磁懸浮系統中多芯復合Nb3Sn 超導線磁通跳躍的可調性研究*

董石泉 何安? 劉偉 薛存

1) (長安大學理學院工程力學系,西安 710064)

2) (西部超導材料科技有限公司,西安 710014)

3) (西北工業大學力學與土木建筑學院工程力學系,西安 710072)

超導磁懸浮列車在加速啟動的過程中,載有恒定大電流的超導線圈處在變化的磁場中,這會導致超導線圈發生磁通跳躍,從而降低線圈的載流能力.并且磁通跳躍會產生大量熱量而使超導線圈溫度急劇升高,嚴重時會導致超導線圈失超,所以對磁通跳躍的研究具有非常重要的科學意義.Nb3Sn 超導線是由多根微米級的超導芯絲、銅和環氧樹脂形成的復合結構.本文通過約束每根芯絲的靜電流為零的二維模型來分析三維絞扭效應,研究了超導線在交變磁場和恒定電流下的磁熱不穩定性行為.通過分析交變磁場的幅值和頻率對Nb3Sn 超導線磁通跳躍的影響,發現當磁場幅值不變時,初次發生磁通跳躍的磁場閾值Bth 隨頻率非單調變化.而當頻率一定時,初次發生磁通跳躍的磁場閾值Bth 隨交變磁場幅值單調變化.此外,隨著幅值的減小,發生磁通跳躍的頻率區間先變大后變小,直到某個臨界頻率后超導線不再發生磁通跳躍.本文的研究結果能夠為調控超導線的磁熱不穩定性行為提供理論依據.

1 引 言

隨著全球科技的進步和經濟實力的發展,人們對長距離快速出行的需求日益增長,傳統的輪軌高速列車主要憑借輪軌間的黏著牽引力驅使列車前進,因此會受到速度瓶頸、行駛噪音、運行振動、爬坡能力的影響[1,2],常導磁懸浮系統又具有控制復雜、懸浮力小等缺點,因此,超導磁懸浮列車系統作為一種性能更優的列車運行系統被全世界多個國家采用[3–9].其中超導磁懸浮系統的設計主要借助超導體的完全抗磁性,在運行過程中,放置在軌道上的線圈與車身之間的超導線圈產生強大的排斥力以實現懸浮.磁懸浮列車的推進主要使用直線同步電機系統來驅動[10–12].在磁懸浮系統中,使用超導材料制成的線圈具有高電流密度、低損耗傳輸的優點,因此可以產生更大的磁場,從而產生更大的懸浮力和牽引力,以達到更高的能量利用效率和更高的列車運行速度.在列車啟動加速階段,大電流和高磁通密度梯度的存在,會導致列車上的超導線圈發生磁通跳躍,磁通跳躍會引起磁通大量涌入超導體從而使超導線圈的載流能力迅速下降.另外,磁通運動會導致能量以焦耳熱的形式釋放出來,使超導線圈整體溫度急速升高,嚴重時會導致超導線圈失超從而造成安全事故.

自20 世紀60 年代發現磁通跳躍這一現象以來,人們對磁通跳躍進行了廣泛深入的研究.超導體發生磁通跳躍將會導致兩方面的結果: 一方面由于磁通的大量涌入使得磁通梯度急劇下降,從而使得超導體的載流能力迅速下降,甚至發生電流猝息;另一方面這種磁通運動會產生不可忽視的能量損耗,而這些能量又以焦耳熱的形式釋放,會引起超導體的溫度快速升高,影響超導體正常運行,甚至會導致失超[13].一般磁通跳躍被分為兩類: 第一類是所謂的完全磁通跳躍,表現為發生磁通跳躍后超導體溫度超過臨界溫度;另一類為不完全磁通跳躍,發生磁通跳躍后超導體溫度小于臨界溫度,超導體仍處于混合態[14].Kim 等[15]把超導體加工成圓筒形狀,在圓筒外側施加平行于圓筒軸線的外磁場,在圓筒的軸線位置布設探針探測磁場的變化,觀測到了磁通跳躍的現象;Neuringer 與Shapira[16]利用超導體發生磁通跳躍時伴隨有溫度跳躍這一特點設計出了一種可同時觀測超導體溫度與磁場變化的裝置;此外,還有大量的實驗[17–20]被用來研究磁場加載速率、背景溫度以及熱參數等對磁通跳躍的影響.

