基于預后驗分析的邊坡穩定監測風險決策方法

張浮平，彭 興

（長江勘測規劃設計研究有限責任公司，湖北 武漢 430010）

0 引言

在巖土工程實踐中不可避免的存在諸多不確定性因素，如有限數據導致的統計不確定性、巖土體力學參數的空間變異性、計算模型誤差等［1］。巖土工程風險決策能夠定量地考慮上述不確定性因素，是工程實踐中重要的科學決策手段［2-5］。

以邊坡工程風險分析為例，當根據計算參數的初始信息分析得到的邊坡失效概率PF大于目標失效概率PT時，通常需要采取一定的加固措施來提高邊坡的安全性，使邊坡的失效概率小于目標失效概率。但工程師獲得的初始信息往往有限，且存在較大的認知不確定性，據此采取的加固措施并不一定經濟合理。另一方面，可通過布置監測儀器收集更多信息，以減小巖土體參數的認知不確定性，同樣可以達到降低邊坡失效概率的目的［6］。如果通過減小參數認知不確定性分析的邊坡的失效概率小于目標失效概率，則無需對邊坡采取加固措施，節省的加固措施費用可視為監測信息帶來的效益，但獲得監測信息同樣需要增加額外的成本（如購買和安裝監測儀器等）。對是否開展邊坡安全監測進行風險決策是邊坡加固設計中的一個重要問題，能夠有效地避免盲目開展監測或者加固帶來的不必要的成本。預后驗分析（Pre-posterior analysis）能夠有效地評估監測方案的潛在效益，科學指導監測方案的優化布設，被廣泛應用于工程監測方案優化決策之中［7-9］。在預后驗分析中，由于監測方案尚未實施，監測項目能夠帶來的潛在效益需要通過預測可能的監測結果和監測結果發生的概率（即預后驗信息）計算監測項目信息價值的期望（Expected Value of Information，EVoI）來量化。在求解EVoI時，需要計算一系列可能監測結果所對應的邊坡失效概率，即后驗失效概率。常用的基于隨機模擬的后驗失效概率計算方法包括：馬爾科夫鏈蒙特卡羅模擬［10］、基于結構可靠度的貝葉斯更新方法（Bayesian Updating with Structur?al reliability methods，BUS）［11］等。當上述方法應用于邊坡穩定監測方案預后驗分析時，對于不同的監測結果，通常需要重新執行隨機模擬以求解對應的失效概率，由于邊坡變形等監測項目的求解模型（如有限元計算模型、有限差分計算模型）比較復雜，計算效率低。因此如何高效地求解EVoI是邊坡穩定監測方案預后驗分析的一個關鍵難點，也是該方法難以運用于實際工程實踐的重要制約因素之一。

本研究旨在建立基于預后驗分析的邊坡穩定監測方案風險決策模型，并將提出的改進拒絕抽樣貝葉斯更新方法（Bayesian Updating with Structural reliability methods using Modified Rejection Sampling，BUS-MRS）應用到監測方案預后驗分析中，以提高信息價值的計算效率。為此，本文首先介紹了邊坡穩定監測方案預后驗分析方法，隨后介紹了基于BUSMRS 的信息價值計算方法和計算流程，最后用一個巖質邊坡監測方案風險決策算例證明了所提方法的可行性和有效性。

1 邊坡穩定監測預后驗分析方法

1.1 監測方案的預后驗分析模型

基于預后驗分析的邊坡穩定監測方案決策樹如圖1 所示。當根據初始信息判斷邊坡的失效概率PF大于目標失效概率PT時，則需判斷是否需要獲得額外的監測信息進行決策。在邊坡監測方案風險決策中，首先需要確定可供選擇的監測項目（如變形、孔隙水壓等）Dk（k=1，2，…，q，q是監測項目的數量）。隨后對監測項目可能的觀測結果（即預后驗信息）進行預估。監測項目Dk觀測值的概率分布表示為f（dk），dk，l（l=1，2，…，Nk）為可能的觀測結果。然后，通過貝葉斯更新方法計算觀測結果dk，l對應的邊坡后驗失效概率PF（dk，l）。當后驗失效概率PF（dk，l）＞PT時，則仍需加固，總費用為監測費用Cm和加固費用Cr之和；當PF（dk，l）≤PT時，則不需要加固，總費用僅為監測費用Cm。隨后，根據監測項目的可能觀測結果dk的分布f（dk）和可能觀測結果dk所對應的信息價值計算監測項目的EVoI。進行監測方案風險決策時，EVoI與監測費用Cm的關系也可以用信息價值比Vr=EVoI/Cm表征。當信息價值比Vr＞1，表示監測信息產生的價值大于監測費用，可進行監測；當Vr≤1 時，監測費用大于監測產生的價值，則無需進行監測，應直接進行加固。

