壓電懸臂梁振動模糊滑模控制

陳紅霞,劉文光,方孟翔,吳興意,高銘陽,馮逸亭

(南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，江西 南昌 330063)

0 引言

振動存在于飛行器的滑跑、起飛、飛行直至降落的整個過程。由于日益追求高性能、長續(xù)航和高穩(wěn)定性，故現(xiàn)代飛行器要求應(yīng)用輕質(zhì)和低阻尼結(jié)構(gòu)[1-2]。飛行器結(jié)構(gòu)(如飛機壁板和機翼)服役時，不但受振動載荷作用，且結(jié)構(gòu)振動自由衰減速度較慢，由此導(dǎo)致疲勞損傷，嚴重危及飛行器結(jié)構(gòu)的安全可靠性[3-4]。因此，為保障飛行器結(jié)構(gòu)的工作穩(wěn)定性和延長其使用壽命，研究結(jié)構(gòu)振動控制方法具有重要意義。

滑模控制是通過控制量的切換使系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模面滑動[5]，使系統(tǒng)在受到參數(shù)攝動和外界干擾時具有良好的魯棒性，因而被研究者廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)振動控制中。潘成龍等[6]針對柔性自旋導(dǎo)彈振動問題設(shè)計了模糊滑模控制器，有效地抑制導(dǎo)彈尾部振動。董彬等[7]采用準滑模控制方法減小了風(fēng)力機葉片在風(fēng)載荷作用下的振動位移，在結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定情況下該方法具有良好的魯棒性。Do等[8]開發(fā)了模糊滑模控制器，有效地抑制了汽車座椅懸架的振動，增強了系統(tǒng)對不確定性和干擾的魯棒性。Qiu等[9]提出了滑模預(yù)測控制方法，實現(xiàn)了壓電柔性懸臂板振動的快速抑制。與PID控制相比，該方法具有更好的控制性能。Qi等[10]提出了滑模控制策略，在存在時變測量延遲的情況下有效地抑制了亞音速壓電復(fù)合板的振動。袁明新等[11]設(shè)計了帶濾波的滑模控制器，并采用融合云模型和反向?qū)W習(xí)的克隆算法優(yōu)化滑模參數(shù)，有效地抑制鍛壓機沖擊對鍛造機器人造成的殘余振動。Li等[12]研究了受擾離散系統(tǒng)中存在的各種未知不確定性抖振問題，提出了基于切換的離散時間模糊滑模控制方法，提高欠驅(qū)動機器人系統(tǒng)的控制性能。Xie等[13]設(shè)計了基于創(chuàng)新強化學(xué)習(xí)的模糊自適應(yīng)滑模控制器，在保持魯棒性的同時減小了抖振效應(yīng)。Song等[14]開發(fā)了分數(shù)階積分模糊滑模控制方案，利用神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)逼近分數(shù)子系統(tǒng)中存在的不確定非線性函數(shù)，使系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在有限時間內(nèi)收斂。Suilun等[15]針對具有障礙物約束、模型不確定性和分布擾動的非線性柔性懸臂梁系統(tǒng)，發(fā)明了基于自適應(yīng)非對稱障礙函數(shù)的滑模控制律，實現(xiàn)了分布式干擾抑制和模型不確定性補償。Tian等[16]開發(fā)了積分終端滑模魯棒控制方法，抑制空間智能桁架結(jié)構(gòu)的受迫振動。

對振動滑模控制已有大量研究，但是對如何消除滑模控制帶來的抖振現(xiàn)象研究較少。抖振不僅影響控制的精確性，而且易激起系統(tǒng)其他模態(tài)振動，破壞系統(tǒng)性能。因此，本文在采用滑模控制抑制懸臂梁振動的基礎(chǔ)上，引入模糊規(guī)則調(diào)節(jié)切換增益，利用飽和函數(shù)替換符號函數(shù)，以減小滑模控制帶來的抖振問題。

1 壓電懸臂梁的有限元建模

1.1 壓電梁單元的建模

圖1為壓電懸臂梁幾何模型。在梁的根部上下表面貼壓電陶瓷分別作為作動器和傳感器。將壓電懸臂梁分為若干個梁單元，包括壓電梁單元以及基于Euler-Bernoulli理論假設(shè)的均質(zhì)梁單元。梁的總長為L，壓電梁單元長為le，壓電梁單元用于模擬壓電元件作為傳感器/作動器結(jié)合的區(qū)域，而梁的其余部分由均質(zhì)梁單元模擬。

圖1 壓電懸臂梁幾何模型

根據(jù)拉格朗日方程，可推導(dǎo)出均質(zhì)梁單元的運動方程[17]為

(1)

式中：fb為均質(zhì)梁單元受到的外界力；qb為梁單元節(jié)點的位移矩陣；Mb，Kb分別為均質(zhì)梁單元的質(zhì)量陣、剛度陣，且有：

(2)