針對磁通跳躍的理論研究,Mints[14]用磁通蠕動的冪函數模型(power-law),假定當超導體由于磁通運動產生的熱量大于超導體表面傳出的熱量時就發生磁通跳躍,在此基礎上獲得了外加磁場變化速度與發生磁通跳躍外場之間的關系;Hirano等[21]數值模擬了在脈沖場磁化期間具有非均勻臨界電流密度分布的REBaCuO 環的電磁-熱特性,通過在模型外部引入一個裂縫發現在該裂縫區域發生了突然的磁通跳躍并伴隨著較大的溫度上升.楊小斌等[22,23]分析了平行磁場中BiSrCaCuO 板的磁熱不穩定性行為會受磁場掃描速率、環境溫度、磁化和弛豫時間的影響,除此之外,還有一些基于不同E-J本構關系的數值模擬也解釋了發生磁通跳躍的主要特征[24–28].目前針對磁通跳躍的數值研究大多關注于平行磁場中的超導塊體或超導圓柱的磁熱穩定性[29,30].

由于NbTi 超導線相對比較柔軟且方便加工,所以采用NbTi 超導線繞制超導磁體在過去幾十年得到了蓬勃發展.然而NbTi 超導線的臨界溫度低,上臨界磁場較小,NbTi 線圈更容易發生磁熱不穩定現象導致超導線圈失超,因此具有較高的臨界溫度和上臨界磁場的 N b3Sn 超導線,成為填補NbTi 和尚未成熟的高溫超導之間應用空缺的理想材料. N b3Sn 超導線圈運行于大電流和強磁場環境中,其磁熱穩定性問題是工程實際應用中關注的重點問題之一.最近Wang 等[31]采用最小磁能原理考慮了芯絲完全耦合下 N b3Sn 超導線的磁通跳躍行為.在本文中,為簡便起見,取 N b3Sn 超導線圈中的單根超導線進行分析,數值研究了含有多根超導芯絲的復合超導線的磁通跳躍現象.本文的研究內容安排如下: 第2 節介紹了理論模型和數值模擬方法;第3 節研究了交變磁場的頻率和幅值對超導線磁通跳躍現象的影響,給出了超導線不易發生磁通跳躍的頻率和幅值區間,為超導線圈工程設計中避免磁通跳躍提供理論指導,接著分析了背景溫度對磁通跳躍的影響;最后在第4 節進行總結.

2 理論模型和方法

超導線圈往往用絞扭的多芯絲超導線來防止磁通跳躍,為了節省計算時間,我們采用COMSOL Multiphysics 軟件建立了完全不耦合的二維數值模型來代替絞扭的三維模型.本文考慮的 N b3Sn 超導線由54 根超導芯絲(灰色六邊形)、銅(黃色部分)和環氧樹脂(最外面的淺綠色部分)組成,如圖1(a)所示.六邊形的對角線長度為 0.12 mm,Nb3Sn 線半徑為 0.65 mm,空氣環境區域的大小是超導線的10 倍.

圖1 (a)單根 N b3Sn 超導線橫截面幾何形狀及相關尺寸(單位: mm)示意圖,選取了超導線橫截面中間的線段 A ?A 來展示超導線的電流密度和磁通密度分布.超導線置于沿著y 方向的垂直交變磁場中,交變磁場形式如圖(b)所示Fig.1.(a) Schematic diagram of the section cross of single N b3Sn superconducting wire (unit: mm).We select a line A ?A in the middle of the cross section to show the current density and flux density distribution of the superconducting wire.The superconducting wire is exposed to a perpendicular magnetic field along y axis.The form of the alternating magnetic field is shown in panel (b).

