。懸臂梁主體使用的是錳鋼材料，其上下表面貼有2片壓電陶瓷，分別作為感應器(PZT2)和執行器(PZT1)。壓電陶瓷具有正-逆壓電效應，當處于正壓電效應時，可作為感應器；當處于逆壓電效應時，可作為執行器。給懸臂梁點載荷一個正弦力信號，激勵起壓電懸臂梁的一階振型。位于懸臂梁根部下方的壓電陶瓷片PZT2感應到應力變化，充當感應器，其產生相應的電信號經過控制器計算處理反饋于PZT1上，抑制懸臂梁的振動。將COMSOL軟件建立的壓電懸臂梁系統導入到Simulink中即可實現聯合仿真。根據前面計算出的壓電懸臂梁的一階共振頻率f，在Simulink中在點載荷上添加頻率為f的正弦力信號，激勵壓電懸臂梁振動。在Simulink搭建遺傳算法在線優化PID參數：先對振動時PZT2的感應信號進行采集，經過優化參數后的PID算法，對感應信號進行比例(Kp)、積分(Ki)、微分(Kd)，最后對3種信號求和，計算出控制電壓，并反饋在PZT1上以抑制懸臂梁的振動。

圖4 壓電懸臂梁系統振動控制聯合仿真

2 振動控制器設計

2.1 PID算法

圖5為PID控制器。PID算法具有可靠性高，算法簡單易實現以及魯棒性高的優點，已被廣泛應用于各類工業控制[11-12]。PID控制思想是基于誤差變量的比例、積分、微分線性組合，構成控制信號實現對被控對象的控制[13]。

圖5 PID控制器

(1)

式中：e(t)為壓電陶瓷感應信號和參考信號之差；u(t)為控制信號。

考慮實驗的激勵信號是動態持續的一階共振頻率信號，應用增量式PID算法提高系統響應速度和響應效果。增量式PID控制是利用本次控制量和上次控制量的差值進行PID控制的一種控制算法,即：

u(k)=u(k-1)+Δu(k)

(2)

式中Δu為增量控制，當前控制量為上一時間段的控制量加上增量。

圖6為增量式PID算法在Simulink中的簡單實現過程。與其他PID算法相比，增量式PID算法能記住上個時間段的控制量，并根據現時的誤差值進行PID參數的線性累加[14-15]。

圖6 增量式PID在Simulink中的實現

2.2 遺傳算法

因為PID參數的取值會影響控制的效果，所以為了取得懸臂梁系統的最佳控制，需按照豐富的經驗進行參數調整，但不能確保懸臂梁振動控制系統是否處于最佳狀態，并且會花費大量的時間和精力。為了更好更快地整定PID參數，本文應用遺傳算法整定PID參數；遺傳算法模仿生物的自然進化機制和遺傳機制，是一種過程量的尋優搜索，以尋找Kp、Ki、Kd的最佳值[16-18]：

1) 根據PID調試經驗確定Kp、Ki、Kd的取值范圍。本文中Kp尋優范圍為[0,100]，Ki和Kd的尋優取值范圍均為[0,5]。

2) 生成初始種群，并預分配空間內存，確定遺傳算法的參數。種群規模Po=100，交叉概率Pc=0.6,染色體變異概率選擇Pm=0.1，染色體長度，即種群參數最大值選擇M=15，遺傳代數(即迭代次數)Mi=100。

3) 確定目標函數J和適應度函數F。目標函數為

(3)

式中e(t)為懸臂梁的誤差信號;u(t)為控制電壓信號;ts為實際輸出調整到期望輸出的誤差范圍之內所需時間，即調節時間，w1,w2,w3分別為各自指標所占權值，本文所取值為[0.8,0.1,0.1]。適應度函數取：

(4)

圖7為遺傳算法優化PID參數流程。確定好各參數和適應度函數之后，在Simulink上搭建仿真圖，如圖8、9所示。在仿真開始前，需要先進行離線訓練，通過優化得到最佳PID參數,并將其用于Simulink的聯合仿真。根據位于根部致動器粘貼位置，在線整定PID參數，圖10為PID參數優化過程。圖11為適應度優化曲線。