圖1 基于預后驗分析的邊坡穩定監測方案決策樹模型Fig.1 Decision tree model of slope stability monitoring scheme based on pre-posterior analysis

由此可見，基于預后驗分析的監測方案風險決策中有兩個比較關鍵的步驟：第一，確定監測項目的預后驗信息，即觀測結果的概率分布f（dk）；第二，求解監測項目的EVoI。

1.2 監測項目的預后驗信息f（dk）

預后驗分析中需要對監測結果進行預估，即確定監測項目Dk的觀測結果dk的分布f（dk）。預后驗信息f（dk）可以根據工程師或專家的經驗進行預測，也可以通過監測模型進行預測。當通過監測模型進行預測時，監測結果dk與邊坡穩定性分析不確定性參數x之間的關系可表示為：

式中：εk為監測項目模型誤差；Mk（x）為監測項目Dk的監測模型函數，表示輸入參數和監測項目之間的響應關系。

在邊坡穩定監測中，監測模型函數常為數值分析模型（如有限元模型、有限差分模型等）。因此，將不確定性參數（如摩擦角?、黏聚力c和彈性模量E等）的初始分布f（x）的隨機樣本xl（l=1，2，…，Nk）為輸入變量，通過監測模型函數Mk（x）計算樣本對應監測模型的響應dk，l（l=1，2，…，Nk）。dk，l（l=1，2，…，Nk）服從分布f（dk），為監測項目的預后驗信息。

1.3 監測項目信息價值的期望EVoI

在邊坡穩定監測中，監測項目Dk的觀測結果dk，l所產生的信息價值VoI為依據先驗信息（即初始信息）做出決策的費用與根據監測結果dk，l做出決策的費用之差：

式中：I［ ］為示性函數，當PF（dk，l）＞PT時，I［PF（dk，l）＞PT］=1，即邊坡仍然需要加固，監測信息帶來的價值為0；當PF（dk，l）≤PT時，I［PF（dk，l）＞PT］=0，即邊坡無需加固，監測信息帶來的價值為加固費用Cr。

預后驗分析中需考慮所有可能的監測結果帶來的價值，即監測項目信息價值的期望EVoI。根據貝葉斯理論，基于監測信息dk和參數先驗信息f（x），可獲得參數的后驗概率密度函數為f（x|dk）。隨后可根據不確定性參數的后驗概率密度函數f（x|dk）計算邊坡的后驗失效概率PF（dk）。因此，基于MCS 根據預后驗信息f（dk）計算監測項目Dk的EVoI可以表示為：

式中：P（PF（dk）≤PT）為獲得監測結果后的后驗失效概率小于目標失效概率的概率，表示監測后不需要加固的概率；dk，l（l=1，2，…，Nk）為監測變量dk的樣本，代表可能出現的觀測結果；Nk為樣本的總數。

基于預后驗分析的邊坡穩定監測方案風險決策的一個難點是如何高效計算監測項目Dk的一系列可能的觀測值dk，l（l=1，2，…，Nk）所對應的邊坡后驗失效概率PF（dk=dk，l）。為此，本文將BUS-MRS方法應用于預后驗分析，以提高計算EVoI的效率。

2 基于BUS-MRS的預后驗分析計算方法

2.1 基于結構可靠度的貝葉斯更新方法

Straub 和Papaioannou［11］提出了基于結構可靠度的貝葉斯更新方法BUS，將貝葉斯更新問題轉化為可靠度求解問題，被擴展到求解貝葉斯更新中不確定性參數的后驗分布。BUS 中構造的附加失效區域記為Ωl，表示給定觀測值dl時監測模型函數對應的失效區域：