為了模擬復合多芯超導線的電磁特性,從麥克斯韋方程組和E-J本構關系得到以H為狀態變量的H法微分方程

其中μ0為真空磁導率,ρ為相關區域的電阻率.對于空氣環境,假設空氣的電阻率為ρair=1 ?·m .在超導區,電阻率ρsc與電流密度、超導區磁場和溫度有關,可表示為

其中E0=1×10?4V/m 為臨界電場,n=n0?(Tc/T)表示磁通蠕變指數.本文選擇n0=100 和臨界溫度Tc=18.2 K ,Jc是與溫度和磁場相關的臨界電流密度,可以寫為

其中Jc0為零場臨界電流密度,本文假設Jc0為3×1010A/m2,B0=28 T 是表示域依賴的常數值.為了對多芯超導線的熱效應進行研究,上述方程與如下的熱擴散方程耦合求解:

其中T0為環境溫度,除圖12 和圖13 外,本文采用背景溫度T0=4.2 K .λ表示導熱系數,c表示體積比熱,h表示傳熱系數.這些參數與T3成正比,即λ=λ0?(T/T0)3,c=c0?(T/T0)3和h=h0?(T/T0)3,選取超導區域λ0和c0的熱參數分別為 0.1 W/(K·m),800 J/(K·m3) .環氧樹脂區域熱參數為 0.05 W/(K·m),530 J/(K·m3) .銅區域是 2 00 W/(K·m),9 00 J/(K·m3) .由于超導芯絲不與冷卻液接觸,超導芯絲內部的傳熱h為0.而在環氧樹脂與空氣的邊界處,傳熱變為h0=10 W/(K·m2) .由于推進線圈在磁懸浮系統中產生變化的磁場,我們假設超導線處于周期性變化的斜坡磁場Ba中(如圖1(b)所示),磁場方向垂直于超導線橫截面即沿y軸,其中背景磁場為Ba0=1 T ,磁場的振幅為Ba1,周期為t0=1/f.交變磁場的表達式為

將狄利克雷邊界條件應用于空氣區域的外邊界為

在超導線橫截面上施加沿z軸方向恒定的運輸電流Ia=100 A .為了模擬實際情況下超導線的絞扭效應,通過在每根芯絲上施加逐點約束使每根芯絲的靜電流為零,這樣每根芯絲的電流分布完全獨立,以此達到以二維模型模擬絞扭時完全不耦合的情形.在三維情況下超導芯絲的絞扭對應的是具有一定耦合度的情況,該耦合度取決于材料的剩余電阻率和絞扭的程度[32],完全不耦合就是耦合度為零的情況.我們對比了完全耦合和完全不耦合情況下的發熱功率和電流分布,如圖2 所示.可以看出,完全耦合情況下超導芯絲的發熱功率P小于完全不耦合情況,完全耦合情況下電流的分布可以看作是整根超導線在磁場作用下感應出來的電流,而完全不耦合情況下每根芯絲的電流分布是獨立的.因此完全耦合情形下在超導線中心區域沒有電流穿透,而完全不耦合情況下在每根芯絲中都有電流分布.相比于完全不耦合情況,完全耦合情況載流能力有所下降.本文考慮的是超導芯絲完全不耦合的情形.

圖2 完全耦合和完全不耦合情況的發熱功率隨時間變化曲線,插圖展示在曲線圖 P -t 上某時刻的電流密度圖Fig.2.Developments of thermal power versus time between fully coupled and uncoupled cases,the insets show the contour of current density at time indicated in the P -t curves.

3 結果分析與討論

為了驗證本文使用方法的準確性,采用H法和H-φ法計算了三根圓形超導芯絲在峰值磁場為1.5 T、周期為 1 0 s 的正弦交變磁場下的電磁行為.對比兩種方法求得在 2.5 和 5 s 時的電流密度和磁通密度分布以及三根超導芯絲總的發熱功率隨時間的變化,如圖3 所示,兩種方法的計算結果非常符合.除此之外,使用本文介紹的H法模擬計算了周期性變化的磁場下 N b3Sn 超導線的磁化曲線,并關于外磁場從 0 T 開始加載的第一階段所達到的最大的磁矩的絕對值進行了歸一化處理,其中磁場加載率為 1 7 mT/s ,磁場在 0 和 3 T 之間周期變化.參考文獻[33]中給出了上述磁場變化下OST 生產的Nb3Sn超導線的實驗測試結果.如圖4 所示,可以發現不論是在磁場的上升階段還是下降階段,超導線發生磁通跳躍的磁場范圍都與實驗結果符合較好,從而驗證了本文的仿真模擬結果的準確性和可靠性.

