非均勻混合下氘氚聚變反應速率的理論研究*

沈剛 衷斌 吳勇 王建國

1) (北京應用物理與計算數學研究所,北京 100094)

2) (中國工程物理研究院研究生院,北京 100088)

激光驅動慣性約束聚變中殼層材料和聚變燃料的混合是影響聚變點火燃燒性能的關鍵物理問題,聚變過程中混合物形態的演化及相應熱核反應速率的物理建模直接影響數值模擬的置信度,具有重要的科學意義和應用價值.本文以擴散混合機制下混合形態隨時間的演化規律及其對熱核反應速率的影響為研究對象,基于熱力學平衡與理想氣體物態方程假設,通過解析分析與一維球幾何擴散方程數值解的對比研究,揭示了擴散混合主導下熱核反應速率隨混合形態演化的物理規律.研究發現,混合量主要通過影響燃料的體積份額直接影響熱核反應速率,由混合非均勻尺度和擴散系數共同決定的擴散時間直接影響熱核反應速率的時間演化行為.進一步利用蒙特卡羅方法直接模擬擴散過程得到的互擴散系數,定量分析了燃料中混入低Z、高Z材料時熱核反應速率隨時間演化的差異,通過與美國非均勻混合效應實驗典型數值模擬結果進行對比分析,驗證了理論評估的可靠性.本工作對我國慣性約束聚變混合效應實驗的設計和改進具有重要參考意義.

1 引 言

激光驅動慣性約束聚變(ICF)的靶丸在內爆過程中,由于殼層燃料界面的流體不穩定性的發展[1?3],沖擊波在輕重物質界面產生的微噴、層裂[4]以及各種工程因素,如靶丸上的用于充注聚變燃料的充氣管[5]、靶丸的支撐結構[6]等,導致殼層材料混入聚變燃料中,從而降低了中心氘氚熱斑(Hot-spot)的溫度和密度,直接影響慣性約束聚變點火燃燒性能.

實際靶丸內爆過程中多組分混合物中的混合量、混合分布呈現復雜的演化過程,燃料和殼層材料混合演化的精細描述原則上需要在三維流體力學框架下進行多相流模擬,這大大增加了數值模擬的復雜性和計算規模,工程上通常把混合物簡化為單一介質處理,采用單介質流體力學框架模擬靶丸內爆過程.若各種物理過程充分發展,混合物的空間分布在計算的空間網格尺度上達到均勻分布,則混合物相關物理建模如物態方程、輻射參數等大為簡化,有一套較成熟的理論模型.而靶丸實際內爆過程中混合通常沒有足夠的時間充分發展,聚變燃燒階段燃料在亞網格尺度上分布的非均勻性將增加新的自由度,產生的影響需要在相應的物理模型和參數中予以體現.本文關注的問題是單流體框架下亞網格尺度非均勻混合對熱核反應速率的影響,其直接影響ICF 內爆靶丸的聚變性能,特別是在有一定自持燃燒的點火裝置上混合形態的演化與力學過程耦合在一起,更增加了問題的復雜性.亟需發展相應物理模型描述混合非均勻程度對熱核反應速率的影響.

亞網格尺度下殼層物質和聚變燃料混合的非均勻程度由混合形態描述,通常包括均勻原子混合形態和非均勻混合形態,以離子碰撞平均自由程和混合非均勻尺度比值的大小來區分.當非均勻尺度和碰撞自由程可比或更小時,混入物質不影響聚變燃料的空間分布,則稱為均勻原子混合形態;當非均勻尺度遠大于碰撞自由程,即混入氘氚燃料物質宏觀上出現的非均勻聚集狀態,稱為非均勻混合形態,有時也稱為“顆粒”混合.需要說明的是,在聚變燃燒的溫度密度條件下,物質處于等離子體狀態,不存在固態的顆粒狀態,本文僅把混入物質的非均勻聚集狀態形象地稱為“顆粒”混合.顯然,非均勻混合下混入的殼層物質對聚變燃料的空間分布產生影響,其極端形態為混入物與燃料完全分離的理想“顆粒”混合形態,即混入物質與燃料互不相溶,各自占有部分體積.

則R非均勻=R均勻·η.

