基于角譜傳播理論的衰蕩腔光場傳輸模型及調腔評價準則研究*

何星 田中州 王帥 楊平? 許冰

1) (中國科學院自適應光學重點實驗室,成都 610209)

2) (中國科學院光電技術研究所,成都 610209)

3) (中國科學院大學,北京 100049)

在光腔衰蕩技術中,腔失調與腔損耗觀測值之間存在復雜的非線性映射關系,導致調腔過程易陷入局部尋優,對測量準確性造成影響.本文基于角譜傳播理論,建立了一種衰蕩腔高斯光場傳輸模型,對典型調腔評價準則進行對比,并以模型仿真與實驗研究相結合的方式,驗證模型合理性.在仿真模型和實驗系統中對特定腔鏡施加二維傾斜角度掃描,獲取兩種典型調腔評價準則(即光強峰值和衰蕩時間)的二維掃描分布.對比光強最大峰值和最長衰蕩時間所對應的腔損耗觀測狀態.仿真結果表明光強最大峰值對應的腔損耗觀測誤差更小,觀測重復性更高.實驗結果同樣表明光強最大峰值評價準則具有更好效果.模型仿真和實驗研究的結果驗證光強最大峰值評價準則在仿真和實驗中具有更好的調腔重復性精度.同時,仿真與實驗結果基本吻合,初步驗證了本衰蕩腔光場傳輸模型的合理性.本光場傳輸仿真模型對光腔衰蕩技術在測量應用、光場響應及自動化調腔技術等方面的研究具有一定參考意義.

1 引 言

光腔衰蕩技術(cavity ring-down,CRD)[1]是一種基于高精細度無源諧振腔的高靈敏度光學探測技術[2],目前已廣泛應用于分子光譜分析[3,4]、痕量氣體檢測[5,6]、光纖傳感[7]以及高反射率測量[8?11]等領域.光腔衰蕩測量的原理是建立待測對象與腔損耗之間的關系.其基本過程是搭建初始衰蕩腔,向腔內注入一束激光能量,根據激光能量的強度衰蕩規律獲取腔損耗,然后引入待測樣品構成測試衰蕩腔并再次獲取腔損耗,根據腔損耗變化量即可解算待測樣品信息.在此過程中,準確獲取衰蕩腔腔損耗是光腔衰蕩測量準確度的前提.但由于腔損耗真值無法預知[11],因此如何獲得盡可能準確的腔損耗觀測值就成為關鍵.

在光腔衰蕩技術中,腔損耗觀測結果取決于衰蕩腔對注入光束的光強衰蕩規律.該規律是衰蕩腔對注入光束光場的綜合反映,理論上與振幅、相位及光譜等方面均有關聯[12,13].在不同腔失調情況下,光場響應特性不同,光強衰蕩規律隨之變化,可能得到不同的腔損耗觀測量.研究結果表明,腔失調對腔損耗觀測結果的影響較為復雜.文獻[14]通過腔鏡單維度傾斜掃描揭示了腔鏡傾斜量與腔損耗觀測量之間的非線性關系.Hamzeh 等[15]通過光腔衰蕩技術調腔過程的研究表明了腔損耗觀測量與腔鏡二維傾斜量之間的非線性關系.非線性關系進一步造成多極值問題,導致調腔過程容易陷入局部尋優.若初始腔和測試腔的腔失調情況不一致(即產生相對失調),則會產生腔損耗觀測量的相對誤差.該相對誤差會被歸于待測樣品,這樣就造成測量結果準確性下降.

