從解決數學問題出發認識計算思維

鄭興航 江蘇省錫山高級中學

我國大學計算機專業許多在起始階段都歸在數學系，后來才逐漸分離獨立，這種現象說明計算機學科的誕生和數學學科有著千絲萬縷的聯系。計算思維概念脫胎于計算機專業，而數學思維概念的提出則源于數學。筆者發現，從對數學問題解決過程入手，師生比較容易辨清與把握計算思維實質。

筆者所在學校信息技術課程“數據與計算”模塊主要采用項目方式組織學生進行學習。第一階段以使用海倫公式求三角形面積作為樣例貫穿教學始終，隨著預設條件不斷增加，順序、分支、循環、面向過程與面向對象編程等知識應用被漸進嵌入到項目中。第二階段為基本算法進階，力圖通過不同問題的解決，幫助學生了解窮舉、回溯和二分等算法的基本思想。

學生以Python語言為背景，首先學習賦值、輸出語句的書寫格式，了解語句含義。為幫助學生掌握順序結構編程的方法，教師布置了一道思維上沒有難度的基礎訓練題，要求學生在三條邊的長度分別為5、6、7的條件下，用海倫公式編程求出三角形面積，并輸出結果，海倫公式由教師預先給出。為滲透模塊調用方法，本次編程需要在程序第一行，用import語句導入math模塊，以便在程序中順利使用sqrt函數。按照教師課前設想，學生編寫的代碼應與圖1所示的程序類似。

圖1

剛剛學習編程，語句格式寫錯是學生常犯的錯誤。但在幫助學生調試程序的過程中，教師發現，一個班級經常有5到6位同學編寫的程序就像圖2所示的程序一樣，單條語句并沒有錯誤，但語句放置的順序不對，而且錯誤雷同。課后與其他信息技術教師交流，他們反映其他班級也有類似現象。教師當時只是將這種現象簡單歸結為學生編程習慣還沒有養成。半年后在與數學老師的一次交流中，筆者突然認識到這種現象的出現并不偶然，這不僅僅是學生對賦值語句沒有理解，而是與學生經過多年的數學課程學習，已經養成的數學思維習慣有關。數學關注前后邏輯關系，強調由因到果，但在表達某個結論時，其涉及的約束條件經常是放在后面做補充說明，對順序并不像程序設計要求那么嚴苛。

圖2

通過上述發生的教學事件，筆者認為可以通過列舉一些數學問題，讓學生體悟數學思維與計算思維在問題解決中發揮的不同作用來認識它們之間的區別與聯系，從而加深學生對計算思維抽象與自動化本質的理解。

●通過解題步驟對應轉換感受數學思維與計算思維之間存在的差異

為幫助學生糾正前文提及的程序編寫錯誤，在后來的教學中教師有意識地對原來的教學設計進行了修改。增加教學環節，安排學生先在紙張上寫出數學解題的一般步驟，然后再啟發學生思考，這些解題步驟要轉換成計算機可以接受的程序，需要對數學的解題步驟做哪些變通與調整，即引導學生將思維方式從數學推理模式對應遷移到應用計算模式，同時畫出流程圖。在比較中理解程序設計中的p=(a+b+c)/2語句的本質是指揮計算機從內存調用已經準備好的變量a、b、c的值，在運算器中按照一定規則進行計算，再把結果存儲到變量p所表示的內存中，與數學中所指的p=(a+b+c)/2有本質不同。為此，在執行p=(a+b+c)/2語句之前，需要先在內存中開辟三個空間，分別命名為a、b、c，并用a=5,b=6,c=7三條賦值語句在這三個空間中存入具體數值。a、b、c、p代表的四個物理空間有了具體數值之后，才能應用海倫公式計算三角形面積s。

