基于PLS的多維力傳感器動態力反演研究

董建平 周興林 朱 攀

(武漢科技大學機械自動化學院 湖北 武漢 430081)

0 引 言

傳感器的被測量是通過測量信號的反演得到的。工業測試中靜態或準靜態力測量技術較為成熟，而關于動態測量技術的研究尚不完善[1]。動態測量時被測量是與時間強相關的，利用靜態的測量方法得到的結果不準確[2]。

另外，根據測力分量數目的不同，傳感器可以分為單維、多維。多維力傳感器主要用于力與位置精密控制領域，如在汽車輪胎接觸應力測試[3]、機械裝置[4]、醫療器械和機器人技術[5]等方面，其在精密測控領域是不可或缺的。

實現多維力傳感器動態測量需要經過動態標定和反演，反演是本文關注的重點。由于設計、制造和安裝方面的限制，多維力傳感器的彈性體(敏感元件)往往為一體化結構，因此各維測力方向上會產生干擾，即存在維間耦合，這嚴重影響了傳感器的測量精度，減輕或消除維間耦合是多維力傳感器測量中急需解決的問題。目前學界存在兩種解決思路，其一是從結構上消除耦合誤差[6]，這對傳感器的制造和安裝精度要求較高；其二是設計解耦系統，采用解耦算法減輕耦合誤差的影響，提高測量精度[7-8]。

實際測量中，數據都是帶有噪聲的，解算出的輸入力與真實力之間存在偏差，多維力傳感器的動態力反演需要減小耦合誤差，據此，國內外學者做了一系列研究。徐科軍等[9]針對腕力傳感器提出了不變性解耦，采用解耦網絡實現解耦模型的降階，通過簡化運算減小誤差，取得了良好效果。但這種方法有較大的限制性，對于非最小相位系統需要考慮模型的穩定性。同年，徐科軍等[10]進一步提出迭代動態解耦方法，對不變性動態解耦方法進行優化，能夠較好地減輕耦合影響，但在求解高階復雜系統時，構建解耦網絡結構十分困難。宋國民等[11]將傳感器的傳遞函數轉化為對角優勢矩陣，從而弱化維間耦合的影響，實現近似解耦。夏秋等[12]提出了基于獨立成分分析(ICA)的多維力傳感器解耦方法，表示經過獨立成分分析，傳感器的測量效果優于對角優勢化補償方法，能有效提高傳感器的測量精度。國外關于動態反演的研究大多是采用濾波器。Eichst?dt等[13]根據補償濾波器的設計方法把數字反卷積濾波器分為FIR濾波器和IIR濾波器,以此來削弱噪聲影響。瑞典學者Hessling[14]根據測量系統有理傳遞函數模型和數字濾波器模型得到被測量。

本文采用偏最小二乘法(Partial Least Squares,PLS)對被測量進行反演，通過交叉驗證選取參數，利用均方差篩選主成分，從而減輕測量噪聲的影響，設計的兩個仿真算例表明，該方法能有效減輕噪聲影響，提高測量精度，且解算過程穩定有效。

1 多維力傳感器反演模型

多維力傳感器的敏感元件工作在線性區域，在線性時不變(LTI)條件下，傳感器測量系統可看作多輸入多輸出系統(MIMO)。線性時不變條件下的輸入輸出可以表示為卷積關系：

(1)

式中：hji(t)hji(t)表示從第i個輸入到第j個輸出uj(t)通道的沖激響應函數，其中有i=0,1,…,p,并且j=0,1,…,q。

其矩陣表達形式為：

(2)

式中：uj為第j個輸出的向量形式；fi為第i個輸入的向量形式；Hji為與hji(t)相對應的沖激響應核函數矩陣。

假設多維力傳感器系統輸入和輸出分別為f和u：

f=[f1,f2,…,fp]T

(3)

u=[u1,u2,…,uq]T

(4)

動態特性矩陣用H來表示：

(5)

MIMO系統可表示為：

u=Hf

(6)

上述方程的求解通常是不適定的，對測量過程中的擾動十分敏感，求解過程中容易出現矩陣的病態問題。為避免求解的病態問題，可將傳感器的動態力反演看作作用位置已知的載荷識別問題，對傳感器輸入量的反演即為模型的系數辨識。

可采用建立回歸模型，將輸入量f作為傳感器系統的參數進行識別的方法來獲得輸入信號的近似解，通過優化使其可以表達真實信號的特征，具有更好的穩定性。

2 偏最小二乘算法

偏最小二乘(Partial Least Squares,PLS)是一種利用潛在變量對觀測變量集之間的關系進行建模的廣泛方法。它包括回歸和分類任務以及降維技術和建模工具。所有偏最小二乘方法的基本假設是，觀測數據是由一個系統或過程產生的，該系統或過程是由少量潛在(非直接觀測或測量)變量驅動的。利用PLS將觀測到的數據投影到其潛在結構中是建模的核心[15]。將PLS用于求解式(6)，當u為一維變量時，PLS可以視為一個正則化的最小二乘擬合[15]。

PLS與其他方法的不同之處在于PLS對XYT進行特征值分解，適用于解決變量之間的共線性較高的情況。PLS將原始數據投射到更緊湊的潛在變量空間中，能夠分析單個變量的重要性，建立自變量與因變量之間的關系，刪除影響較小的變量，使模型包含最少的變量數，以此來實現弱化噪聲影響的目的。且計算和執行簡單，具有較好的穩定性[16]。