針對調腔問題,多年來發展了一系列調腔評價準則,如腔透射光強峰值[16?20]、腔透射光強包絡線[21,22]、透射光斑模式[23?26]和光腔衰蕩時間[15]等.透射光強峰值一般為衰蕩信號的峰值,反映注入光束在諧振腔內的能量耦合效率,至今仍在光腔衰蕩技術中廣泛使用.文獻[21,22]基于光學矩陣分析了光束傳輸變換規律和信號疊加方式,建立了腔失調對透射光強包絡線的影響模型,模擬了多種腔失調狀態下的包絡線波形變化,從而根據包絡線變化趨勢指導調腔.文獻[23?26]根據模式耦合理論,提出一種基于衰蕩腔透射光斑形態監測的調腔方法,通過腔參數失調導致的高階橫模激發現象,能更直接地感知腔失調狀態,最終確保腔內運行基橫模模式.文獻[15]直接根據光腔衰蕩時間進行調腔,以最長衰蕩時間(對應最小腔損耗)為標準,提出了詳細的調腔流程.

但以上調腔評價準則均存在量化困難,依賴主觀經驗等缺點.同時,以上調腔評價準則并不統一,透射光強峰值往往不對應最長光腔衰蕩時間(即最小腔損耗),最長光腔衰蕩時間的腔狀態下腔內可能并不運行基橫模模式.實驗研究發現,透射光強峰值和最長衰蕩時間對應的腔損耗觀測值相差可達數百ppm(1 ppm=10–6),這可能直接影響測量結果的準確性和可靠性.

為探究腔失調對光腔衰蕩技術測量的影響,明確合理的調腔評價準則,有必要開展衰蕩腔內光場傳輸規律研究,尤其需要考慮腔失調情形下的傳輸規律.目前主要理論模型基于模式耦合理論或多光束干涉疊加理論[18,27,28],尚未考慮調腔全過程傳輸特性及相關調腔評價準則等方面的問題.因此,本文基于角譜傳播理論,建立了一種衰蕩腔內高斯光束傳輸模型,研究分析高斯光束在衰蕩腔內的能量積累過程和注入截止后的衰蕩過程,同時鑒于以上4 種調腔評價準則在調腔靈敏度上的差異,本文著重對比分析了兩種精調腔判據,即腔透射光強峰值和光腔衰蕩時間.利用該模型獲取了腔鏡二維傾斜失調下的腔損耗觀測值和透射光強峰值的分布狀態.仿真結果表明,光強最大峰值對應的腔損耗誤差為(–2.70±0.89) ppm,而最長衰蕩時間對應的腔損耗誤差為(–37.01±11.79) ppm.光強最大峰值對應的腔損耗觀測誤差更小,觀測重復性更高.進一步基于折疊型衰蕩腔進行了實驗驗證.腔鏡二維傾斜掃描實驗統計結果表明,光強最大峰值和最長衰蕩時間對應的腔損耗重復性精度分別為±29.32 ppm 和±70.71 ppm,光強最大峰值判據同樣具有更好的調腔效果.本文以數理建模與實驗和仿真研究相結合的方式,對比了光腔衰蕩技術的典型調腔評價準則,一方面論證了光強最大峰值這一判據的合理性,同時也驗證了本文仿真模型的可靠性,對光腔衰蕩技術在測量應用、光場響應、光場傳輸過程及自動化調腔方法等方面的研究具有一定參考意義.

2 衰蕩腔模型

為研究腔損耗與腔失調關系,建立如圖1 所示的衰蕩腔模型.在模型中,入射激光為基橫模高斯光束,中心波長為λ,線寬為LW,光束束腰半徑為w;腔鏡M1和M2均為平凹腔鏡,曲率半徑分別為r1和r2,反射面反射率分別為R1和R2,腔長為L.腔鏡M1和M2在水平和豎直方向的傾斜失調角度分別記為θx1,θy1,θx2,θy2,位置偏移失調量分別記為δx1,δy1,δx2,δy2.

圖1 雙凹衰蕩腔模型示意圖Fig.1.Schematic of double-concave ring-down cavity model..