能夠運用順序結構描述問題解決的一般步驟，并且認識到用計算機處理問題一般要經歷數據準備、數據計算、輸出結果三個階段，標示計算思維初步形成。

●問題解決不同階段，數學思維與計算思維互相支持，各自發揮獨特作用

組合數學是學生高中階段數學學科中需要學習的一個重要模塊。為得到組合數計算公式，數學教師授課一般會經過下述步驟：

（1）引導學生通過若干案例分析，認識加法與乘法原理；

（2）作為乘法原理的具體應用，得到排列計算公式A(m,n）=m*(m-1)*......*(m-n+1)；

（3）在排列中去除有序性，順理成章得到組合數計算公式C(m,n)=m*(m-1)*......*(m-n+1)/n!=m!/(n!*(m-n)!)（公式一）；

（4）根據集合的一一對應關系得到公式C(m,n)=C(m,m-n)，再根據某一元素取與不取，根據元素分類原則，分類統計得到公式C(m,n)=C(m-1,n-1)+C(m-1,n)（公式二）。

教學過程中輔之若干具體應用，數學學科學習主體任務即算完成。在整個學習過程中，學生分類思考、分步計算、對應變換等數學思維得到了訓練與培養。

相同問題遷移到信息技術課堂，還要求學生對具體數值求出具體結果。學生需要接著思考用什么算法、程序如何編寫，才能將組合數結果計算出來。不同于數學中的“數”，計算機程序涉及的“數”是有具體數據范圍的，數據規模或計算結果較大有可能造成數據溢出。公式一計算直接用Python實現，整數較大時會自動轉換為浮點數，會影響精度，需設計算法避免這種情況發生，如用高精度。用計算機解決問題不僅要考慮結果的正確性，在現實環境下，某些場景對計算速度和所占的空間大小要求嚴苛，為計算組合數，Python提供了多種計算方法，如遞歸、動態規劃等，遞歸實現會出現重復計算，而動規需要開設更多空間。兩種算法實現的具體程序如下頁圖3、圖4所示。

圖3

圖4

在組合數計算的這個例子中，數學思維體現在梳理問題內在邏輯聯系、找出規律、列出公式。計算思維不僅關注數量關系，還關注初始數據的范圍、中間數據的存儲，及思考由此帶來的不同空間與時間復雜度等，以及用不同算法把結果算出來的效率和效益。

●數學思維品質提升改變計算思維方式

信息學奧林匹克競賽的許多試題創意都是來源于日常生活，但欲求出最終結果，無論是數學模型建立，還是在空間與時間受到限制的條件下編程實現都不是一件容易的事情，需要較強的抽象思維能力及其他高階思維深度參與。例如，受廣場舞和走步鍛煉身體刷微信步數啟發，全國信息學奧林匹克聯賽就出過一道求“微信步數”試題，對原題改編，將多維降為二維，題目大意是：

地面上有一個n行、m列的田字格，喜歡走步刷微信的朋友小C準備在這個田字格上按照一定規則走步鍛煉身體，具體規則由k個按順序排列的二維數組(c1,d1)、(c2,d2)、(c3,d3)、……(ck,dk)構成，其中ci=x或y,x表示要求小C沿著橫向走，y表示沿著縱向走；di=1或者-1，表示向前或向后走一步。小C每天只選一個交叉點開始按規則走步，并不斷重復這個規則，直到他走出了場地范圍才結束一天的走步計劃（走完第k步后，若小C還在場地內，他將重復規則繼續走下去，當然也有可能永遠結束不了）。小C每天走步所選的交叉點互不相同，很顯然完成全部計劃小C需要n*m天。問完成全部走步任務，小C總共走了多少步？如果完不成任務則輸出-1。

非常有意思，為鍛煉思維，從純數學角度看，這道試題可以成為小學生的分類思維題，將情境分成兩類：一類是可以結束的游戲，一類是無法結束的游戲。對于可以結束的類型，只要分點計算和統計，一定會得到明確結果；對于無法結束的游戲，引導學生找出內在約束條件，即k步走步規則，分縱橫向，前進與后退的步數總和均為零，而且在田字格中至少存在一點，從這一點出發，一輪走步結束后，小C仍然回到了原點。問題還可以再進一步延伸討論，一輪走步走不出邊界的本質，是從這一點出發，左右、上下移動產生的位移的最大值都超越不了邊界。用計算機實現，即是對走步規則，先分橫向與縱向，再分左右與上下，順序統計求最大位移。

如果思考這道問題的對象是中學生，可引導學生換一個角度思考，在游戲結果不會出現-1的前提下，讓學生從單點求解、求和入手轉換為統一整體考慮，想象有n*m個人在田字格中按照規則同時走步，統計每一步走步人數，很顯然第一步走步人數為n*m,隨著規則的繼續，不斷有人走出邊界，人數持續減少。規則相同，用計算機實現，就是循環，直到所有人走出田字格，游戲結束。

