基于快速有限元的永磁電機(jī)繞組渦流損耗半解析高效計算

曹龍飛 范興綱 李大偉 曲榮海 劉京易

基于快速有限元的永磁電機(jī)繞組渦流損耗半解析高效計算

曹龍飛 范興綱 李大偉 曲榮海 劉京易

（強(qiáng)電磁工程與新技術(shù)國家重點(diǎn)實驗室（華中科技大學(xué)） 武漢 430074）

隨著永磁電機(jī)朝著高效化和輕質(zhì)化方向發(fā)展，其功率密度和轉(zhuǎn)速越來越高，使得繞組交流銅耗增加，從而導(dǎo)致電機(jī)局部過熱、效率降低。該文以永磁電機(jī)為研究對象，著重研究繞組渦流損耗的產(chǎn)生機(jī)理及計算方法，提出基于快速有限元的繞組渦流損耗半解析算法。首先，介紹借助快速有限元提取槽漏磁的方法，并構(gòu)建導(dǎo)體排布模型；其次，推導(dǎo)了導(dǎo)體渦流損耗的低頻和高頻解析計算方法，并通過搭建基于Matlab和開源有限元軟件FEMM的仿真平臺將提出的半解析方法予以實現(xiàn)，并與傳統(tǒng)商用有限元軟件仿真結(jié)果進(jìn)行對比；最后，通過實驗進(jìn)一步驗證了其準(zhǔn)確性。結(jié)果表明，該方法的計算速度提高了近100倍，在較大頻率范圍內(nèi)誤差小于5%。

永磁電機(jī) 繞組渦流損耗 導(dǎo)體排布模型 快速有限元 半解析算法

0 引言

近年來，電機(jī)系統(tǒng)正朝著高速化、輕量化的方向發(fā)展，在電力電子技術(shù)和稀土材料快速發(fā)展的背景下，永磁電機(jī)正逐漸成為新一輪電氣化進(jìn)程的主角。然而，隨著永磁電機(jī)功率密度和轉(zhuǎn)速的提升，電機(jī)高頻交流效應(yīng)越發(fā)顯著[1-3]，造成繞組交流銅耗增加，不僅降低了電機(jī)效率，還會引起電機(jī)過熱，危及電機(jī)安全運(yùn)行。因此，準(zhǔn)確且快速地評估繞組交流銅耗成為永磁電機(jī)，特別是高功率密度、高轉(zhuǎn)速和高負(fù)載電機(jī)研發(fā)的重要一環(huán)[4-6]。

永磁電機(jī)的交流銅耗可分解為環(huán)流損耗、渦流損耗及直流銅耗三部分[7]。對于多根導(dǎo)線并繞的繞組，由于各導(dǎo)體所處的磁場環(huán)境不同，感生電動勢存在差異，并繞導(dǎo)線間會形成環(huán)流[8]，引起環(huán)流損耗。此外，槽漏磁和高頻交流電會產(chǎn)生鄰近效應(yīng)和趨膚效應(yīng)，使得導(dǎo)體電流密度分布不均[9]，產(chǎn)生渦流損耗。為了分析和抑制交流銅耗，需要對其進(jìn)行精確計算，現(xiàn)有的計算方法主要有解析法、有限元法和半解析法。

解析法以槽漏磁和損耗的解析計算為基礎(chǔ)，求解快速，但通常需要進(jìn)行模型簡化和問題假設(shè)，因此計算精度不高。P. L. Dowell等提出的一種經(jīng)典一維解析模型[10-12]廣泛應(yīng)用于高頻變壓器的交流銅耗計算，該模型假設(shè)鐵心磁導(dǎo)率無窮大，并假設(shè)槽內(nèi)漏磁場為平行磁場且平行于槽底，用方導(dǎo)線等效圓導(dǎo)線，但只能滿足一定頻率下的解析精度。C. R. Sullivan和P. Mellor等[13-14]通過假設(shè)導(dǎo)體內(nèi)部的磁場穩(wěn)定不變，利用微積分求解導(dǎo)體渦流損耗，但該解析法只適用于開口槽電機(jī)，對于半閉口槽電機(jī)，由于其齒槽效應(yīng)，槽開口處漏磁并不平行于槽底，給解析計算的精確性帶來挑戰(zhàn)。L. J. Wu等[15-16]利用子域模型分析了多種槽形尺寸下電機(jī)槽內(nèi)漏磁場的求解方法，其考慮到由于槽開口而導(dǎo)致的槽漏磁場畸變，在一定程度上具有較高的精度，但忽略了鐵心飽和的影響。

考慮到鐵心飽和、開槽效應(yīng)等因素，通常采用有限元法求解交流銅耗，此時就必須對槽內(nèi)所有導(dǎo)體建模，但是對于導(dǎo)體隨機(jī)排布的漆包散線繞組電機(jī)，其建模過程復(fù)雜，網(wǎng)格剖分密集，極大地增加了計算量，因此有限元法不太適合大規(guī)模的設(shè)計優(yōu)化。針對該問題，A. Lehikoinen和A. Arkkio等[17-18]將圓導(dǎo)線擬合為近似多邊形，優(yōu)化網(wǎng)格剖分形式，在不重要的圓弧外面上減少網(wǎng)格剖分，相比商業(yè)有限元軟件，大大減少了網(wǎng)格數(shù)量，從而加快了交流銅耗的計算。