首先分析衰蕩腔光場注入過程.分析起點選定在腔鏡M1反射面位置,該處光場分布E0可表示為

式中,初始振幅A(λ)可按照洛倫茲分布給定,k=2π/λ表示波數,R為光束波前曲率半徑.

接下來分析E0在腔內往復傳輸過程和衰蕩過程.首先根據角譜傳播理論[29]計算初始光場傳輸到達腔鏡M2的光場分布E1,則:

式中,F 表示傅里葉變換,F–1表示傅里葉反變換,H表示角譜傳遞函數,fx,fy為頻域坐標.角譜傳遞函數定義如下:

其中d為傳輸距離,d=L.E1實際上為腔鏡M2處的入射光場,之后E1在腔鏡M2反射得到,反射過程包括鏡面調制和振幅衰減兩種效應.聯合描述為

其中,反射率R2開根號得到振幅反射系數,T2表示腔鏡M2的光學調制函數,可展開為

反射光束傳輸腔長L到達鏡面M1,在M1反射后表示為:

其中,T1表示腔鏡M1的光學調制函數,其定義如下:

在連續波注入階段,M1反射光場將與入射光場發生相干疊加.入射波面的振幅、曲率半徑等均與E0相同,僅相對于E0產生exp(–ik2L)的相位延遲.則此時光場E2可描述為

E2可認為是腔鏡M1處的反射光場.

根據(2)式—(8)式可迭代計算n次腔內往返傳輸過程中對應的腔鏡M2入射光場E2n–1及M1反射光場E2n:

光電探測器PD 接收到的第n次光場分布Enout為E2n– 1透過腔鏡M2的光場,理論上可近似描述為

考慮到探測器靶面因其有效接收范圍導致的響應截斷效應,探測器上采集的透射光強In為

式中,W,H分別為探測器靶面寬高,的共軛.

分析光束經過N次往返后因注入光束截止而發生的衰蕩過程.當入射激光切斷時,記此時為t=0 時刻,到達M2的光場為E2N–1,探測器接收到的光強記為IN.腔鏡M2反射光場傳輸到M1并反射后,由于注入能量截止,不再疊加新的光場能量,于是傳輸過程可描述為

其余傳輸過程不變.

通過探測器采集衰蕩過程中K個透射光強信號IN+1,IN+2,···,IN+K,構成光腔衰蕩信號,結合對應的時間序列t即可由單指數衰減函數模型:

擬合得到光腔衰蕩時間τ.光腔衰蕩時間的物理含義是透射光強從I0衰減到I0的1/e 所需的時間間隔.光腔衰蕩時間與腔損耗觀測量的關系可表示為

式中,δ為腔損耗觀測量,c為光速.

3 數值仿真及分析

為驗證上述理論推導,建立基于圖1 的腔內光場傳輸模型.基于該模型開展調腔評價準則的對比研究.其中透射光斑形態對腔失調相對不靈敏,適于粗調過程;而腔透射光強峰值和光腔衰蕩時間對腔失調反應較靈敏,可用于精調過程.因此,調腔仿真流程設計為: 在腔損耗真值已知,并確保腔內運行基橫模模式的前提下,開展某一腔鏡的二維傾斜角度掃描,建立透射光強峰值和光腔衰蕩時間的二維分布,進一步從二維分布中尋找腔損耗觀測偏差的特征點,完成兩種調腔評價準則的對比擇優.

模型中各技術參數如表1 所示.本模型中,注入光束為連續波基橫模高斯光束.在連續波注入階段,腔內將發生復雜的多光束干涉.在特定時刻將注入光束關斷后,腔內光場繼續往復傳輸并發生衰蕩.在此過程中,通過腔鏡M2后端獲得透射光強信號,利用適當的衰蕩時間提取算法[30,31]即可獲得腔損耗觀測值,并與腔損耗真實值進行比較,腔損耗理論真值δR為

表1 衰蕩腔模型仿真初始參數列表Table 1. The initial parameters of simulation model.