式中：cu是一個常數用于保證cuL（x|dl）≤1，可取1/L（x|dl）的最大值，即cu=；u是隨機變量，服從0 到1 的均勻分布，且與模型不確定性參數x相互獨立。初始分布f（x）的隨機樣本中落入到監測模型函數失效區域Ωl的樣本（接受樣本）服從后驗分布f（x|dl）。換而言之，服從后驗分布f（x|dl）的樣本可以通過式（4）從先驗分布f（x）的樣本中選取。在拒絕抽樣方法中，通過蒙特卡羅模擬（MCS）產生Nmcs個服從分布f（x）的樣本xi（i=1，2，…，Nmcs）（即初始樣本）和Nmcs個u的樣本ui（i=1，2，…，Nmcs），如果ui≤cuL（xi|dl），樣本xi落入到監測模型失效區域，并接受為d=dl的條件樣本，記為xj。通過這種方式，Na，l（Na，l＜Nmcs）個服從后驗分布f（x|dl）的條件樣本被選中。基于上述原始拒絕抽樣（Ori?gnal Rejection Sampling，ORS）的貝葉斯更新方法產生后驗分布f（x|dl）的條件樣本xj（j=1，2，…，Na，l）可用于計算邊坡的后驗失效概率PF（d=dl）：

利用基于ORS 的貝葉斯更新方法計算邊坡的后驗失效概率需要根據不同的監測結果dl（l=1，2，…，Nd）重新執行MCS 產生初始樣本再選擇條件樣本，然后根據條件樣本計算邊坡的后驗失效概率。因此，在邊坡監測方案風險決策中，需要對于Nd個觀測結果需要執行Nd次MCS，那么總的計算量則包含Nmcs×Nd次監測模型函數M（x）和次功能函數g（x）的計算，可見計算量非常大，而且計算效率會隨著監測模型函數和功能函數的求解復雜程度的增加而降低。

2.2 基于改進拒絕抽樣的貝葉斯更新方法

為解決上述計算量大、計算效率低的問題，Li［12］等提出了基于改進拒絕抽樣的貝葉斯更新方法（BUS-MRS），在拒絕抽樣中從同一套初始樣本中選擇不同觀測值dl所對應的條件樣本。監測項目D的觀測值dl變化后，似然函數的值會變化，條件樣本也會變化，但初始樣本x獨立于dl，因此可從同一套初始樣本中選擇不同觀測值dl對應的一套條件樣本，避免了針對不同dl重復執行MCS 模擬產生新的初始樣本和計算樣本對應模型函數和功能函數的響應，從而提高了計算后驗失效概率的效率。為了減少接受條件樣本的隨機波動，改進拒絕抽樣（Modified Re?jection Sampling，MRS）通過在相同的初始樣本空間中重新執行Nr次拒絕抽樣以增加接受樣本的數量，從而提高計算邊坡后驗失效概率的穩健性。在MRS中，每次運行拒絕抽樣都產生一組服從后驗概率密度函數f（x|dl）的條件樣本Ωl，m（m=1，2，…..，Nr），則Nr次運行拒絕抽樣獲得條件樣本的集合Ωall=｛Ωl，1，Ωl，2，…，Ωl，Nr｝也服從后驗概率密度函數f（x|dl）。采用BUS-MRS 計算后驗失效概率PF（d=dl）可以表示為：

式中：xm，j是MRS 中第m（m=1，2，…..，Nr）次執行ORS 接受的樣本；是第m次模擬中接受樣本的數量；是MRS中接受條件樣本的總數。在MRS 中，初始樣本xi（i=1，2，…，Nmcs）在重復執行ORS中保持不變，樣本xi是否會被接受將被Nr個ui判斷Nr次，則初始樣本xi被接受的次數從ORS 中的cuL（xi|dl）增加到MRS中的cuL（xi|dl）×Nr。隨著Nr增加，xi被接受為條件樣本的頻數收斂于cuL（xi|dl）×Nr。因此，初始樣本是否會被接受的隨機波動在MRS 中會隨著Nr的增大而減小。相應地，Ωall中的樣本隨著Nr的增加而增加，并收斂于條件樣本數量的增加和條件樣本隨機波動的減少都有助于提高計算后驗失效概率PF（d=dl）的穩健性。由于初始樣本xi和其似然函數L（xi|dl）的響應是固定不變的，在Nr次運行ORS 中無需重新計算，MRS 方法重新執行ORS方法的計算量可以忽略不計。

2.3 基于BUS-MRS的信息價值計算方法

當利用BUS-MRS 計算監測項目的EVoI時，由于無需重新產生初始樣本以及計算初始樣本監測模型函數的響應，能夠高效地求解監測項目一系列可能觀測值所對應的后驗失效概率，從而提高計算EVoI的效率。基于BUS-MRS計算給定監測項目Dk的觀測結果dk，l條件下邊坡的后驗失效概率可以表示為PF（dk=dk，l）：