解析法計算快速，但忽略了電機(jī)的飽和效應(yīng)，槽漏磁計算不準(zhǔn)確，降低了渦流損耗的求解精度；而有限元法計算準(zhǔn)確，但網(wǎng)格密集，求解十分耗時。因此綜合兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，將有限元法與解析法相結(jié)合的半解析法成為研究熱點(diǎn)[19-21]，其主要思想是先利用有限元計算準(zhǔn)確的槽漏磁，再代入損耗解析式求解，既保證了求解精度，又能顯著提高求解速度。

利用半解析法計算繞組渦流損耗仍需要借助有限元，花費(fèi)大量計算時間，并且傳統(tǒng)的渦流損耗解析計算基于低頻的假設(shè)，存在局限性。本文以散線永磁電機(jī)為研究對象，重點(diǎn)對繞組渦流損耗的計算方法進(jìn)行研究，提出了一種高效計算永磁電機(jī)繞組渦流損耗的高頻半解析算法，并融入快速有限元的思想，根據(jù)1/6電周期靜磁場解重構(gòu)槽漏磁數(shù)據(jù)，大大減少了有限元計算時間；通過搭建Matlab和FEMM（finite element method magnetics）聯(lián)合仿真平臺實現(xiàn)該方法，并與商用有限元軟件Maxwell的仿真結(jié)果進(jìn)行對比；最后通過實驗驗證該方法的可行性。

1 基于快速有限元的永磁電機(jī)槽漏磁的計算與提取

永磁電機(jī)的飽和特性會使定子槽內(nèi)形成漏磁場，引起槽內(nèi)導(dǎo)體電流密度的不均勻分布，形成渦流，從而產(chǎn)生渦流損耗。因此，掌握槽漏磁分布規(guī)律和槽漏磁諧波成分是半解析算法計算繞組渦流損耗的基礎(chǔ)。由于無法脫離有限元，本文提出了基于快速有限元的槽漏磁計算方法，以提高半解析算法的效率。

1.1 基于時空變換的快速有限元與槽漏磁計算

正弦波電流調(diào)節(jié)的三相永磁電機(jī)的電路和磁路具有時空對稱性[22-23]，根據(jù)這一性質(zhì)不僅能得到電機(jī)的最簡仿真模型，還可以用1/6電周期的靜磁場解重構(gòu)出全周期的磁場數(shù)據(jù)。

電機(jī)定子上某點(diǎn)的徑向磁通密度r和切向磁通密度c的時空分布可表示為

式中，為諧波次數(shù)；為電角速度；為時間；為轉(zhuǎn)子極對數(shù)；為轉(zhuǎn)子位置角；為相位。同時，永磁電機(jī)中的轉(zhuǎn)子位置角、轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度和電角速度滿足關(guān)系

因此，結(jié)合磁通密度時空分布表達(dá)式可得

式中，s為槽距角；為整數(shù)，取決于永磁電機(jī)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和繞組類型。考慮周期性和對稱性，式（3）可拓展為

式中，為整數(shù)；為電周期。可以發(fā)現(xiàn)，磁通密度分布的時空對稱性為永磁電機(jī)快速有限元提供了理論支撐，從而能快速評估電機(jī)性能，加快電機(jī)設(shè)計和優(yōu)化過程。

以12槽10極的表貼式永磁（Surface Permanent Magnet, SPM）電機(jī)為例說明快速有限元計算槽漏磁的方法，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 SPM電機(jī)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

顯然，只要通過有限元求解0～1/6電周期的靜磁場，就能得到整個周期的解，而傳統(tǒng)有限元需要求解整個周期的靜磁場，計算量顯著增加。因此，若要獲得1號槽某點(diǎn)的全周期漏磁波形，只需要提取1號、3號和5號槽漏磁的1/6電周期數(shù)據(jù)，即可根據(jù)式（5）重構(gòu)出來。圖2是1號槽某點(diǎn)的漏磁重構(gòu)波形，該點(diǎn)位置見圖1標(biāo)注。

以A相線圈為例，其兩個線圈邊分別位于同相槽和異相槽（如1號槽A+和2號槽A-），傳統(tǒng)有限元和快速有限元計算的結(jié)果如圖3所示，兩者波形一致，重構(gòu)效果十分理想，這說明了快速有限元的準(zhǔn)確性。上述方法同樣適用于其他永磁電機(jī)拓?fù)涞牟勐┐庞嬎恪?/p>