圖3 為了驗證本文采用的H 法的準確性,分別使用H 法和 H -φ 法模擬三根超導芯絲在 2 .5 和 5 s 時的(a)電流密度 Jz、(b)磁通密度 B y,以及(c)三根芯絲的發熱功率隨時間的變化Fig.3.In order to verify the H formula adopted by this paper,(a) the current density Jz ,(b) flux density B y at 2 .5 and 5 s,and(c) the variations of total thermal power of the three filaments versus time were conducted both by H and H -φ formulas.

圖4 由本文使用的H 法計算得到的歸一化磁化曲線,與參考文獻[33]中的實驗結果符合較好Fig.4.The normalized magnetization curve calculated by the H method used in this paper is matched with the experimental results in Ref.[33].

在接下來的部分,用H公式研究了處于變化磁場中的載流超導線的磁熱不穩定性行為.取Ba1=0.7 T ,f=0.3 Hz 的外加振蕩磁場,模擬了帶芯絲的超導線的磁通跳躍,由于超導線的溫度和電場是表征其磁通躍遷行為的重要參數.圖5(a)和圖5(b)給出了在一個磁場加載周期內,超導芯絲發生磁通跳躍的電壓和溫度信號隨時間的變化特征,發生磁通跳躍時,超導芯絲的電壓信號和溫度信號增加非常迅速,這主要是由于大量的渦旋迅速地進入超導體中.在發生第一次磁通跳躍之前電場和溫度都存在一段平穩增加的過程,在該過程中超導區域的磁通緩慢穿透,磁通運動產生的熱量和邊界散發的熱量平衡,隨著超導芯絲溫度逐漸增加,超導區域的臨界電流密度逐漸降低,超導體的釘扎勢降低,磁通運動速度加快,當磁通運動產生的熱量達到一個臨界值時,就開始發生第一個磁通跳躍.取單個跳躍峰研究,隨著磁通跳躍的發生超導體溫度迅速升高,超導區域的載流能力下降,磁通渦旋受到電磁力作用強度降低,磁通運動速度變慢,產生的熱量隨之變小,傳出邊界的熱量大于磁通運動產生的熱量,超導體溫度下降,一直到溫度降到最小值,而在此過程中超導體載流能力也在逐步恢復.此外可以發現,電壓信號降低到最小值所經過的時間少于溫度信號所經過的時間,這是因為磁通量的擴散比熱傳導更快.同時觀察到下降段磁場和上升段磁場開始發生磁通跳躍的溫度相同.由于超導芯絲完全解耦,即使在磁通跳躍狀態下,最高溫度也只有 0.35Tc.

圖5 超導線發生跳躍時的(a)平均電場 和(b)平均溫度T 隨時間的變化曲線;(c)和(d)分別展示了上升階段-t 或者T-t曲線對應時刻超導線中心 A ?A 線的電流密度 Jz 和磁通密度 B y 分布;(e)和(d)分別展示了下降段電流密度 J z 和磁通密度By分布,插圖①—④分別展示了在 T -t 曲線上對應時刻單根芯絲的電流密度和磁通密度圖Fig.5.The variations of (a) average electric field and (b) average temperature T as a function of time when flux jump occurs in the superconducting wire.(c) and (d) show the distributions of current density Jz and flux density B y at the center of superconducting wire in ascending branch at oscillating times indicated in -t or T -t curve.(e) and (d) show the current density Jz and flux density B y distributions in the descending branch.The insets ①–④ show the contours of current density and flux density of a single filament at times indicated in the T -t curve.