思維品質再一次提升到競賽層次，尋找n*m個人走出田字格的內在規律。

模擬第一輪走步，分縱橫向研究每一步產生的影響，發現縱橫向之間相互獨立。對橫向一行中的n個點，按照規則走到第i步時，向左側移動積累的最大位移為li（負整數，即到第i步，每行有|li|個人已從左側走出了田字格）,向右側移動積累的最大位移為ri（正整數，即到第i步，每行有ri個人已從右側走出了田字格）,一行剩下的n-ri+li個人下一步對走步貢獻就是n-ri+li；同理，對縱向一列的m個點，設到i步時，向下方移動積累的最大位移為di（負整數，即到第i步，每列有|di|個人已從下方走出了田字格）,向上方移動積累的最大位移為ui（正整數，即到第i步，每列有ui個人已從上方走出了田字格）,一列剩下的m-ui+di個人下一步對走步的貢獻就是m-ui+di。因此，走下一步時，田字格中剩下的總人數為（n-ri+li）*（n-ui+di），也是下一步對走步結果的的貢獻，i=0,1,2…k-1（i表示初始狀態或上一輪的集結狀態）統計求和，即得到第一輪所走的總步數。

第一輪走完，橫向整體產生的移動距離用a表示，剩余人數為x=n-rk+lk；縱向整體產生的移動用b表示，剩余人數為y=muk+dk。進一步研究發現，從第二輪開始，下面每一輪橫向走出田字格的人數均為|a|，縱向走出田字格的人數均為|b|。從第二輪開始，前i步橫向走出田字格的總人數用xi表示,縱向用yi表示。容易得到循環輪數為T=min(int(x/|a|),int(y/|b|))，用數學公式表達，第二輪開始所走的主要步數為：

x,a,y,b,xi(i=0,…,k-1),yi(i=0,…,k-1)的值，在編程計算時可先行預處理得到。歸納出一般的計算公式，數學思維的深度參與，使得這道題目的運算規模從(n*m)2降到min(n,m)*k，從科學計算角度看，這是質的躍升。

本題程序實現所占篇幅較長，有興趣的讀者可以登錄網站（https://www.luogu.com.cn/）查看。

●借助計算思維設計方案，解決數學疑難問題

在數學領域，有很多問題到目前還沒有確定的研究結果，用不完全歸納法去驗證是常用的探索研究方法，但當數據規模較大時，人工計算將是一件不可能完成的任務，如哥德巴赫猜想、旅行商問題等。哥德巴赫猜想任一大于2的偶數都可寫成兩個質數之和，從數學角度思考，不完全歸納驗證很簡單，將給定的偶數a分解為兩個質數b,c之和，所有情況一一列舉出來，如果有一種分解得到的b,c均是質數，說明猜想對于具體的偶數是正確的。

隨著需驗證數據規模的增大，用手工方法去計算，計算量越來越大，轉用計算機工具解決就變得相對簡單。計算機運算速度快，善于處理規律性問題，在計算機可以處理的數據范圍內，首先把所有質數預處理出來，存儲在特定空間中，并用循環對每一偶數窮舉所有分解并驗證，微秒時間內可得到結果。不過用計算機解析出所有質數有多種算法，如試除法、埃氏篩、線性篩等，選擇不同算法對存儲空間和運算速度會有不同影響。同一問題用不同算法分析解決是培養學生計算思維的有效途徑（如圖5、圖6）。

圖5

圖6

通過對不同類型數學問題的討論，筆者發現，數學思維與計算思維之間既相互區別又緊密聯系。數學思維重在從現象背后找出一般規律，并力爭將結論用公式形式化表達出來。計算思維強調前期數據準備，中間數據計算與存儲，后期數據輸出；針對具體數值，形式化表達的數學結論，在不同的計算思維方式指導下可以產生不同的計算實現方法。數學思維與計算思維在問題解決的不同階段可以各自發揮不同的作用；數學思維下思考難以完成的任務可以借助計算思維探索解決之道；數學思維品質的提升，對問題內在規律的發現，可以同步提升計算思維品質。