圖3 兩種有限元求解A相線圈槽漏磁波形

1.2 導(dǎo)體排布模型與槽漏磁提取

永磁電機(jī)繞組渦流損耗取決于各導(dǎo)體所處的漏磁環(huán)境，與導(dǎo)體位置密切相關(guān)，但在實際電機(jī)繞線過程中，導(dǎo)體排布沒有規(guī)律。本文按照最密堆積方式模擬槽內(nèi)導(dǎo)體的排布，并且考慮間距。導(dǎo)體最密堆積示意圖如圖4所示，一個堆積單元由銅導(dǎo)體、絕緣層和導(dǎo)線間距構(gòu)成。

圖4 導(dǎo)體最密堆積示意圖

以緊靠槽邊的槽底導(dǎo)體為基準(zhǔn)導(dǎo)體，沿著槽邊從槽底向槽口排布，并逐列排開，按照上述規(guī)則在Matlab與FEMM仿真平臺中編程，自動計算導(dǎo)體的位置坐標(biāo)。需要說明的是，半解析計算繞組渦流損耗并不需要對實際導(dǎo)體建模，僅需借助導(dǎo)體排布模型計算導(dǎo)體坐標(biāo)，從而提取該點(diǎn)槽漏磁供解析計算。1號槽和2號槽的A相線圈導(dǎo)體排布示意圖如圖5所示。

圖5 A相線圈導(dǎo)體排布示意圖

考察圖5中緊貼齒部的兩列導(dǎo)體，導(dǎo)體從槽底至槽口依次編號1～12，各導(dǎo)體所受槽漏磁各次諧波成分如圖6所示，主要存在基波和3次諧波。由于同相槽的磁動勢較大，其各次諧波磁通密度幅值大于異相槽，會引起損耗差異。因此需分別計算兩種槽內(nèi)的渦流損耗，再計算繞組的渦流損耗。此外，由于開槽的影響，槽漏磁大小呈現(xiàn)從槽底向槽口遞增的趨勢，導(dǎo)致靠近槽口處的導(dǎo)體渦流損耗較大，再加上槽口散熱困難，極易成為繞組熱點(diǎn)。

圖6 槽漏磁諧波成分

2 繞組渦流損耗的解析推導(dǎo)

采用有限元法求解繞組渦流損耗需要對導(dǎo)體建模，細(xì)化網(wǎng)格，從而使得計算量龐大、花費(fèi)時間長，但有限元法在處理鐵心飽和等復(fù)雜電磁環(huán)境時的準(zhǔn)確度高，因此將有限元計算與解析計算結(jié)合，即采用半解析法求解繞組渦流損耗，其基本原理在于先用有限元模型計算得到槽漏磁數(shù)據(jù)，然后代入解析模型中求出繞組渦流損耗。所提出的半解析計算模型基于上述快速有限元方法，從而能更加快速地計算出繞組渦流損耗。

此外，由于解析模型中所需要的電磁參數(shù)為槽漏磁的磁通密度，而實際槽內(nèi)漏磁場遠(yuǎn)大于單根導(dǎo)體感應(yīng)出的磁場[24]，因此可認(rèn)為導(dǎo)體渦流對槽漏磁沒有影響。故在有限元模型中無需畫出槽內(nèi)導(dǎo)體，從而將傳統(tǒng)的有限元模型分解為一般有限元磁場模型和導(dǎo)體排布模型，避免了密集網(wǎng)格的剖分，極大地減少了計算量。通過導(dǎo)體排布模型確定導(dǎo)體位置，在有限元計算結(jié)果的基礎(chǔ)上提取導(dǎo)體圓心坐標(biāo)的磁通密度，作為整個導(dǎo)體所受外加磁場的平均值，代入解析式即可求解槽漏磁引起的渦流損耗。

2.1 考慮退磁作用的高頻損耗解析計算

以單根無限長直導(dǎo)體為研究對象，其半徑為0，建立柱坐標(biāo)系下的模型，如圖7所示。對其施加幅值為0的平行磁場，其角頻率為。

圖7 渦流場二維解析模型

在導(dǎo)體本身無電流通過的情況下，當(dāng)磁場頻率較低時，可認(rèn)為某一時刻導(dǎo)體內(nèi)部磁場處處相等，此時單根導(dǎo)體平均渦流損耗為[14,22]

式中，、和c分別為導(dǎo)體長度、直徑和電阻率。該方法基于頻率較低的假設(shè)，稱為渦流損耗的低頻解析法。

高頻磁場下導(dǎo)體磁通密度云圖如圖8所示。當(dāng)導(dǎo)體外加磁場頻率升高時，導(dǎo)體內(nèi)渦流去磁效應(yīng)明顯，導(dǎo)體內(nèi)部磁場不再處處相等，磁通密度由內(nèi)向外逐漸增大，低頻損耗解析計算模型失效，因此需要研究考慮退磁作用的高頻渦流損耗解析計算公式。

圖8 高頻磁場下導(dǎo)體磁通密度

式中，2=，和為求解區(qū)域的電導(dǎo)率和磁導(dǎo)率，由于其在導(dǎo)體內(nèi)外不同，因此需分別對導(dǎo)體內(nèi)和導(dǎo)體外求解。