圖5(c)—(f)分別顯示了磁場上升階段和下降階段超導線橫截面沿A?A線(如圖1(a)所示)的電流密度和磁通密度分布.由于A?A線穿過4 根超導芯絲,每根芯絲的電流密度有一個正飽和值和一個負飽和值,最大電流密度約為 0.74Jc0.插圖①—④為單根超導芯絲在磁通跳躍狀態下最高和最低點對應的電流和磁通密度的等高線圖.從圖5(c)可以看出,在溫度信號達到最高值時超導芯絲的飽和電流密度會降低.從圖5(d)可以看出,在磁場上升段,超導芯絲邊緣的磁場大于超導芯絲中心區域的磁場,在兩根芯絲之間有一個由外加磁場和其他芯絲中的電流在該處感應出的疊加磁場,但是該磁場小于超導芯絲邊緣的磁場.然而在磁場下降階段,圖5(f)中觀察到超導芯絲邊緣的磁通密度在發生磁通跳躍后會降低,超導芯絲中心區域的磁場大于超導邊緣的磁場,同樣可以觀察到在相鄰兩根超導芯絲之間的銅層區域疊加磁場,即在兩個高峰之間有一個較低的峰.

現在來討論磁通跳躍狀態和磁通平滑穿透狀態之間的區別.在磁通平滑穿透這種狀態下,磁通跳躍不會發生,如圖6(a)和圖6(b)所示的平均電壓和溫度隨時間變化的曲線中,標記①—④的這4 種狀態來解釋在一個周期內磁通跳躍狀態和磁通平滑穿透之間的差異.彩色插圖①—④為對應時刻磁通跳躍狀態和平滑穿透狀態下超導線橫截面的電流密度和磁通密度圖.通過對比未發生磁通跳躍時刻和發生跳躍時刻的超導線橫截面上的電流和磁通分布(圖6(c)—(f)),可以發現在未發生磁通跳躍時,超導芯絲中的磁通穿透深度比發生磁通跳躍時小,在超導芯絲中心區域存在由前一個下降段磁場感應出的凍結在芯絲內部的反向電流(插圖①).從圖6(d)可以觀察到在未發生磁通跳躍時超導芯絲邊緣的磁場比超導芯絲中心區域磁場更小,在發生跳躍時超導芯絲邊緣的磁場大于超導芯絲中心區域的磁場,由于電流未穿透至中心,已經感應出的電流會產生一個屏蔽磁場來阻止外部磁場改變超導芯絲中心的磁場,超導芯絲中心的磁場在磁通跳躍和平滑穿透狀態之間保持不變.

圖6 超導線發生跳躍時的(a)平均電場 和(b)平均溫度T 隨時間的變化曲線,(c)和(d)分別展示了上升段階段-t 或者T-t 曲線上未震蕩和發生震蕩對應時刻電流密度 Jz 和磁通密度 B y 分布;(e)和(d)分別展示了下降段未震蕩和發生震蕩時的電流密度 Jz 和磁通密度 B y 分布,插圖①—④分別展示了在 T -t 曲線上對應時刻整根超導線的電流密度和磁通密度圖Fig.6.The variations of (a) average electric field and (b) average temperature T as a function of time when flux jump occurs in the superconducting wire.(c) and (d) show the distributions of current density Jz and flux density B y at the center of superconducting wire in ascending branch at no oscillating and oscillating times in -t or T -t curve.(e) and (d) show the current density Jz and flux density B y distributions in the descending branch.The insets ①–④ show the contours of current density and flux density of the whole superconducting wire at times indicated in the T -t curve.

在磁場下降階段,從圖6(e)及電流密度圖可以看到超導芯絲中心區域也存在反向的電流,該部分電流是由前一個周期的上升段磁場感應出的凍結在超導芯絲內部的電流.從圖6(f)可以觀察到超導芯絲邊緣的磁場在未發生磁通跳躍時比超導芯絲中心區域磁場更大,在發生跳躍時超導芯絲邊緣的磁場小于超導芯絲中心區域的磁場,超導芯絲中心的磁場從未發生跳躍到發生跳躍時基本不變.這是由于在發生磁通跳躍時超導芯絲中的電流還未穿透至中心.

接著研究交變磁場的幅值和頻率對多芯超導線磁通跳躍的影響,圖7 給出了在磁場幅值Ba1=0.7 T 不變的情況下超導線處于不同頻率的交變磁場中平均溫度隨時間的變化.從圖中可以觀察到在保持幅值不變的情況下,隨著頻率的增加,發生磁通跳躍的頻率和溫度躍變的幅度逐漸降低,當頻率達到 0.7 Hz 時,超導體不發生磁通跳躍.這是由于同一幅值情況下,頻率越高,外磁場變化的速率越快,超導體溫度升高得越快,在單個周期內的同一時刻超導體溫度越高,磁通蠕動系數越小,對磁通蠕動的抑制效果越差,也就越不容易發生磁通跳躍.