下面討論η與非均勻混合程度即混合形態的關系.氘氚和殼層物質處于非均勻混合形態時,在等溫等壓條件下有

其中x為氘氚離子的數密度份額,為x空間分布的方差,其大小直接影響熱核反應速率.當聚變燃料和混入的殼層物質處于分離狀態時,各自占有部分體積,即理想“顆粒”混合形態,聚變燃料體積份額在理想氣體物態方程下為vDT=由此=,為方差的最大取值,則修正因子取極大值ηmax=1/.可以理解為混入的物質起了“占體”的作用,混入物質越多,占的體積越大,聚變燃料份額的平均值越小,對熱核反應速率的影響就越大;與此相反,當兩種物質完全均勻混合時,顯然=0 ,ηmin=1 ;介于兩者之間的非均勻混合形態下的熱核反應修正因子η的取值范圍為1/vDT～1.可見,混合形態對熱核反應速率的影響實質是亞網格尺度下聚變燃料數密度的非均勻性,非均勻性越大即方差越大,則對熱核反應速率的影響越大.

長期以來,混合相關研究工作主要集中在混合來源及其影響效應方面,單流體框架、亞網格尺度下混合形態的演化及對熱核反應速率的影響近些年才逐漸引起人們的關注.實驗方面,Murphy 等[7,8]和 Haines 等[9,10]自 2016 年 起,在 NIF[11](national inition facility)和OMEGA[12]等激光裝置上開展了一系列非均勻混合效應實驗(MARBLE Campaign),內爆靶丸初始填充氘代泡沫(CD)材料,留有不同尺度的氣孔,內部充入含氚氣體,相當于已知混合量及非均勻混合形態,通過氘氚中子產額與氘氘中子產額的比值校驗相關混合模型和程序.我國蒲昱東等[13]在“十三五”期間基于神光裝置[14]開展了氘代泡沫球摻金的實驗,研究了高Z元素的非均勻混合對聚變性能的綜合影響,初步建立了以慣性壓縮為主的非均勻混合效應的實驗研究能力.

理論研究方面,聚變燃料分布的方差及隨時間的演化主要由力學混合、擴散混合兩類物理過程決定.力學混合主要指力學不穩定性發展到后期的湍流階段產生的亞網格尺度上的非均勻混合.混合形態的演化及相應熱核反應速率建模可基于單流體的湍流模型描述[15].由混合物中組分濃度的空間梯度引起的擴散過程是混合形態由非均勻混合發展到均勻混合的另一種物理機制,在靶丸聚變燃燒階段由于擴散系數的大幅增大而主導混合形態的演化[4].

本文的主要研究內容是擴散過程主導的混合形態演化及相應熱核反應速率建模的理論研究,據我們所知,該類研究未見公開報道.本文包括以下4 個方面: 1)基于混入的殼層物質和燃料相互擴散的物理圖像,通過解析分析及數值求解一維球幾何擴散方程,獲得了擴散混合主導下非均勻混合形態及熱核反應速率隨時間演化的物理模型;2)研制了基于Monte Carlo (以下簡稱為蒙卡)方法直接模擬擴散過程計算互擴散系數的方法,較高置信度地給出了碳-氘、金-氘混合物典型聚變狀態下的互擴散系數;3)基于以上兩項工作系統分析了影響熱核反應速率隨時間演化的關鍵物理因素,包括混合量的大小、混合的非均勻尺度及殼層材料高低Z的差別等;4)針對美國MARBLE Campaign 系列非均勻混合效應實驗開展了理論研究,與相應典型三維數值模擬結果進行了對比分析,驗證了理論評估的可靠性.

2 理論和數值模擬方法

2.1 解析理論

考慮到聚變燃料數密度份額的方差由聚變燃料的分布信息決定,可采用概率密度函數(PDF)描述不同程度非均勻混合的聚變燃料分布,類似的思想最早在化學反應流的相關文章[16,17]中提出.