對于導(dǎo)體內(nèi)部，其磁矢量可設(shè)為

式中，1n為距離導(dǎo)體圓心處磁矢量的次諧波幅值，將其分量代入方程式（7）可得

該微分方程稱為貝塞爾方程，其通解可表示為

根據(jù)磁矢量與磁通密度的關(guān)系，可得到徑向和切向的磁通密度為

同理，可得到導(dǎo)體外部區(qū)域磁矢量通解為

式中，3為常系數(shù)；為常數(shù)。則磁通密度徑向和切向分量為

由于磁場在導(dǎo)體與空氣的接觸面上連續(xù)，故在=0處滿足介質(zhì)交界面條件

式中，1和2分別為導(dǎo)體內(nèi)外區(qū)域磁導(dǎo)率，由于導(dǎo)體內(nèi)外磁導(dǎo)率幾乎相同，可認(rèn)為均等于真空磁導(dǎo)率0。將磁通密度通解代入交界面條件，可以發(fā)現(xiàn)的取值只能為1，從而解得

故導(dǎo)體區(qū)域的磁矢量為

根據(jù)電磁場基本方程及坡印廷定理可得導(dǎo)體內(nèi)渦流損耗為

因此，在得到槽漏磁數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，通過快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform, FFT），分解出磁通密度的各次諧波分量，分別作用到導(dǎo)體上，再根據(jù)上述解析式算出各次諧波引起的渦流損耗，最后相加即可得到槽漏磁作用下導(dǎo)體的渦流損耗。

2.2 趨膚效應(yīng)引起的渦流損耗

前文推導(dǎo)了導(dǎo)體在不通電流的情況下，槽漏磁作用引起的渦流損耗。實際上電機(jī)工作時導(dǎo)體通以交變電流，交變電流會在導(dǎo)體中產(chǎn)生交變磁場，導(dǎo)致電流集中在導(dǎo)體表面，稱為趨膚效應(yīng)，這會使得導(dǎo)體等效電阻增加[26]，產(chǎn)生附加的渦流損耗。考慮單根長直導(dǎo)體，通入正弦電流，沒有外加磁場的作用，根據(jù)磁準(zhǔn)靜態(tài)場方程可得

根據(jù)麥克斯韋方程與坡印亭定理，可推導(dǎo)出交流阻抗為

式中，skin和skin分別為趨膚效應(yīng)作用下的交流電阻和交流電抗。因此，由趨膚效應(yīng)引起的渦流損耗為

式中，為導(dǎo)體直流電阻。導(dǎo)體直流銅耗為

2.3 永磁電機(jī)的交流銅耗

根據(jù)前文的推導(dǎo)可知，趨膚效應(yīng)引起的渦流損耗skin與槽漏磁引起的渦流損耗eddy共同構(gòu)成了導(dǎo)體的渦流損耗ec，因此電機(jī)有效部分的總渦流損耗為

式中，s為永磁電機(jī)槽數(shù)；k為電機(jī)槽類型個數(shù)；c為槽內(nèi)導(dǎo)體數(shù)；h為槽漏磁諧波最高次數(shù)；ec,為號槽中，號導(dǎo)體在次槽漏磁諧波作用下產(chǎn)生的渦流損耗。因此，對于導(dǎo)線無并繞的永磁電機(jī)而言，繞組沒有環(huán)流損耗，故有效部分的交流銅耗為

若考慮電機(jī)的端部，則電機(jī)總直流銅耗修正為

式中，s為定子電流有效值；ew為端部繞組相電阻。由于電機(jī)端部漏磁較小，可忽略由漏磁引起的渦流損耗，認(rèn)為僅存在由趨膚效應(yīng)引起的渦流損耗，故電機(jī)總交流銅耗修正為

3 繞組渦流損耗半解析計算及結(jié)果分析

本文通過搭建Matlab與FEMM的聯(lián)合仿真平臺來實現(xiàn)上述基于快速有限元的繞組渦流損耗半解析計算，并與商用有限元軟件Maxwell的仿真結(jié)果進(jìn)行對比分析。所研究的對象為一臺12槽10極的表貼式永磁電機(jī)，其主要參數(shù)見表1。

表1 永磁電機(jī)主要參數(shù)

Tab.1 Main parameters of permanent magnet machine

3.1 基于開源有限元的繞組渦流損耗半解析計算

開源有限元軟件FEMM能夠?qū)﹄姶艌鰡栴}進(jìn)行有限元仿真，其最大的優(yōu)點(diǎn)在于與Matlab交互性強(qiáng)，可針對所處理問題自由編程，其聯(lián)合仿真平臺如圖9所示。所開發(fā)的程序內(nèi)置了快速有限元計算繞組渦流損耗的半解析方法，并對所有參數(shù)都進(jìn)行了參數(shù)化。對任意散線電機(jī)，從電機(jī)建模、材料設(shè)置、激勵設(shè)置及邊界條件設(shè)置等前處理，到導(dǎo)體坐標(biāo)計算、槽漏磁提取及損耗計算等后處理均自動實現(xiàn)，極大地節(jié)省了時間，為電機(jī)設(shè)計和優(yōu)化提供了便利，程序具有一定的通用性。