圖7 遺傳算法優化PID參數流程

圖8 Simulink中的壓電懸臂梁系統仿真

圖9 控制系統

圖10 PID優化曲線

圖11 適應度函數優化曲線

初始狀態時，給懸臂梁輸入正弦力激勵信號，使壓電懸臂梁在一階固有頻率下振動。振動時，懸臂梁根部的應力產生較大變化，位于懸臂梁根部下端的壓電陶瓷片因為應力的變化，產生傳感信號。進行反饋控制前可將輸出的傳感信號乘以一個階躍信號，以便更直觀地表現控制效果。階躍信號觸發點設置在0.5 s時，在前0.5 s，由于階躍信號為低電平，不會形成閉環反饋，是一種開環系統。當在0.5 s時形成高電平信號，開關閉合，產生反饋信號，信號經過控制系統后，計算得出控制電壓信號反饋于懸臂梁根部上端的壓電陶瓷片上，形成閉環控制系統。

3 系統仿真結果

3.1 壓電執行器在懸臂梁根部

位移信號不涉及閉環反饋，只作為觀測懸臂梁的振動抑制效果。根據傳感器和執行器形成的閉環控制系統，如圖12所示，在0.5 s時，階躍信號由低電平躍變為高電平，此時系統由開環變為閉環反饋控制。可觀測壓電懸臂梁振動控制系統中的位移信號變化，0.5 s后加入控制策略，振動得到快速抑制，抑制效果可達92.4%。圖13為懸臂梁端部振動位移信號。

圖12 開環和閉環狀態下的信號波形

圖13 懸臂梁端部振動位移信號

3.2 壓電執行器在懸臂梁其他位置

針對工業工程上懸臂結構的振動控制問題，由于結構布局，起到控制作用的執行器可能無法位于根部的位置，此時需考慮懸臂梁其他部位是否同樣具有良好的振動抑制效果。根據本文懸臂梁模型設計了執行器的4種不同的粘貼位置，依次從根部排至端部，定義不同位置依次為P1、P2、P3、P4，如圖14所示。執行器(PZT1)間距固定為1 cm，固定傳感器(PZT2)的位置不變，觀測不同位置執行器控制效果。

圖14 執行器的不同粘貼位置P1～P4

設計懸臂梁控制仿真系統，激勵信號的頻率設置為懸臂梁的一階固有頻率，添加50 mN力作用于點載荷，將仿真時間設置為1 s。針對4種粘貼在不同位置的執行器，應用遺傳算法優化各位置PID參數，并實現振動控制仿真。致動器位于4種不同位置，其參數值對應不同的位移結果，不同的抑制效果。不同位置粘貼所對應參數值及振動抑制率如表3所示。

表3 PID優化后的參數及其抑制率

圖15為P1～P4仿真位移結果。由圖可看出，當仿真時間處于0.5 s后，壓電懸臂梁系統處于閉環控制狀態，懸臂梁可得到快速抑制。根據執行器的粘貼位置P1、P2、P3、P4，其抑制效果逐漸降低, 但均能獲得超過50%的振動抑制率。靠近端部抑制效果較差，可能是因為多物理場軟件本身存在過大電壓倍數反饋輸出，造成仿真過程中的解無法收斂。

圖15 P1～P4仿真位移結果

4 振動抑制實驗及結果分析

4.1 實驗平臺搭建

圖16為基于遺傳算法的懸臂梁振動抑制。為了驗證基于遺傳算法的PID整定方法可行性，搭建的PID算法模型控制平臺如圖17所示。實驗基于Labview軟件作為實驗的控制平臺，以搭載Labview軟件的筆記本電腦作為上位機，NI-PXI系列采集卡作為下位機和采集設備。Labview是一種非文本化的編程軟件，該軟件采用框圖式編程方式,是硬件在環控制系統的設計核心，與NI系列采集卡具有最佳的匹配兼容性。本文利用采集懸臂梁實驗數據，應用遺傳算法進行PID參數的整定，實現壓電懸臂梁的在線實時主動振動控制。