如圖1 所示,在理想“顆粒”混合下,混合物中的燃料濃度只有0 和1 兩個分離的取值,在均勻原子混合下,混合物的燃料濃度為單一的取值,介于二者之間的分布函數則是不同燃料濃度的混合物占有不同的份額,由相應的分布函數描述.由此定義兩個物理量,分別為描述不同燃料濃度物質的質量分布函數m(c) (定義為燃料濃度在c—c+dc之間的混合物的質量份額)和體積分布函數v(c) (與質量分布函數定義類似),由此經過推導可得到熱核反應速率修正因子公式為

p(c)為混合物中輕、重材料性質及平均燃料濃度的已知函數,其中下標L,S 分別代表燃料和殼層物質,Z為離化度,μ為摩爾質量,則v(c)=m(c)·p(c),由此可得:

考慮到β函數在不同參數取值下呈現出雙峰或單峰結構,能夠較好描述混合形態演化過程中m(c) 的變化[18],選取m(c) 分布為β函數形式,如圖2 所示.依據(5)式計算的熱核反應速率修正因子η隨相應參數的增大逐漸下降到1,與混合形態由非均勻混合過渡到均勻混合η的下降規律一致,從而驗證了(5)式的正確性.由此獲得了熱核反應速率與亞網格尺度下不同濃度燃料質量分布的函數關系.

圖2 不同參數β 函數分布的m(c)及相應的熱核反應速率修正因子 (a) 不同參數下的β 函數分布;(b)相應修正因子ηFig.2.m(c) taken as the distribution of β function with different parameters and corresponding correction factor of thermonuclear reaction rate: (a) β function distribution with different parameter;(b) corresponding η.

實際的混合形態存在不同尺度、不同形狀的“顆粒”,簡化起見,本文選取典型“顆粒”尺度并按照球幾何處理,每個顆粒外面包圍一層氘氚燃料,用“顆粒”+氘氚小球之間的互擴散過程表征整個熱斑區混合形態的演化過程,如圖3 所示.為獲得擴散過程中質量份額分布m(c) 的解析公式,對擴散物理圖像進行了簡化處理,假設氘氚燃料擴散進顆粒中心的時間和殼層物質到達氘氚燃料外半徑的時間大致相同[4],則(相應符號物理量含義見圖3),進一步假設混合區內的氘氚濃度均勻分布,則可依據(5)式推導出熱核反應速率修正因子與擴散深度比例h/rS的函數關系為

其中vS為初始分離狀態殼層物質的體積份額.

為了更精確地描述擴散過程,應用追趕法、隱式格式離散方法數值求解了有限空間下的一維球幾何擴散方程,根據求得的氘氚燃料離子濃度的空間分布隨時間的發展給出熱核反應速率修正因子隨時間的演化過程,并與解析結果進行了比較,如圖4 所示.考慮到解析公式(6)中,當擴散深度h=rS時代表擴散過程結束,達到完全均勻混合,而實際擴散過程中濃度完全均勻需要很長時間,取τdiffusion=rS2/(6.76D)表征擴散基本完成時間(其中D為擴散系數),由此解析公式中的h取為h=從圖4的比較來看,

圖4 熱核反應速率修正因子數值解與解析解的比較Fig.4.Comparison of numerical and analytical solutions for the correction factor of thermonuclear reaction rate.

解析公式給出的修正因子在擴散早期較數值解下降慢、后期略小于數值解,這與解析模型的物理假設相關,符合物理定性規律.兩條曲線較為接近說明解析模型盡管有所簡化,依然具有較高的精度.

2.2 蒙卡數值模擬

從2.1 節可以看出,殼層物質與氘氚燃料的互擴散系數是影響擴散過程演化行為的基礎參數,而不同動理學理論的互擴散系數約有倍數的差異[19?21].為更好認識和理解相關理論,應用蒙卡方法研制了計算互擴散系數的方法和程序.具體流程為,基于蒙卡方法直接模擬各組分在混合物中的自擴散過程,確定各組分的自擴散系數,根據“Darken Approximation”[22]的組合規則,計算不同燃料濃度下顆粒加氘氚燃料系統的互擴散系數.

為簡化起見,蒙卡模擬時僅考慮離子之間的庫侖散射,忽略與電子的相互作用.總體計算流程為,按照溫度T下的麥克斯韋(Maxwell)速度分布抽取離子的能量、運動方向,以樣本離子的空間分布為權重抽取離子所在位置,由此確定樣本離子的初始狀態,然后模擬其經歷的各種事件,包括自由飛行、穿過幾何面及庫侖散射等.跟蹤樣本離子在背景離子中擴散過程的具體流程如圖5 所示.

圖5 跟蹤樣本離子擴散過程的示意圖Fig.5.Schematic diagram of tracking ion diffusion process.