圖9 Matlab與FEMM聯(lián)合仿真平臺

圖10給出了電機(jī)交流銅耗的計算流程。首先利用Matlab和FEMM仿真平臺構(gòu)建電機(jī)的一般有限元模型（不含導(dǎo)體），并進(jìn)行1/6電周期靜磁場有限元仿真；接著按照導(dǎo)體排布模型計算導(dǎo)體圓心坐標(biāo)，提取槽漏磁并進(jìn)行重構(gòu)；然后對重構(gòu)的槽漏磁進(jìn)行FFT，求出基波和諧波渦流損耗，與趨膚效應(yīng)引起的渦流損耗和直流銅耗相加，得到電機(jī)的交流銅耗。因此，電機(jī)交流銅耗包括渦流損耗e和直流銅耗dc，而渦流損耗又分為由槽漏磁引起的渦流損耗e1和趨膚效應(yīng)引起的渦流損耗e2，為避免損耗分離的過程，下文通過計算交流等效電阻與直流等效電阻之比（ac/dc）來表征渦流損耗的大小，其值與ac/dc相同。

圖10 繞組渦流損耗計算流程

為驗證所提計算方法的快速性與準(zhǔn)確性，借助商用有限元軟件Maxwell求解繞組渦流損耗進(jìn)行對比，只考慮永磁電機(jī)的有效部分，其求解模型如圖11所示。

圖11 基于Maxwell的交流銅耗求解模型

3.2 結(jié)果分析

對比在2A電流下，低頻解析法、高頻解析法和Maxwell仿真的ac/dc計算結(jié)果，如圖12所示。低頻解析法在頻率小于10kHz時與有限元結(jié)果接近，此時渦流磁場去磁作用小，導(dǎo)體內(nèi)的磁場趨于恒穩(wěn)；但隨著頻率的升高，結(jié)果逐漸偏大，此時導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生的渦流變大，去磁作用明顯，磁場分布不均勻，不再符合低頻解析算法的假設(shè)。而高頻解析算法不僅在低頻時與有限元結(jié)果吻合，當(dāng)頻率達(dá)到50kHz時，誤差仍保持在5%以內(nèi)。該方法從電磁場基本方程出發(fā)，更好地描述了導(dǎo)體內(nèi)磁場的分布，克服了低頻解析算法的局限性，這說明了考慮退磁作用的高頻損耗解析計算的精確性。

圖12 不同頻率下，ac/dc計算結(jié)果對比

Fig.12 Comparison ofac/dccalculation results under different frequencies

電機(jī)不同負(fù)載狀態(tài)下，有限元法與半解析法的ac/dc計算結(jié)果對比如圖13所示。首先，半解析法與有限元法在低頻域計算結(jié)果趨于一致，但在高頻情況下，低頻解析法不再準(zhǔn)確，而高頻解析法仍與有限元結(jié)果貼近。其次，在頻率保持不變的前提下，隨著負(fù)載的增加，ac/dc逐漸減小，這是因為鐵心的飽和特性使槽漏磁磁通密度幅值逐漸飽和，渦流損耗趨于極限，而直流銅耗與電流平方成比例增加，因此造成交流銅耗與直流銅耗的比值降低。

圖13 不同負(fù)載下，Rac/Rdc計算結(jié)果對比

表2列出了電流為2A時，通過高頻解析算法計算電機(jī)銅耗的組成部分。對于所研究的電機(jī)，在50kHz的頻率范圍內(nèi)，由趨膚效應(yīng)引起的渦流損耗數(shù)值極小，可以忽略不計，因此可認(rèn)為繞組銅耗僅存在槽漏磁引起的渦流損耗和直流銅耗。

表2 交流銅耗組成

Tab.2 Composition of AC copper loss

此外，所提出的半解析法在計算過程中就已經(jīng)分別計算出各導(dǎo)體和各槽的損耗，這對預(yù)測電機(jī)繞組的熱點(diǎn)是極其有利的。借助半解析法計算不同槽型的渦流損耗對比如圖14所示，可見同相槽渦流損耗較大，同相槽與異相槽的渦流損耗兩者平均比值為1.155，約為兩槽磁動勢幅值之比。

圖14 不同槽型的渦流損耗對比

表3對比了基于快速有限元的半解析法（低頻、高頻）、線性有限元法和傳統(tǒng)有限元法計算繞組渦流損耗的速度和準(zhǔn)確度。計算均在同一臺個人計算機(jī)上運(yùn)行，處理器為Intel(R) Core(TM) i7—7700 CPU@3.60GHz，RAM為12G。由表3可知，線性有限元法計算很快，但由于沒有考慮電機(jī)飽和的影響，導(dǎo)致計算誤差大；傳統(tǒng)有限元法計算最為準(zhǔn)確，但密集的導(dǎo)體網(wǎng)格極大增加了計算時間；而基于快速有限元的半解析法將計算速度提高了近100倍，且高頻解析法無論在低頻還是高頻均具有相當(dāng)小的誤差，其快速性和準(zhǔn)確性為電機(jī)設(shè)計和優(yōu)化提供了良好的保障。