圖16 基于遺傳算法的懸臂梁振動抑制

圖17 基于遺傳算法的PID控制實驗平臺

當壓電懸臂梁處于一階共振頻率時，能量處于最大，是壓電復合材料處于振動最復雜的狀態。能否將一階固有頻率下的壓電懸臂梁振動抑制是驗證試驗方法正確的關鍵。

激勵源設計在壓電懸臂梁的中部，以此來模擬外部環境的干擾。當由信號發生器產生信號經過功率放大器加載于PZT3時，懸臂梁會因為壓電陶瓷片的壓電效應，由電能向機械能轉化，使懸臂梁振動。采集卡將PZT2電信號采集并進行模數轉換將數據傳輸于上位機中進行算法處理計算，輸出控制電壓信號，信號進行數模轉換，將采集卡輸出電壓信號反饋，經過功率放大器后反饋給PZT1，此時PZT1作為執行器使用，通過能量轉換來抑制壓電懸臂梁的振動。

實驗分為兩個階段：

1) 開環階段，即利用信號發生器激勵壓電懸臂梁的振動，模擬外界干擾，信號發生器給位于中部的PZT3施加峰值1.5 V、頻率28.6 Hz的電壓，其中28.6 Hz是懸臂梁實驗實際的一階共振頻率，經過功率放大器驅動壓電懸臂梁。

2) 閉環階段。當壓電懸臂梁受迫振動時，位于懸臂梁根部下端的壓電陶瓷片經過遺傳算法整定PID參數，系統帶有誤差反饋，并將誤差線性組合反饋于位于根部上端的壓電陶瓷片。

4.2 實驗結果分析

圖18為實驗抑制效果。在5 s后加入PID控制，振動控制在7 s后快速達到動態平衡，壓電懸臂梁處于穩定的振動抑制狀態，且振動抑制較好，抑制效率可達77.8%。

圖18 懸臂梁根部抑制效果

與仿真一致，為了驗證位于懸臂梁不同位置的壓電執行器的抑制效率，設計了4種不同位置的壓電陶瓷片粘貼位置，依次從懸臂梁的根部粘貼至懸臂梁的端部。在實驗開始階段，壓電懸臂梁處于開環階段，即只受信號發生器的激勵作用，處于自由振動狀態。閉合實驗開關，使實驗處于帶有負反饋的閉環狀態，即經過控制器計算控制信號輸出，得到的仿真結果如圖19所示。表4為P1～P4不同位置對應的參數值。

圖19 P1～P4不同位置的壓電執行器抑制結果

表4 P1～P4不同位置對應的參數值

如圖19所示，由實驗結果很容易得出，與仿真結果較一致，執行器位于懸臂梁的根部抑制效率最高。抑制效率從P1至P4位置依次遞減，如圖20所示。其中P4位置的抑制效率較低，抑制效果較差。由表4可看出，越靠近懸臂梁根部的壓電致動器，抑制效果更佳，如在實際應用特定情況下，無法將壓電致動器放置于懸臂梁根部位置，可選擇將壓電致動器放置于靠近根部或中部位置，同樣具有良好的抑制效果。

圖20 P1～P4位置抑制率

5 結束語

本文以抑制一階共振頻率下懸臂梁振動為目的，針對懸臂梁在建立動力學微分方程中的復雜性高、精確性較差等弊端，提出一種利用COMSOL多物理場軟件與Simulink仿真軟件相結合，建立懸臂梁振動控制系統聯合仿真模型的方法。同時針對PID參數手動調整中的最優化問題，提出利用遺傳算法來優化控制參數，根據該模型選擇合適的遺傳算法適應度函數，并應用于壓電懸臂梁振動控制系統上。通過優化調整仿真結果顯示，利用遺傳算法優化的PID控制算法參數可有效地抑制懸臂梁在一階共振頻率下的振動。

針對壓電執行器在懸臂結構的工業應用，可能無法將執行器粘貼于根部，通過仿真來驗證執行器位于不同位置是否仍具有良好的抑制率，仿真和實驗結果證明越靠近懸臂梁根部，抑制效果越好，但其他位置同樣具有一定的抑制效果，可根據工業懸臂結構應用中的實際需求靈活放置致動器。