蒙卡模擬擴散過程的關鍵是確定等效庫侖截面.從兩體庫侖碰撞的微觀散射截面出發,考慮到多次小角度散射的累計效應可等效為一次大角度散射,唯象選取庫侖碰撞的特征長度對應的圓面積乘以庫侖對數作為微觀截面的理論形式,相關系數依據氣體運動論理論中自擴散系數和微觀截面的關系[23],以及等離子體聚變燃燒條件下自擴散系數的動理學理論公式[24]綜合確定.得到的入射離子α與背景離子β的等效庫侖截面為

利用擴散過程的定標關系D∝h2/t,根據蒙卡模擬的不同時刻的擴散深度可以提取出自擴散系數.自擴散過程中蒙卡模擬結果與一維球幾何擴散方程數值解的比較結果如圖6 所示,其中擴散方程數值解的擴散系數采用蒙卡模擬結果的提取值.可以看出,在相同的擴散系數下,蒙卡模擬的擴散過程與數值解很好地一致,說明蒙卡直接模擬擴散過程能夠精確反映擴散方程的解,也表明任意時刻擴散深度提取的擴散系數具有很好的一致性.

圖6 蒙卡模擬的離子數密度分布隨時間演化行為與擴散方程數值解的比較 (數值解的擴散系數為2243 c m2/s,到心時間為0.9 ns)Fig.6.Comparison between time evolution of ion number density distribution simulated by MC and numerical solution of diffusion equation.(diffusion coefficient of numerical solution is 2243 c m2/s,time of diffusion to center is 0.9 ns).

為綜合檢驗蒙卡方法計算自擴散系數的準確性,對不同溫度、密度下的結果與動理學理論進行了比較,如圖7 所示,其中黑線是解析公式的結果,紅色的五角星是蒙卡模擬的結果.可以看到,蒙卡模擬給出的隨溫度、密度變化的自擴散系數結果與相應動理學理論很好地一致,表明通過蒙卡直接模擬擴散過程計算自擴散系數的方法是可靠的.

圖7 蒙卡模擬給出的氘自擴散系數與動理學理論的比較 (a) 隨數密度的變化;(b) 隨溫度的變化Fig.7.Comparison between self diffusion coefficient of deuterium given by MC simulation and kinectic theory: (a) With number density;(b) with temperature.

依據“Darken Approximation”可由自擴散系數組合給出互擴散系數,對于α與β兩種組分的混合物,其組合形式為

其中,Dαβ為互擴散系數;xα,xβ為兩種組分的數密度的份額;Dα,Dβ分別為組分α,β在混合物中的自擴散系數.“Darken Approximation”忽略了不同種類離子間的相互關聯,對大部分問題在百分之幾的精度上是準確的,而各組分的自擴散系數由蒙卡程序模擬標識離子在均勻混合背景離子下的擴散過程獲得.

3 結果及討論

3.1 互擴散系數模擬結果

圖8 分別模擬給出了不同燃料濃度下氘與碳、氘與金的互擴散系數,并與Ticknor 等[19]、Molvig等[20]及Stanton 和Murillo[21]的動理學理論進行了比較.蒙卡模擬氘與碳互擴散系數的熱力學狀態為密度4.2 g/cm3,溫度3 keV,模擬的互擴散系數隨燃料濃度增加從167 c m2/s 單調下降到56 cm2/s,約倍數變化,下降的原因主要是互擴散過程由含量少的組分主導,聚變燃料濃度低時由氘主導,則擴散系數相應增大,燃料濃度高時由碳主導,擴散系數相應減小.從擴散系數隨燃料濃度變化的趨勢上看,Stanton 和Murillo[21]的理論與蒙卡結果較為接近,即隨著燃料濃度的增加,互擴散系數的下降逐漸趨緩,定量上看Stanton 和Murillo[21]的結果較蒙卡模擬的偏低約40%—50%;Molvig 等[20]的理論互擴散系數與燃料濃度關系較弱,在燃料濃度取中間值時(0.3—0.7),與蒙卡的結果偏差較小.Ticknor 等[19]的結果與蒙卡模擬結果相比在低燃料濃度時偏高約50%,但互擴散系數隨燃料濃度的增加下降較快,當燃料濃度為0.7 時兩者結果基本一致,燃料濃度再增加時Ticknor 等[19]的結果反而小于蒙卡模擬的結果.

圖8 蒙卡模擬給出的互擴散系數與動理學公式的比較 (a) 氘與碳;(b) 氘與金Fig.8.Comparison of the mutual diffusion coefficient between MC simulation and kinetic theories: (a) Carbon and deuterium;(b) gold and deuterium.