表3 不同方法的計算性能比較

Tab.3 Comparison of calculation performance of different methods

實驗中為方便分離出繞組銅耗，僅對電機(jī)定子進(jìn)行實驗，而實際槽內(nèi)漏磁還會受到轉(zhuǎn)子側(cè)影響，且一般解析法計算往往忽略了轉(zhuǎn)子側(cè)的影響[27]，為此，有必要研究轉(zhuǎn)子側(cè)對繞組渦流損耗的影響。求解依然借助上述所提出的半解析法。

仍選取圖5中緊貼齒部的兩列導(dǎo)體為研究對象，施加2A額定電流時，帶轉(zhuǎn)子和不帶轉(zhuǎn)子時導(dǎo)體所受漏磁場的對比如圖15所示。對于所研究的永磁電機(jī)，不論是同相槽還是異相槽，帶轉(zhuǎn)子時槽漏磁均較大，這是因為轉(zhuǎn)子永磁體也會產(chǎn)生一部分的漏磁，因此忽略轉(zhuǎn)子所求出的繞組渦流損耗偏小，可見一般解析法的不足。而基于快速有限元的半解析算法借助了有限元，能更真實地獲取槽漏磁數(shù)據(jù)，很好地克服了解析法的缺點(diǎn)。

圖15 轉(zhuǎn)子對槽漏磁磁通密度的影響

不同頻率下有轉(zhuǎn)子和無轉(zhuǎn)子兩種情況下計算的ac/dc曲線（不考慮端部）如圖16所示。受轉(zhuǎn)子的影響，繞組渦流損耗增加，且隨著頻率的升高，兩者的差距呈指數(shù)上升，可見轉(zhuǎn)子對繞組渦流損耗的影響很大，忽略轉(zhuǎn)子求解的做法不可取。所提出的半解析法基于有限元仿真結(jié)果，因而具有很高的保真度。

圖16 有轉(zhuǎn)子與無轉(zhuǎn)子計算結(jié)果對比

電機(jī)在實際運(yùn)行過程中采用逆變器供電，逆變器開關(guān)會引入高頻電流諧波，在繞組上產(chǎn)生顯著的渦流損耗，因此十分有必要對這部分損耗進(jìn)行估算。本文所采用的逆變器直流母線電壓為540V，開關(guān)頻率為20kHz，額定工況下的仿真電流波形和諧波分析如圖17所示，除了基波電流外，主要還存在一次開關(guān)邊帶諧波與二次開關(guān)邊帶諧波。

圖17 逆變器供電時的仿真電流波形及其諧波分析

為驗證逆變器供電下所提半解析計算方法的有效性，將半解析計算與有限元仿真的結(jié)果進(jìn)行對比。首先注入電流基波分量，通過半解析計算得到基波損耗；然后在磁飽和主要由基波引起的假設(shè)基礎(chǔ)上，在每一基波計算時間步凍結(jié)磁導(dǎo)率，分別注入不同頻率電流，計算出槽漏磁，并代入解析式求解出各次諧波損耗；最后與基波損耗相加得到繞組總損耗。該方法能夠計算繞組損耗來源。逆變器供電時不同方法計算的繞組損耗如圖18所示。可以發(fā)現(xiàn)，逆變器開關(guān)引起的諧波渦流損耗占比較大，這在電機(jī)設(shè)計過程中不容忽視。高頻解析法與有限元仿真的結(jié)果十分吻合，誤差僅為0.8%；而低頻解析法計算的總損耗高出了21.2%，顯著高估了高頻電流諧波尤其是二次開關(guān)邊帶諧波引起的損耗。

圖18 逆變器供電時不同方法計算的繞組損耗

4 實驗驗證

在實驗中，利用能量守恒原理分離交流銅耗。實驗去除了電機(jī)轉(zhuǎn)子，由電源向定子線圈供電，此時輸入功率應(yīng)等于線圈的總銅耗和定子鐵耗之和。傳統(tǒng)意義上交流銅耗的測量往往忽略了定子鐵心相關(guān)參數(shù)對鐵耗和交流銅耗的影響，給準(zhǔn)確測量交流銅耗帶來嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。為保證實驗中所測得的交流銅耗精度，需分別進(jìn)行鐵磁材料特性測量實驗和交流銅耗測量實驗。

4.1 鐵磁材料特性曲線測量

鐵磁材料的特性主要包括鐵心的磁通密度-磁場強(qiáng)度（-）特性曲線和有關(guān)鐵耗的損耗密度-磁通密度（-）曲線，這是計算定子鐵耗的依據(jù)。文中電機(jī)所采用的鐵磁材料牌號為10JNEX900，厚度為0.1mm。