接下來計算不同幅值Ba1=0.5 ,0.6 和 0.7 T 時,超導線在單個加載周期內初次發生跳躍的磁場閾值Bth隨頻率的變化(如圖8).可以發現在同一幅值下,磁場上升階段和下降階段初次發生跳躍的磁場閾值Bth不相等,而是關于Ba0=1 T 對稱,這說明在磁場上升段和下降段發生初次跳躍所經歷的時間相同.值得注意的是初次發生跳躍的磁場閾值隨頻率非單調變化,Bth在 0.07 Hz 附近取極值.以磁場下降階段為例,頻率f小于 0.07 Hz 時Bth隨頻率的增加而增大,大于 0.07 Hz 時Bth隨頻率的增加而減小,磁場上升階段與下降段情況剛好相反,當頻率過大或過小時均不發生磁通跳躍.這是因為在頻率f過小時,磁場的變化速率太慢,超導體溫度升高速率較小,磁通運動產生的熱量達不到發生磁通跳躍的臨界值,所以不發生磁通跳躍,而在頻率f過大時,磁場的變化速率快,超導體溫度升高較快,磁通蠕動系數越小,磁通主要以磁通蠕動的形式穿透進超導體,所以不發生磁通跳躍(圖7(d)).因此隨著頻率的增加超導體的磁熱狀態發生了從穩定狀態向不穩定狀態即磁通跳躍狀態轉變,隨著頻率的進一步增大,超導體再次轉變為磁熱穩定態.

圖7 在 T 0=4.2 K 和幅值為 0 .7 T 時不同頻率下超導線的平均溫度隨時間的變化Fig.7.the variations of average temperature of a superconducting wire with time for different frequencies at the amplitude of 0.7 T and T 0=4.2 K .

圖8 在 T 0=4.2 K 下,不同幅值下超導線發生初次磁通跳躍的磁場閾值 B th 隨頻率f 的變化(圖中雙斜線表示不發生磁通跳躍的臨界點)Fig.8.The variations of magnetic field threshold of the initial flux jump B th versus frequency f at different amplitudes at T 0=4.2 K (The double slash lines in the figure indicate critical points where flux jump does not occur).

圖9 給出了在交變磁場頻率f=0.3 Hz 不變的情況下,不同磁場幅值,即Ba1=0.5 ,0.6 ,0.7 和0.8 T時超導芯絲平均溫度隨時間的變化.發現在幅值為 0.5 T 時,超導線不發生磁通跳躍,隨著幅值Ba1的增大,發生磁通跳躍的頻率和溫度躍變的幅度逐漸增加,初次跳躍發生的時間更加提前.這是因為在頻率相同的情況下,在經過相同的時間后,幅值為 0.5 T 時磁壓較小,超導線中反轉電流的穿透深度相對較淺(插圖①),進入超導線的磁通較少,超導線中的磁壓沒有達到發生磁通跳躍的閾值,所以不容易發生磁通跳躍.但是隨著幅值的增大,在相同的時間內反轉電流的穿透深度越深(插圖②—④),超導線中的磁壓越大,越容易發生磁通跳躍.

圖9 在 T 0=4.2 K 和頻率為 0 .3 Hz 時,不同幅值下超導線的平均溫度隨時間的變化,插圖①—④分別展示了在 T -t/t0 曲線上對應時刻整根超導線的電流密度圖Fig.9.The developments of average temperature of a superconducting wire as a function of time for different amplitudes at the frequency of 0.3 Hz and T 0=4.2 K .The insets ①–④ show the contours of current density of the whole superconducting wire at times indicated in the T -t/t0 curve.