蒙卡模擬氘與金的互擴散系數的狀態為密度4.9 g/cm3,考慮到金在不同溫度下離化度的差別,溫度分別取3 keV 和1 keV 兩個典型值,相應離化度分別約為70 和50.可以看到,互擴散系數在不同燃料濃度下的差別在1 個量級以內,溫度3 keV 時的互擴散系數在4—0.4 c m2/s 內變化,溫度1 keV 時的互擴散系數在0.7—0.07 c m2/s 內變化.Molvig 等[20]的理論基本沒有反映燃料濃度的影響,整體較蒙卡模擬結果偏大,特別是在燃料濃度高的區域.Ticknor 等[19]的結果依然高于蒙卡模擬的結果,且不同溫度下的差別基本相同,高約40%—50%,這和在碳-氘上的差別基本一致.Ticknor 等[19]的結果和蒙卡模擬結果的差別較碳-氘情況下的偏小,在高溫下偏低約10%—30%,低溫時,燃料濃度小于0.7 時與蒙卡結果接近,最大偏低約15%,燃料濃度再增大時開始大于蒙卡模擬的結果,最大偏高20%.總的來看,蒙卡模擬給出的互擴散系數與相關動理學理論在50%以內相符,具有較高的置信度.

3.2 非均勻混合下影響熱核反應速率的物理因素及影響規律

在單介質輻射流體力學的框架下,影響非均勻混合熱核反應速率的物理量包括: 1)燃料的平均濃度c,表征混合量的多少;2)聚變開始時的典型非均勻尺度,即顆粒尺度的平均值,表征非均勻混合程度;3)不同非均勻尺度的概率分布,如指數分布、對數高斯分布、平分布等;4)混入殼層物質的材料性質等.下面對非均勻混合下影響熱核反應速率的物理因素及影響規律進行討論.

3.2.1 燃料平均濃度的影響

在混合物密度一定的條件下,燃料平均濃度代表了混入物質的多少,即混合量的大小.燃料濃度越大,混入物質相對越少.以碳氘混合為例,模擬燃料平均濃度分別為0.3,0.5,0.7,0.9 時熱核反應速率修正因子演化行為如圖9 所示.可以看出,聚變燃料濃度的影響體現在兩個方面,主要的一方面是決定了初始完全分離狀態下聚變燃料的體積份額,從而決定了熱核反應速率的修正因子η的初始值,隨著燃料濃度增加,燃料的體積份額相應增大,混合物質的占體效應下降,η相應減小;另一方面,不同燃料濃度下擴散系數的差別影響了η隨時間的演化行為,燃料濃度越大,擴散系數越小,擴散越慢,熱核反應速率修正因子下降到1 的時間相應越長.

圖9 擴散混合下熱核反應速率修正因子時間演化與平均燃料濃度的關系Fig.9.Time evolution of thermonuclear reaction rate correction factor with different average fuel concentration under diffusion mixing.

3.2.2 非均勻混合程度的影響

混合的非均勻程度可以用聚變開始時顆粒尺度rS來表征.rS主要影響擴散的快慢.根據擴散理論定標關系,擴散完成時間與rS2成正比.從圖10的模擬結果可以看到顆粒尺度對修正因子的影響,初始兩種組分完全分離狀態時,由于燃料的體積份額是固定的,修正系數η與顆粒的尺度無關;對η演化行為的影響,則是顆粒越大,擴散越慢,η下降越慢.

圖10 熱核反應速率修正因子時間演化與顆粒尺度的關系(取燃料平均濃度0.5,擴散系數100 c m2/s)Fig.10.Time evolution of thermonuclear reaction rate correction factor with different chunk size under diffusion mixing.

3.2.3 顆粒尺度不同概率分布的影響

實際狀態下,顆粒尺度rS總是有一定的概率分布,不是單一取值,固定rS的平均值,用解析公式(6)分析了rS不同概率分布下的熱核反應修正因子.此時η的計算公式為

其中f(x) 為rS的概率密度分布函數,選取了指數分布、對數高斯分布、平分布等三類典型分布,和單一尺度的δ分布結果進行了比較,如圖11 所示.