在仿真過程中,假定腔鏡未發生位置偏離,僅存在傾斜角度的失調.使腔鏡M1保持固定失調角度,令腔鏡M2在水平和豎直方向以0.001°的步長在±0.003°范圍內進行二維掃描,在該掃描范圍內能確保腔內基本保持基橫模光斑形態.得到腔損耗觀測值和透射光強的分布結果如圖2 所示.

從圖2 可以看出,腔損耗觀測值和腔透射光強峰值隨腔鏡二維傾斜角度掃描均表現為非線性多極值,且最長衰蕩時間(對應最小腔損耗觀測值)和透射光強最大峰值對應不同腔失調狀態.同時這二者對應的腔損耗觀測誤差也不同,前者誤差值為+28.02 ppm,后者誤差值為+1.94 ppm.這一結果表明最長衰蕩時間和透射光強最大峰值可能對應不同的腔狀態,并且在光腔衰蕩過程中,可能出現腔損耗觀測值低于真值的結果.這一結果的可能原因在于光腔衰蕩信號采集過程中受腔內多模運行和探測器靶面截斷效應綜合影響,信號在一定程度上偏離理想單指數衰減函數模型,導致光腔衰蕩時間提取誤差,進而導致腔損耗觀測偏差.

圖2 (a)腔損耗觀測值分布圖;(b)透射光強峰值分布圖Fig.2.(a) Distribution of the cavity loss observation;(b) distribution of the peak value of signal intensity.

進一步改變腔鏡M1失調角度后重復進行二維掃描,仿真結果如表2 所示.

表2 重復性掃描仿真結果Table 2. Simulation results of repetitive scanning.

相比于腔損耗真值1500 ppm,最長衰蕩時間對應的腔損耗觀測值的統計結果為(1462.99±11.79)ppm,而光強最大峰值下的腔損耗觀測值的統計結果為(1497.30±0.89) ppm.光強最大峰值對應的腔損耗觀測值誤差更小同時重復性更高.

進一步仿真分析了不同腔鏡反射率下腔失調與腔損耗觀測量之間的關系.在衰蕩腔模型中,設定3 組不同的腔鏡反射率并重復上述仿真過程,得到兩種調腔評價準則對應的腔損耗測量平均值及重復性精度如表3 所示.

表3 不同腔鏡反射率下的腔損耗仿真結果Table 3. Simulation results under different cavity mirror reflectivity.

由表3 可知,在不同腔鏡反射率條件下,光強最大峰值對應的腔損耗觀測結果始終優于最長衰蕩時間,初步表明本衰蕩腔模型中光強最大峰值這一調腔評價準則更具有合理性.

4 實驗系統及測量結果

4.1 實驗裝置

為驗證仿真結果,搭建了如圖3 所示的實驗系統.其中,連續半導體激光器(RGB photonics)作為激光光源,輸出中心波長為1064 nm 的基橫模光束,光譜線寬標稱值為0.5 nm.激光光源由100 Hz 方波調制,經分光鏡M6與532 nm 指示光同軸輸出并注入衰蕩腔內.在方波下降沿,激光光源快速關斷,腔內光場將產生衰蕩信號,根據衰蕩信號可提取腔損耗觀測結果.衰蕩腔采用四腔鏡折疊腔結構,腔鏡M1和M2為平凹腔鏡,曲率半徑均為1 m,M3,M4為平面腔鏡.衰蕩腔腔長約為0.50 m,腔損耗實驗觀測值在2000 ppm 左右,衰蕩腔參數與仿真模型基本吻合.腔鏡M1和M2安裝在二維可調鏡座(VM1,調節分辨率: 0.005°,Thorlabs)內.L1為聚焦透鏡,將M1透射光束會聚在光電探測器(APD130C/M,Thorlabs)上記錄光腔衰蕩信號,衰蕩信號由數據采集卡(M2i.3010,80 MHz ,Spectrum)采集傳輸到計算機上,經WLS-DS 算法[30,31]分析處理后得到衰蕩時間,并進一步計算腔損耗.本實驗系統中,腔損耗觀測值典型重復性精度約±16 ppm.