式中：xm，j是改進拒絕抽樣中接受的樣本；Nma是第m次接受樣本的數量；NTa是接受的樣本的總數。

將式（7）帶入式（3），監測項目Dk信息價值的期望EVoI可以表示為：

如圖2所示，利用BUS-MRS方法進行邊坡監測方案風險決策主要包括以下步驟：

圖2 基于BUS-MRS的監測方案預后驗分析計算流程圖Fig.2 Implementation procedure of the proposed BUS-MRS based pre-posterior analysis

（1）利用MCS產生Nk個服從參數初始分布f（x）的樣本xl（l=1，2，…，Nk）；

（2）根據監測模型函數式（1）計算參數初始分布樣本所對應的監測項目的觀測結果dk，l，dk，l為服從預后驗信息f（dk）的樣本；

（3）根據BUS-MRS（即圖2中的虛線方框部分）計算監測項目觀測值dk，l（l=1，2，…，Nk）所對應的失效概率PF（dk=dk，l）；

（4）根據式（8）計算監測項目的EVoI；

（5）重復上述步驟（2）～（4），直到計算完所有監測項目的EVoI；

（6）計算各個監測方案的信息價值比對監測方案進行決策。

在上述計算過程中，步驟（1）和步驟（3）中都需要利用不確定性參數初始分布f（x）的樣本。由于在邊坡監測方案中，監測模型復雜，為了節省計算量和計算時間，在實際計算過程中步驟（1）和步驟（3）可采用相同的樣本。上述做法雖會產生一定的相關性，但是對EVoI計算結果的影響很小。

3 邊坡穩定監測方案風險決策算例

3.1 邊坡確定性分析模型

下面將以文獻［13］中的巖質邊坡為例說明本文方法的有效性。如圖3 所示，巖質邊坡高度為H=12 m，傾角60°，邊坡內存在一條從坡腳開始以35°傾角向上延伸的結構面，在Z=4.35 m深處與垂直拉伸裂縫相交。張拉裂縫頂部與坡頂之間的距離為4 m。rw=Zw/Z表征地下水深度用比率。巖體黏聚力為67 kPa，摩擦角為40°，容重為26 kN/m3，彈性模量為5.0 GPa，泊松比為0.25。軟弱結構面巖體的重度為γJ=26 kN/m3，泊松比為0.3。軟弱結構面的彈性模量E、黏聚力c、摩擦角?以及坡頂荷載p、地下水比率rw視為隨機變量，其統計特征值和分布類型見表1。該邊坡上施加了為4 排預應力錨桿，鋼筋直徑為28 mm，橫、縱向間距均為2.5 m。錨桿與節理面法線的夾角為35°，深入節理面后的有效長度為4 m。錨桿楊氏模量為200 GPa、屈服應力為σt=400 MPa，錨桿的拉伸屈服力為246 kN。分別選取A、B、C、D 四個點（如圖3 所示）的水平位移（即HA、HB、HC、HD）和豎直位移（VA、VB、VC、VD）為監測項目。

表1 巖質邊坡的隨機變量統計特征Tab.1 Statistics of random variables in the rock slope

圖3 巖質邊坡穩定性分析示意圖Fig.3 Stability model for the rock slope

采用有限差分法分析軟件FLAC 對巖質邊坡穩定性進行分析，巖體和軟弱結構面采用實體單元模擬，共有782 個單元，地下水用水位線Table 單元模擬，錨桿用Cable 單元模擬，采用理想彈塑性模型和摩爾-庫倫屈服準則。需要指出，為了更好地和文獻［13］進行對比，本文采用了與其保持一致的理想彈塑性模型，在具體工程中可以根據實際情況采用更合理的本構模型，并不影響本文提出的風險決策方法。采用強度折減法計算巖質邊坡的安全系數，參數取均值時計算邊坡位移如圖4（a）所示，其中最大合位移約為7 mm，計算邊坡抗滑穩定安全系數FS為1.14［圖4（b）所示］。

圖4 有限差分模型計算巖質邊坡的位移和安全系數Fig.4 Finite difference model for displacement and safety factor of the rock slope