接下來計算了在頻率f=0.1 ,0.3 和 0.5 Hz 時初次發生跳躍的磁場閾值Bth隨幅值Ba1的變化.從圖10 可以看出,磁場閾值Bth隨幅值Ba1單調變化.磁場下降階段初次發生跳躍的磁場閾值Bth隨幅值Ba1的增加而增大,而磁場上升階段初次發生跳躍的Bth隨Ba1的增加而減小,上升段磁場和下降段磁場的曲線同樣關于Ba0= 1 T 對稱.同一幅值情況下,頻率越大,發生初次跳躍所經歷的時間越長,這與圖7 的結論一致.另外值得注意的是,交變頻率越小,超導體發生磁通跳躍的幅值區間越大,反之亦然.因此為了避免超導線發生磁通跳躍應該盡量將交變磁場頻率調至較大的值.

圖10 在 T 0=4.2 K 下,不同頻率時初次發生磁通跳躍的磁場閾值 B th 隨幅值 B a1 的變化(圖中雙斜線表示不發生磁通跳躍的臨界點)Fig.10.At T 0=4.2 K,the variations of magnetic field threshold of the initial flux jump B th with the amplitude Ba1 at different frequencies (The double slash lines in the figure indicate critical points where flux jumping does not occur).

為了更清楚地理解交變磁場頻率和幅值對超導線磁熱穩定性的影響,我們繪制了正要發生磁通跳躍時關于頻率和幅值的臨界閾值曲線圖,圖11(a)中黑色實線所包圍的藍色區域為超導線發生磁通跳躍的區域,其余灰色區域為磁通平穩穿透的區域.比較有意思的現象是在幅值為 0.75 T 時,臨界頻率達到最大值,在頻率為 0.08 Hz 時,臨界幅值達到最小值.由此可以總結出,隨著幅值的減小,發生磁通跳躍的頻率區間先變大后變小,直到某個臨界頻率后超導線不再發生磁通跳躍.通過分析交變磁場幅值和頻率對磁通跳躍的相互作用,為了避免超導線發生磁通跳躍,應當盡量減小外加交變磁場的幅值或者增大交變頻率.

圖11 (a)在 T 0=4.2 K 時超導線發生磁通跳躍的頻率和幅值的臨界閾值曲線,其中黑色實線所包圍的藍色區域為超導線發生磁通跳躍的區域,其余灰色區域為磁通平穩穿透的區域.(b)—(g)分別展示了圖(a)中6 個點對應情況下超導線的平均電場和平均溫度隨時間的變化,插圖 a1 — c2 表示 ?t 曲線的最高點(黑色實心圓點)對應時刻超導線的電流密度Fig.11.At T 0=4.2 K,(a)the critical threshold of frequency and amplitude(black curve)when flux jump will happen in a superconducting wire.The blue region is the region where flux jump occurs,and the rest gray region is the region where smooth penetration occurs;(b)–(g) show the variations of the average electric field and temperature of the superconducting wire with time under the corresponding conditions of the 6 points in (a);Panels a1 – c2 show the current density of the superconducting wire at times(black solid dots) corresponding to the highest points of the ?t curves.

圖11 給出了超導線發生磁通跳躍的頻率和幅值的臨界閾值曲線,其中黑色實線所包圍的藍色區域為超導線發生磁通跳躍的區域,其余灰色區域為磁通平穩穿透的區域.為了分析頻率和磁場幅值對磁通跳躍的影響,取位于邊界曲線上的三個點 a2,b2,c2和邊界曲線上磁通平穩穿透區域的三個點a1,b1,c1進行分析,并展示了對應各點的超導芯絲平均電場和平均溫度隨時間變化的曲線(如圖11(b)—(g)).插圖a1–c2 為黑色實心點對應時刻的單根超導線電流密度等高線分布圖.從圖11可以看出,在臨界曲線之外的三個點 a1,b1,c1的平均電場和溫度雖然沒有發生跳躍,但是這三個點比位于臨界曲線上的點 a2,b2,c2在發生跳躍前的階段的電場和溫度更高.在發生跳躍時,幅值較小時電場和溫度跳躍的頻率和幅度較低(a2和 b2點),而幅值較大時電場和溫度躍變的頻率和幅度更高(c2點),所以要盡量避免超導線在高幅值的磁場中運行.