圖3 實驗裝置Fig.3.Experimental setup.

4.2 實驗結果及分析

實驗過程中,首先確保腔透射光斑形態保持基橫模形態,微調腔鏡M1傾斜角度后保持其角度調節量不動,以其可分辨的最小步長0.005°調節腔鏡M2在±0.020°范圍內做二維掃描(在該掃描范圍內,腔透射光斑形態能基本保持基橫模形態),分別記錄光腔損耗觀測值和光強峰值的二維分布.由于實驗系統相比于仿真模型可能具有更精細的波長信息,且存在諸多難以量化的擾動因素(如環境振動、電磁干擾等),因此實驗得到的二維掃描結果中腔損耗觀測值的波動范圍更大,同時透射光強峰值相對較平滑.為降低隨機影響,在每個掃描點位均采集100 個光腔衰蕩信號,將對應的光強峰值和光腔衰蕩時間統計均值作為該點位的記錄值.

實驗得到的二維掃描結果如圖4 所示.實驗同樣進行4 次掃描,每次均微調M1傾斜角度,統計結果如表4 所示.

表4 腔鏡M1 不同傾斜失調量下的實驗結果Table 4. Experimental results of cavity mirror M1 under different tilt maladjustment.

圖4 (a)腔損耗觀測值分布圖;(b)透射光強峰值分布圖Fig.4.(a) Distribution of the cavity loss observation;(b)distribution of the peak value of signal intensity.

實驗結果中,腔損耗觀測值和腔透射光強峰值同樣表現為非線性多極值.在腔損耗觀測結果方面,由于腔損耗真實值無法預知[11],因此本文不能給出觀測值偏差方面的對比.由表4 結果可知,最長衰蕩時間對應的腔損耗觀測值的統計結果為(1991.53±70.71) ppm,而光強最大峰值下的腔損耗觀測值的統計結果為(2263.12±29.32) ppm.由于實驗鏡架調節分辨率較低,掃描結果得到的重復性精度相比系統典型值偏高.但光強最大峰值得到的腔損耗觀測值仍明顯優于最長衰蕩時間的結果,這一結論與前文仿真一致.

模型仿真和實驗研究綜合驗證了兩方面問題:1)光強峰值和光腔衰蕩時間兩種評價準則均具有非線性多極值特點;2)光強最大峰值評價準則在仿真和實驗中具有更好的調腔重復性精度.上述仿真與實驗結果基本吻合,初步驗證了本衰蕩腔光場傳輸模型的合理性.

5 結 論

為分析衰蕩腔內高斯光束傳輸過程,本文基于角譜傳播理論建立了一種衰蕩腔內高斯光束傳輸模型,可獲取衰蕩腔腔損耗觀測值(光腔衰蕩時間)和透射光強峰值隨腔失調的分布規律.通過模型仿真與實驗研究相結合的方式,本文對比了光腔衰蕩技術中的兩種調腔評價準則: 光強峰值與光腔衰蕩時間.結果表明這兩種調腔評價準則隨腔失調均表現出多極值特性,可能陷入局部尋優;通過腔失調量掃描尋找光強最大峰值,可得到相對誤差更小、觀測重復性更高的調腔效果.同時,實驗結果和仿真結果基本吻合,一定程度上驗證了本文所建立衰蕩腔光場傳輸模型的合理性.接下來可綜合研究腔鏡位移失調及腔長失調因素等對腔損耗測量的影響,進一步優化本文所提出的衰蕩腔模型,為光腔衰蕩技術在光場響應、光場傳輸過程等方面的研究提供一個合理且適用性廣的參考系統模型,也可為自動化調腔方法的研究提供一定的技術支撐.