(3)

式中：ρb為均質(zhì)梁的密度；Ab為均質(zhì)梁單元的表面面積；Eb,Ib分別為均質(zhì)梁單元的彈性模量和轉(zhuǎn)動慣量；x為梁長度方向坐標；N為梁單元形函數(shù)向量。

同理，可推導(dǎo)出壓電梁單元的運動方程

(4)

式中：fp為壓電梁單元受到的外界力；qp為壓電梁單元節(jié)點的位移矩陣；Mp，Kp分別為壓電梁單元的質(zhì)量陣、剛度陣，且有：

(5)

(6)

式中：EI為壓電梁單元的等效抗彎剛度；A為壓電梁單元表面面積；ρ為壓電梁單元的密度。

1.2 壓電傳感與作動方程

懸臂梁振動時，傳感器層不受外場作用，粘貼于梁表面的壓電傳感器將會產(chǎn)生電荷，壓電傳感層兩個表面電極間的電壓Vs(t)為

(7)

(8)

式中:Cp為壓電傳感器電容;Q為電荷；b為寬度。

在壓電作動器上施加外部電壓Va，壓電片將產(chǎn)生形變抑制梁的振動，壓電梁單元產(chǎn)生的彎矩Ma為

(9)

作動器施加在壓電梁單元上產(chǎn)生的控制力為

fctrl=hVa

(10)

(11)

1.3 壓電懸臂梁的動力學(xué)方程

將壓電懸臂梁的單元剛度陣、單元質(zhì)量陣組裝成總質(zhì)量陣、總剛度陣，可推出考慮比例阻尼的壓電懸臂梁的運動方程[18]為

(12)

式中：M,K分別為壓電懸臂梁總質(zhì)量矩陣和剛度矩陣;Fctrl為懸臂梁所受控制力。

整體節(jié)點位移列陣q和模態(tài)阻尼矩陣D分別為

(13)

D=αM+βK

(14)

式中：α，β為結(jié)構(gòu)阻尼常數(shù)；m為單元節(jié)點個數(shù)。

(15)

式中：系數(shù)A，B，C分別為輸入矩陣、輸出矩陣和傳輸矩陣；u(t)為輸入電壓；y(t)為輸出電壓。

2 壓電懸臂梁有限元模型的降階

利用平衡截斷法簡化壓電懸臂梁模型可得到相應(yīng)降階模型。當方程(15)可控、可觀且漸進穩(wěn)定時，則其可控Gramian矩陣Wc和可觀Gramian矩陣Wo都是正定的，且滿足Lyapunov方程[20]：

(16)

假設(shè)存在非奇異矩陣T1，使Wc=Wo且為對角陣，則系統(tǒng)內(nèi)部平衡，方程(15)可轉(zhuǎn)換為

(17)

當系統(tǒng)內(nèi)部平衡時有：

(18)

且λ1>λ2>…>λn，對角陣可寫成兩組奇異值的形式:

(19)

式中：λ(1)為要保留的可控性和可觀測性強的子系統(tǒng)；λ(2)為要刪除的可控性和可觀測性弱的子系統(tǒng)。

當λ(1)取合適的階數(shù)時，該“強”子系統(tǒng)保持了原始系統(tǒng)的固有屬性。

將降階模型和殘差模型簡化為

(20)

式中(A11,B1)為最高可控性和可觀測性對。

3 模糊滑模控制策略

3.1 滑模控制

利用滑模控制對建模誤差的不靈敏性設(shè)計主動控制器，存在線性時不變系統(tǒng)[21]：

(21)

式中A12X2為建模誤差。

滑模控制律由等效控制ueq和切換控制usw構(gòu)成。切換函數(shù)設(shè)計為

(22)

式中Cs為滑模面參數(shù)。

ueq=-KeqX1(t)

(23)

式中Keq為等效控制增益，且：

Keq=(CsB1)-1CsA11

(24)

定義Lyapunov函數(shù)：

(25)

到達條件為

(26)

usw=(CsB1)-1(-εsgns-ks)

(27)

式中：ε>0，k>0，ε為增益系數(shù)；k為指數(shù)趨近參數(shù)。增益系數(shù)ε必須滿足以下條件：

ε>‖CsA12X2‖

(28)

等效滑模控制律為

u=ueq+usw

(29)

則：

sCsB1[-KeqX1+(CsB1)-1(-εsgns-

ks)]+sCsA12X2+sCsA11X1=s(-

εsgns-ks+CsA12X2)≤-ε‖s‖-

k‖s‖2+‖s‖‖CsA12X2‖

(30)

3.2 模糊滑模控制

選用飽和函數(shù)sat(s)代替符號函數(shù)以降低滑模抖振。飽和函數(shù)為

(31)

式中飽和函數(shù)參數(shù)δ>0。

(32)

(33)