f(x)為指數分布的具體形式為

f(x)為對數高斯分布的具體形式為

f(x)為平分布的具體形式為

f(x)為δ分布,即對應單一顆粒度的具體形式為

從圖11(a)可以看出rS的4 種概率密度分布存在較大差異,圖11(b)可以看出,熱核反應速率修正因子η隨時間的演化與rS的概率分布有一定關系.指數分布和對數正態分布的差別不大,和平分布及單一尺度有較明顯的差別.初始時刻從相同的η值出發,隨著擴散過程的發展,由于尺度較小的顆粒擴散過程較快,顆粒有小尺度概率分布的狀態,η下降就較單一尺度顆粒下降得更快,且指數分布和對數正態分布由于小尺度的顆粒占比更高,η的下降也比平分布下降得更快.擴散后期,大尺度的顆粒擴散得慢,使η值在較長時間內都大于1,從4 個概率分布的比較可以看出,大顆粒尺度占比越高,η下降得越慢,符合物理定性規律.整體來看,顆粒尺度不同概率分布對熱核反應速率的影響相對較小,敏感性小于平均顆粒尺度及燃料平均濃度的影響.

圖11 顆粒尺度概率密度分布及不同分布下熱核反應速率修正因子時間演化的差異Fig.11.Time evolution of thermonuclear reaction rate correction factor with different chunk size distribution under diffusion mixing.

3.2.4 燃料中混入低Z、高Z物質的差別

本小節以混入低Z的碳和高Z的金為例說明燃料中混入低Z、高Z物質的差別,模擬的結果如圖12所示.可以看出,燃料濃度相同的條件下,初始完全分離時低Z的碳較高Z的金占據更大的體積份額,導致燃料體積減小,熱核反應速率修正因子相應增大;擴散發展過程中,由于低Z的碳較高Z的金擴散系數小約兩個量級,導致擴散時間偏快約兩個量級,η值下降到接近1 的時間偏早約兩個量級.

圖12 金顆粒+氘、碳顆粒+氘的熱核反應速率修正因子時間演化的比較Fig.12.Comparison of rate correction factors for gold +deuterium system and carbon+deuterium system.

下面對均勻混合、理想“顆粒”混合的熱核反應速率公式適用條件進行討論.以ICF 內爆實驗熱斑的典型狀態來說,聚變特征時間約100 ps 量級,典型聚變溫度(約3 keV)、密度狀態下氘氚和碳的互擴散系數約在100 cm2/s 量級.聚變開始時非均勻尺度在0.1 μm 量級及以下的顆粒,在聚變時間的1%以內即完成了擴散過程,可當作完全均勻原子混合處理;非均勻尺度在10 μm 量級及以上的顆粒,在聚變時間內擴散過程僅完成了1%,在聚變過程中基本可當作理想“顆粒”混合處理;處于中間尺度的狀態則需要應用我們的模型評估非均勻混合狀態及其演化對熱核反應速率的影響.對于混入重材料的情形(例如金),相同顆粒尺度下,擴散特征時間約慢兩個量級,由此完全均勻原子混合和理想“顆粒”混合的物理判據分別為非均勻尺度小于0.01 μm 量級和大于1 μm 量級.

3.3 與典型實驗數值模擬結果的對比分析

美國MARBLE Campaign 系列非均勻混合效應實驗中,內爆靶丸填充氘代泡沫材料(CD),留有30,50,90 μm 等不同尺度的氣孔,內部充入氚氣(HT),相當于已知混合量及不同尺度的非均衡混合形態,通過氘氚中子產額和氘氘中子產額的比值綜合校驗混合形態對熱核反應速率影響的建模和程序[9,10].

對于氘氘聚變,由于實驗上CD 的質量份額很大,約95%,由HT 的占體效應導致氘氘聚變性能的增量很小,可以按照均勻混合處理,即在熱力學狀態固定條件下氘氘中子產額可表示為

其中τfusion為聚變時間.