借助空載變壓器原理測量，得到不同頻率下鐵磁材料的特性曲線，如圖19和圖20所示。可見損耗隨著磁通密度及頻率的上升而增加，由于測量儀器的限制，最大頻率為10kHz。將所測曲線導(dǎo)入有限元軟件即可計算電機(jī)的定子鐵耗。

圖19 所測鐵磁材料的B-H特性曲線

圖20 所測鐵磁材料的P-B特性曲線

4.2 交流銅耗測量與算法驗證

交流銅耗測量實驗平臺如圖21所示，實驗環(huán)境溫度為30℃。電機(jī)采用2A正弦電流供電，交流電源所能提供的最高頻率為5kHz，由功率分析儀測量損耗。

圖21 交流銅耗測量實驗平臺

永磁電機(jī)的損耗構(gòu)成復(fù)雜且難以分離，尤其是轉(zhuǎn)子風(fēng)摩損耗、磁鋼損耗等相關(guān)參數(shù)難以測量，影響因素過多，因此去除轉(zhuǎn)子，只對定子部分進(jìn)行實驗研究，這樣電機(jī)損耗僅由定子鐵耗和交流銅耗構(gòu)成，易于分離。相應(yīng)地，在FEMM和Matlab平臺中僅保留定子仿真模型。此外，實際電機(jī)存在繞組端部，而半解析算法僅針對電機(jī)有效部分，由于端部漏磁較小，故可以忽略由漏磁引起的渦流損耗。結(jié)合前文仿真分析，在50kHz以內(nèi)，趨膚效應(yīng)引起的渦流損耗極小，因此可認(rèn)為端部僅存在直流銅耗。通過高精度微歐計測量電機(jī)的相電阻，再減去有效部分的電阻得到端部電阻，從而可算出端部直流銅耗，結(jié)合2.3節(jié)的推導(dǎo)公式修正得到電機(jī)最終的直流銅耗dc和交流銅耗ac。

受實驗室交流電源（ITECH 7625）輸出條件的限制，僅能測得5kHz范圍內(nèi)的交流銅耗，以ac/dc形式表示，如圖22所示。由圖22可知，實驗結(jié)果與半解析計算結(jié)果十分吻合，誤差均在5%以內(nèi)。由于頻率并不高，高頻去磁效應(yīng)并不顯著，低頻解析法與高頻解析法的計算結(jié)果并無太大差別。為進(jìn)一步說明高頻解析法的有效性，采用精密LCR表（KEYSIGHT E4980AL）測量繞組高頻電阻來進(jìn)行對比，結(jié)果如圖23所示。在50kHz范圍內(nèi)，高頻解析法計算結(jié)果與LCR表的測量值吻合，誤差大都在5%以內(nèi)，在50kHz時誤差最大，為6.9%；而低頻解析法計算誤差隨著頻率上升快速放大，與前文仿真部分的結(jié)論一致。不過LCR表的測量值始終略高于高頻解析法的計算結(jié)果，誤差來源主要有以下兩點(diǎn)：①LCR表通過注入高頻電流測量高頻電阻，鐵心中不可避免地會產(chǎn)生渦流，LCR表的測量結(jié)果包含了鐵心引起的阻抗，導(dǎo)致所測繞組高頻電阻偏大；②實際電機(jī)槽內(nèi)的導(dǎo)體排布隨機(jī)性很強(qiáng)，與仿真所建立的導(dǎo)體位置模型存在差別。

圖22 通過交流銅耗對比半解析的計算與實驗結(jié)果

圖23 通過高頻電阻對比半解析的計算與實驗結(jié)果

5 結(jié)論

本文以散線繞制的永磁電機(jī)為研究對象，提出基于快速有限元繞組渦流損耗的半解析計算方法，針對有限元計算渦流損耗的不足，將傳統(tǒng)的有限元模型分解為一般有限元模型和導(dǎo)體位置模型，并借助于快速有限元的思想快速提取槽漏磁數(shù)據(jù)為解析算法服務(wù)，大大減少了有限元仿真時間。根據(jù)渦流損耗的產(chǎn)生機(jī)理，文中揭示了導(dǎo)體渦流損耗一般低頻解析式的局限性，對高頻情況下考慮渦流去磁效應(yīng)的導(dǎo)體渦流損耗進(jìn)行了解析推導(dǎo)。最后通過搭建基于FEMM和Matlab仿真平臺來實現(xiàn)上述方法，并采用實驗對所提出的方法進(jìn)行了驗證。本文主要結(jié)論如下：

1）與Maxwell仿真對比分析發(fā)現(xiàn)，低頻解析算法僅適用于10kHz以內(nèi)，而高頻解析算法在50kHz時仍具有足夠高的精度，并通過實驗進(jìn)一步驗證了高頻解析算法的準(zhǔn)確性，在較大頻率范圍內(nèi)誤差低于5%。

2）相較于傳統(tǒng)有限元計算電機(jī)繞組渦流損耗，基于快速有限元的半解析算法將計算速度提高了近100倍，對電機(jī)設(shè)計和優(yōu)化具有很大的應(yīng)用價值。