圖12 給出了在Ba1=0.7 T ,f=0.3 Hz 情況下,不同背景溫度時超導芯絲平均溫度隨時間的變化曲線,從圖中可以發現在保持頻率和幅值不變的情況下,隨著背景溫度降低,磁通跳躍發生的頻率越高,溫度躍變幅度越高.這主要是由于超導體的體積比熱與溫度成正相關,溫度越高超導體的體積比熱越高,在相同熱量情況下超導體的溫升更慢,磁通運動速率增大的趨勢變慢.此外,溫度越高,磁通蠕動系數越小,對磁通蠕動的抑制效果越差,越不容易發生磁通跳躍,在T0=5 K 時,磁通運動產生的熱量與邊界散發的熱量平衡,沒有發生磁通跳躍.

圖12 幅值為 0 .7 T ,頻率為 0 .3 Hz 情況下,不同背景溫度時超導線的平均溫度隨時間的變化Fig.12.At the amplitude of 0.7 T and the frequency of 0.3 Hz,the variations of average temperature of the superconducting wire with time for different background temperatures.

接下來研究了磁場下降階段初次跳躍磁場Bth隨背景溫度T0的變化規律.從圖13 可以看出,在保持頻率和幅值不變的情況下,背景溫度越低,初次發生磁通跳躍的磁場越高,說明發生磁通跳躍的時間越早.這是由于背景溫度越低,對應的磁通蠕動指數越大,對磁通蠕動的抑制效果更好,更容易發生磁通跳躍.在頻率為 0.3 Hz 時,交變磁場幅值越小,發生磁通跳躍的臨界背景溫度越低.這主要是由于在背景溫度較高情況下,幅值越低,磁場增加的速率越低,磁通運動產生的熱量越少,溫度升高越慢.當磁場加載到下降段結束時超導體的溫度達不到發生跳躍的臨界溫度,降低背景溫度可以抑制磁通蠕動,更容易達到發生磁通跳躍的臨界值.

圖13 不同頻率和幅值下初次發生磁通跳躍的磁場閾值Bth 隨背景溫度 T 0 的變化(圖中雙斜線表示不發生磁通跳躍的臨界點)Fig.13.The variations of magnetic field threshold of the initial flux jump B th with the background temperature T0 at different frequencies and amplitudes (The double slash lines in the figure indicate critical points where flux jump does not occur).

4 結 論

本文采用Maxwell 方程的H構型并且耦合溫度場模擬了 N b3Sn 復合超導線的磁通跳躍行為.通過約束每根芯絲的靜電流為零來模擬超導線的絞扭特征,分析了交變磁場頻率和幅值對超導線磁通跳躍的影響.當交變幅值較小和頻率過大時,沒有磁通跳躍現象發生.當交變磁場幅值不變時,隨著頻率的增加,超導線發生磁通跳躍的頻率和溫度躍變的幅度逐漸降低.初次發生磁通跳躍的磁場閾值Bth隨頻率非單調變化.當交變頻率不變時,隨著幅值的增大,發生磁通跳躍的頻率和溫度躍變的幅度逐漸增大,初次跳躍發生的時間越早,初次發生磁通跳躍的磁場閾值Bth隨交變磁場幅值單調變化.根據超導線發生磁通跳躍的臨界頻率和幅值曲線可以看出,隨著幅值的減小,發生磁通跳躍的頻率區間先變大后變小,直到某個臨界頻率后超導線不再發生磁通跳躍.最后分析了背景溫度對磁通跳躍的影響,在保持頻率和幅值不變的情況下,背景溫度高于某一臨界值時,沒有磁通跳躍發生,但隨著背景溫度的降低,磁通跳躍發生的頻率越高,溫度躍變幅度也越高,初次發生磁通跳躍的時間越早.由于 N b3Sn 超導線臨界溫度和上臨界磁場均較高,相比于NbTi 超導線,N b3Sn 超導線不易發生磁通跳躍行為,更加適合于磁懸浮系統中的超導線圈.通過分析交變磁場幅值、頻率和背景溫度對磁通跳躍的作用發現,為了避免超導線發生磁通跳躍,應當盡量減小外加交變磁場的幅值或者增大交變頻率和背景溫度.本文的研究結果對于調控磁懸浮系統中超導線圈的磁熱穩定性行為具有理論參考意義.