式中：NB為負大；NM為負小；ZO為零；PM為正小；PB為正大。

模糊系統(tǒng)的輸入輸出隸屬函數(shù)如圖2、3所示。模糊控制規(guī)則設(shè)計如表1所示。

圖2 輸入隸屬函數(shù)圖

圖3 輸出隸屬函數(shù)圖

表1 模糊控制規(guī)則表

(34)

式中G為比例系數(shù)，根據(jù)經(jīng)驗確定。

根據(jù)式(30)可得：

k‖s‖2+‖s‖‖CsA12X2‖

(35)

圖4 模糊滑模控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

4 結(jié)果與討論

通過COMSOL軟件建立壓電懸臂梁的有限元動力學(xué)模型，將壓電梁劃分為6個單元，對壓電懸臂梁的一端進行完全固支，形成懸臂梁邊界條件。壓電懸臂梁的材料參數(shù)如表2所示。表3為計算與仿真固有頻率結(jié)果比較。由表可知兩者基本吻合。

表2 壓電懸臂梁的材料參數(shù)

表3 計算與仿真固有頻率結(jié)果比較

圖5為原系統(tǒng)和降階模型頻響曲線。由圖可知，壓電懸臂梁模型狀態(tài)從24階降到8階，兩者頻響曲線基本一致，說明降階模型與原系統(tǒng)具有相似的輸出特性，并保留了原系統(tǒng)的主要模態(tài)，該降階系統(tǒng)在頻域上對原系統(tǒng)有很好的近似效果，驗證了降階方法的有效性。以降階模型為對象，在梁的自由端施加15 mm的初始位移激勵，利用仿真驗證模糊滑模控制器的有效性。

圖5 原系統(tǒng)和降階模型頻響曲線

圖6為未控制時仿真結(jié)果。由圖可知，壓電懸臂梁在受到外界初始激勵作用下會產(chǎn)生較大振動，在自身阻尼的影響下2 s后停止。隨著振幅的減小，傳感器電壓逐漸減小。圖7為滑模控制參數(shù)k不同時曲線比較。圖8為滑模控制參數(shù)ε不同時曲線比較。由圖7、8可知，壓電懸臂梁施加滑模主動控制后，振動得到明顯抑制。當ε=3時，指數(shù)趨近參數(shù)k值越大，振動抑制效果越好，但不能改善滑模抖振現(xiàn)象。k=5時，ε越大，曲線趨近于0時速度越快，振動抑制時間越短。

圖6 未控制時仿真結(jié)果

圖7 滑模控制參數(shù)k不同時曲線比較

圖8 滑模控制參數(shù)ε不同時曲線比較

隨著ε的增大，施加在作動器上的控制電壓產(chǎn)生的抖振越明顯。指數(shù)趨近參數(shù)k主要影響趨近模態(tài)，ε主要影響滑動模態(tài)，當系統(tǒng)狀態(tài)遠離滑模面時，k值越大可使其快速到達滑模面。ε值越大,使系統(tǒng)狀態(tài)趨近于滑模面時的速度越大，且在滑模面滑動時抖振也越大。因此，選取合適的k和ε可使系統(tǒng)狀態(tài)快速到達滑模面,并減小抖振。

引入模糊規(guī)則適時調(diào)節(jié)切換增益ε，設(shè)置ε=3,k=5,G=900。圖9為滑模控制和模糊滑模控制比較。由圖可知，單純使用滑模控制時振動抑制時間更短，但抖振較大，引入模糊規(guī)則后，施加在作動器上的最大控制電壓減小，且能有效地降低抖振，但調(diào)節(jié)時間增加。由于符號函數(shù)不連續(xù)，因而模糊滑模控制時作動器輸入電壓還是存在較小的抖振。

圖9 滑模控制和模糊滑模控制比較

圖10為飽和函數(shù)模糊滑模控制結(jié)果。由圖可知，用飽和函數(shù)替換符號函數(shù)，抖振得到了明顯改善。當飽和函數(shù)參數(shù)δ取值越小時，振動抑制速度越快。因此，基于飽和函數(shù)的模糊滑模控制不僅能抑制壓電懸臂梁的振動，還能有效地降低滑模控制的抖振。

5 結(jié)論

以壓電懸臂梁為對象，基于狀態(tài)空間動力學(xué)模型設(shè)計模糊滑模控制器，考慮建模誤差下對懸臂梁進行振動控制。主要結(jié)論如下：

1) 利用平衡截斷法對模型進行降階處理，將24階系統(tǒng)模型簡化為8階，提高了計算速度。

2) 基于降階模型設(shè)計滑模控制器，控制存在較大抖振，增大k、減小ε不僅能加快振動抑制，還可削弱抖振。

3) 引入模糊規(guī)則，適時調(diào)節(jié)增益系數(shù)ε，用飽和函數(shù)替換符號函數(shù)，可改善滑膜控制存在的抖振現(xiàn)象，參數(shù)δ取值越小，振動抑制效果越好。