3）半解析算法能計算出不同槽類型的渦流損耗，同相槽的渦流損耗大于異相槽的，兩者比值約等于槽磁動勢之比。

4）電機(jī)飽和與轉(zhuǎn)子側(cè)對繞組渦流損耗的影響較大，一般解析法不考慮上述因素，而所提出的半解析算法基于快速有限元，具有高保真度。

雖然本文提出的繞組渦流損耗半解析算法計算高效，但仍存在一些不足。一方面，本文研究的繞組無并繞導(dǎo)線，對于并繞導(dǎo)線繞組，還需要研究環(huán)流損耗的算法；另一方面，對于成型繞組的渦流損耗高效計算也是一項課題，上述問題將作為后續(xù)研究永磁電機(jī)交流銅耗的重點(diǎn)。

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Semi Analytical and Efficient Calculation Method of Eddy Current Loss in Windings of Permanent Magnet Machines Based on Fast Finite Element Method

Cao Longfei Fan Xinggang Li Dawei Qu Ronghai Liu Jingyi

（State Key Laboratory of Advanced Electromagnetic Engineering and Technology Huazhong University of Science and Technology Wuhan 430074 China）

Winding eddy current loss is the main component of AC copper loss of permanent magnet machines, and its estimation is an important step in machine design. In the traditional design process, the estimation of winding eddy current loss is generally based on 2D finite element method (FEM) simulation, but it is inevitable to model the conductors and divide them into dense meshes, which will take a lot of computing time. Another method is analytical calculation. Although this method is not time-consuming, the nonlinear characteristic of the ferromagnetic material cannot be considered, and it will result in low calculation accuracy. To achieve a balance between calculation speed and accuracy, this paper studies the generation mechanism of winding eddy current loss of permanent magnet machines, and proposes a semi-analytical algorithm to calculate the winding eddy current loss. On the one hand, the analytical algorithm only depends on slot magnetic leakage flux density, so it is not necessary to establish the conductor model in the FEM model. To further reduce the time cost, the fast FEM is used to extract and reconstruct the slot magnetic leakage flux density. On the other hand, the slot magnetic leakage flux density obtained by FEM has high fidelity, and the analytical algorithm considering high-frequency demagnetization effect in conductor is applied, thus improving the calculation accuracy of winding eddy current loss.

Firstly, the reconstruction algorithm of slot magnetic flux leakage is derived based on the fast FEM theory and the slot/pole configuration of the permanent magnet machine, and the conductor layout model is established to obtain the conductor coordinates. Secondly, the machine FE model without conductors is established, and 1/6 electrical period simulation is carried out. The slot magnetic leakage flux density is extracted based on conductor coordinate, and the entire electrical period slot magnetic leakage flux density is reconstructed. Finally, fast Fourier transform (FFT) is performed for the slot magnetic leakage flux density, and each harmonic magnetic flux density is substituted into the high-frequency analytical algorithm to solve eddy current loss. The total winding eddy current losses can be obtained by summing the losses caused by all harmonic magnetic densities of all conductors.

The proposed semi-analytical method based on fast FEM is implemented by established simulation platform based on Matlab and open source finite element software FEMM, and a 12-slot, 10-pole surface permanent magnet machine was used to verify the proposed method. Firstly, compared with the simulation results obtained by traditional commercial finite element software, the calculation speed of the proposed method is improved by nearly 100 times, and the errors are less than 4% within 50kHz. Secondly, the effectiveness of proposed method is verified through experiments, to separate the winding eddy current loss conveniently, only the stator is used for experimental research. The winding eddy current loss below 5kHz is separated by directly measuring the input power, while the eddy current loss above 5kHz is indirectly characterized by measuring theac/dcby LCR meter due to the limit of the highest frequency (5kHz) output of the sinusoidal power supply device. The experimental results show that the error of winding eddy current loss calculated by proposed method is generally within 5%, and the maximum error is 6.9% at 50kHz.

The semi-analytical method based on fast FEM proposed in this paper only focuses on the efficient calculation of winding eddy current loss. For multi-stranded winding, it is necessary to study the efficient calculation method of circulating current loss in the future. In addition, the proposed method is only applicable to the machine with cylindrical winding, and the efficient calculation method of hair-pin winding eddy current loss remains to be studied.

Permanent magnet machine, winding eddy current loss, conductor layout model, fast finite element method, semi-analytical algorithm

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211603

TM351

曹龍飛 男，1998年生，碩士研究生，研究方向為高功率密度永磁電機(jī)設(shè)計與熱分析。E-mail：longfeic@hust.edu.cn

范興綱 男，1992年生，博士，講師，研究方向為永磁電機(jī)設(shè)計及電機(jī)電磁熱流體多物理場分析。E-mail：xinggangfan@hust.edu.cn（通信作者）

國家自然科學(xué)基金資助項目（52007069）。

2021-10-10

2022-05-07

（編輯 李冰）