對于氘氚聚變,由于氘氚處于不同組分中,混合形態對聚變速率影響很大,修正因子從完全分離狀態的取值0 到均勻混合下的最大值1.氘氚中子產額可表示為

考慮到氘氚比的平均值是固定的,則CD/HT在溫度平衡條件下氘氚中子與氘氘中子的比值為

在聚變過程中,氘、氚混合的非均勻程度發展主要由內部HT+外部包裹CD 層的小球系統在HT/CD 界面處的互擴散過程主導.圖13(a)是依據本文的理論給出的初始不同尺度的氣孔(對應聚變開始時的不同rHT)在相應的溫度、密度條件下,由擴散過程主導的混合形態對聚變性能的影響量隨聚變時間的變化,其中溫度、密度狀態取自文獻[10]中的計算結果,擴散系數依據相應的狀態由蒙卡方法計算得到.可以看到,對于初始30 μm 氣孔的靶丸,相應的聚變時間下,非均勻混合導致的聚變性能下降量約7%,基本可以看作均勻混合,初始50 和90 μm 氣孔的靶丸,非均勻混合導致聚變性能的下降量分別為25%和50%.圖13(b)定量比較了本文的理論評估結果和Haines 等[10]給出的HT/CD 之間溫度平衡下的三維數值模擬結果由文獻中的數據及(16)式計算給出).可以看到,本文的理論和Haines 等[10]數值模擬給出的初始氣孔尺寸的差異對聚變性能的影響趨勢基本是一致的,即隨著氣孔尺度的增大,非均勻混合對聚變性能的影響逐漸增大,定量上,我們評估的氣孔尺度的影響量較Haines 等的計算結果略大.可能的原因是,熱斑中的氣孔在內爆過程中偏離球形幾何,導致HT/CD的表面積相對球幾何增大,從而加快了擴散混合過程,特別是對于較大尺寸的氣孔,修正因子處于變化較劇烈的區間,這一效應可能更加明顯,從而導致非均勻混合的影響較球幾何的評估結果下降.對于和實驗結果的比較,由于實驗中發現HT/CD 之間存在溫度非平衡效應[10],增加了新的影響聚變性能的物理因素,目前的理論工作還未涉及因而無法直接比較,后續將進一步開展相關研究.總體來看,Haines 等[10]給出的MARBLE Campaign 系列實驗典型三維數值模擬結果基本驗證了我們關于非均勻混合對聚變性能影響的物理認識.

圖13 初始不同氣孔尺度靶丸聚變性能隨聚變時間的變化及與Haines 等[10]三維計算結果的比較Fig.13.Fusion performance of different initial pore size with the fusion time and comparison with three dimensional result simulated by Haines et al.[10].

4 結 論

近年來混合形態對聚變性能的影響逐漸成為ICF 研究的熱點領域.本文基于混入的殼層物質和燃料相互擴散的物理圖像,通過解析分析及數值求解一維球幾何擴散方程,給出了擴散混合主導下非均勻混合形態及熱核反應速率隨時間演化的物理模型.研制了基于蒙卡方法直接模擬擴散過程計算互擴散系數的方法,獲得的碳-氘、金-氘體系典型狀態下的互擴散系數與相關動理學理論的偏差在50%以內,擴散系數與聚變燃料濃度的依賴關系更接近Stanton 的理論[21].系統分析了影響熱核反應速率隨時間演化的關鍵物理因素,研究發現混合量主要通過影響燃料的體積份額直接影響熱核反應速率,由非均勻尺度和擴散系數共同決定的擴散時間直接影響熱核反應速率的演化行為,而非均勻性尺度的不同概率分布對熱核反應速率的影響相對較小.通過聚變時間和擴散時間的相對比較獲得了均勻原子混合和理想“顆粒”混合的物理判據,對于典型ICF 熱斑狀態,混入低Z、高Z元素時,聚變開始時的非均勻混合尺度分別在0.1 和0.01μm 量級及以下的非均勻混合對于聚變反應速率來說可以當作均勻原子混合處理,聚變開始時的非均勻混合尺度分別在10 和1 μm 量級及以上的非均勻混合對于聚變反應速率來說可以當作理想“顆粒”混合處理,處于中間的狀態需要應用本文的理論定量評估非均勻混合對聚變性能的影響.在此基礎上對美國MARBLE Campaign 系列非均勻混合效應實驗開展了理論評估,將混合形態對聚變性能的相對影響量與典型三維模擬結果進行了對比分析,驗證了本文關于非均勻混合對聚變性能影響理論評估方法的可靠性,對于我國將要開展的慣性約束聚變混合效應實驗的設計改進具有重要參考意義.下一步將探索考慮電子間、電子與離子間相互作用的蒙卡模擬方法,從而可以直接模擬兩物質的互擴散過程,直接統計熱核反應速率的演化過程,對于混合物之間溫度非平衡的情況也具備了定量評估能力,結合非球形幾何下擴散過程對熱核反應速率影響的評估,可以更深入地認識MARBLE Campaign系列實驗結果.