本文采用非侵入式隨機有限差分方法［14］對邊坡穩定進行可靠度分析。計算過程如下，根據參數的初始分布（見表1），利用MATLAB 軟件產生不確定性參數的隨機樣本，然后利用MATLAB 調用FLAC 軟件逐一計算隨機樣本（即模型的輸入參數）對應的邊坡抗滑穩定安全系數FS，最后在MATLAB 中進行可靠度分析。假定FS計算的模型誤差εg服從均值為0、標準差為0.05 的正態分布。邊坡穩定分析的功能函數為g（x）=FS（x）-1+εg。根據表1 參數的初始分布利用MCS 方法（樣本數為1.5萬個）計算邊坡的失效概率為25.5%，與文獻［13］計算的失效概率24.9%相近。

該邊坡的規模較小，邊坡目標失效概率可取PT=1%。根據參數的初始信息計算邊坡穩定的初始失效概率為PF=25.5%大于目標失效概率，不滿足設計要求，需在原設計方案基礎上對邊坡進行加固。在此，考慮是否對邊坡進行監測，然后再做是否加固的決策。為此，本文考慮以4 個監測點A、B、C、D 的水平位移（HA、HB、HC、HD）和豎直位移（VA、VB、VC、VD）等8 個監測項目進行監測方案的預后驗分析。加固費用和監測費用的比例為Fr=Cr/Cm，由于該算例為并非實際工程，在此假設Fr=100。

3.2 預后驗決策分析

在預后驗分析中，首先需要確定監測項目的預后驗信息。此算例中通過參數的初始分布和監測模型函數對監測結果進行估計。其具體計算過程如下，首先根據參數的初始分布（見表1）產生1.5 萬個樣本，然后利用非侵入式隨機有限差分方法調用FLAC 位移計算模型（即監測模型）分別自動求解1.5 萬個樣本在A、B、C、D 的水平和豎直方向的位移。每個監測變量可以獲得1.5 萬個監測位移值，這1.5 萬個監測值即為監測位移預后驗分布的等效樣本，用于代表監測位移的預后驗信息。

確定預后驗信息后，需計算預后驗信息的樣本（即監測項目的觀測值）所對應的后驗失效概率。圖5給出了所提的BUSMRS方法計算HB不同觀測值所對應的后驗失效概率。可見，邊坡的后驗失效概率隨著HB值的增加增長了近3 個數量級，表明邊坡開挖后的監測項目的位移越大，邊坡的安全性越低。BUSMRS 中考慮Nr分別取1、10 和100 的3 種情況，3 種情況的計算結果較為一致。當Nr=1 時，即原始拒絕抽樣，計算后驗失效概率的離散性比較大，尤其是在失效概率較小的區域（如＜10-2）。隨著Nr從1 增加到100，后驗失效概率計算結果基本趨于穩定。證明改進拒絕抽樣方法通過在初始樣本空間重復選擇監測結果對應的條件樣本，能夠提高計算后驗失效概率的穩健性。

圖5 監測位移HB不同觀測值的后驗失效概率Fig.5 Posterior failure probabilities with different monitoring displacement

根據監測的可能觀測結果和觀測結果對應的失效概率，可以計算信息價值的期望。本算例采用信息價值比Vr=EVoI/Cm表征監測項目的潛在收益。圖6 給出了8 個監測項目的信息價值比。可見所有監測項目的Vr都大于1，因此對任何一個監測項目實施監測獲得的信息價值都大于監測的成本。在這8個監測項目中，HB對應的Vr最大，因此對坡腳水平位移HB進行監測在信息價值的角度上最為合理。

圖6 不同監測項目的信息價值比Fig.6 EVoI for different monitoring parameters

4 結論

本文建立了基于預后驗分析的邊坡穩定監測風險決策模型。針對預后驗分析中信息價值計算效率低的問題，提出的基于改進拒絕抽樣貝葉斯更新方法BUS-MRS 的能夠有效提高監測項目信息價值期望的計算效率。主要結論如下：

（1）在預后驗分析中，BUS-MRS 能夠高效地計算監測項目一系列可能觀測值的后驗失效概率，提高了基于預后驗分析的邊坡監測方案風險決策方法的實用性和適用性。

（2）巖質邊坡監測算例表明，所提方法能夠有效地識別最大信息價值對應的最優監測方案，從信息價值的角度為邊坡監測方案的優化決策提供了新思路。算例中對坡腳的水平位移監測能夠獲得最大的信息價值。