2.1 算法原理

分別從自變量集合X和因變量集合Y中提取成分t1和u1，使得t1和u1盡可能多地表達它們各自的數據信息，并且t1與u1和X與Y的相關系數取到最大值，將X與Y提取成分后的殘余信息作為新的集合來提取t2和u2。對上述過程進行迭代，直到滿足精度要求。經過主要成分信息的提取，將次要信息去除，可最大程度地減輕或消除噪聲影響，提高傳感器的測量精度。

2.2 算法實現步驟

本文將PLS方法用于多維力傳感器的動態反演，建立一個單變量的偏最小二乘回歸模型(記為PLS1[16])，下面是PLS1的建模方法。

2.2.1第一、二成分選擇

將數據進行處理(減去均值、除以標準差)獲得新的X和Y。分別從X和Y中選擇第一成分t1和u1。

t1=Xp1

(7)

u1=Yq1

(8)

提取出的成分t1和u1要最大程度地包含X和Y中的變異信息，且t1對u1有最大的解釋能力[17]，即要求Cov(t1,u1)達到最大。

分別求取XTYYTX和YTXXTY最大特征值對應的特征向量即可得p1和q1，從而可得成分t1，本文中q1=1，u1=Y。分別建立回歸方程有：

(9)

分別以殘差矩陣X1和Y1作為新的X和Y，用上面的方法求得第二成分t2。求取新的特征矩陣對應的特征向量p2，則：

t2=X1p2

(10)

建立X1和Y1對t2的回歸方程，有：

(11)

2.2.2原始數據系數計算

同以上方法，可對第h成分th進行提取。h可采用交叉驗證估計均方誤差的方法獲得。由上述方法不斷計算可得：

(12)

式中：E和F是殘差矩陣[18]。

式(12)的矩陣形式如下：

(13)

式(13)即為Y關于X的回歸方程，其中系數B=PRT。在算法計算過程中收集P和R的值就可以得到原始矩陣的系數，從而實現輸入量的反演。

2.3 交叉驗證

在通過偏最小二乘法建立模型時，成分參數的選擇尤為重要，若h值選擇過小，則不足以較為完整的表達數據信息；若h值選擇過大，則會代入噪聲信息。本文采用十折交叉驗證(10-fold cross validation)的方法選取參數，方法如下：

將數據分為十等份，取出其中一份作為測試數據，其余九份數據作為訓練數據，每次選擇不同份的數據作為測試數據，交叉驗證重復十次，并將十次交叉驗證過程中訓練數據對測試數據的識別準確率作為結果。

這種方法的優點在于，保證每個子集都參與訓練且都被測試，有效降低泛化誤差。本文通過十折交叉驗證估計均方根誤差，選取均方根誤差最小的參數作為選取的成分數。

通過估計均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)的方法選擇最佳的成分數目h。均方根誤差用以評價數據的擬合狀況，它的值越小，表明預測模型與真實模型的擬合程度越高，RMSE定義為：

(14)

衡量模型是否適合訓練數據的指標R2定義為：

(15)

3 仿真驗證

通過仿真分析對本文提出的方法進行有效性驗證。多維力傳感器的兩兩通道間存在干擾，以文獻[9]中一個二輸入二輸出系統為例進行仿真分析，其傳遞函數模型為：

(16)

3.1 矩形脈沖動態力輸入信號

為了驗證PLS算法的有效性，將兩個矩形脈沖信號作為多維力傳感器的動態力輸入，如圖1所示，矩形脈沖信號具有非常豐富的頻率信息，能夠十分有效地驗證算法的優化效果，得到的輸出信號如圖2所示。為輸出信號添加SNR為10 dB的高斯白噪聲，如圖3所示。

圖1 矩形脈沖動態力輸入信號

圖2 矩形脈沖信號的傳感器輸出信號

圖3 添加噪聲后的輸出信號

若不進行處理，直接通過輸出信號反演輸入信號，輸入信號發生失真，得到的結果是無意義的，如圖4所示。

圖4 直接反演求解的輸入信號

根據2.2節所述步驟，利用PLS算法來實現傳感器動態力的重建，可通過交叉驗證估計均方根誤差的方法確定提取的成分數量h，如圖5所示。可以看出，隨著成分數的增加，均方差逐漸減小，從第四個成分數開始逐漸變緩，在h=6處均方差基本達到最小，滿足參數要求，仿真結果如圖6所示。

圖5 交叉驗證選取成分數

圖6 重建信號與真實信號對比

從PLS求解值與真實值的對比結果中可以看出，通過PLS算法得到的曲線與真實值趨勢一致，圍繞真實值上下輕微波動，這是由于矩形脈沖信號包含豐富的頻率信息。相較于直接根據測量值反演被測量的結果，該方法具有明顯的優勢，求解值能夠有效表達真實值。

3.2 雙半正弦信號輸入

將雙半正弦信號作為傳感器的輸入信號，進一步驗證PLS算法的有效性。如圖7所示，分別以兩個雙半正弦信號作為輸入信號。

圖7 雙半正弦輸入信號

為輸出信號添加信噪比為10 dB的高斯白噪聲(圖8)，由文中2.3節所述，利用十折交叉驗證估計均方差，選取最小值以確保數據保留較高精度，如圖9所示，從h為3時均方根誤差變化較為平緩，當h=5時均方根誤差基本達到最小值，故選取參數為5既能表達大部分信息，又可避免噪聲的影響。通過重建得到的輸入信號與真實值對比結果如圖10所示，可以看出，PLS求解值能有效地表示真實值的特征。

圖8 添加噪聲后的輸出信號

圖9 交叉驗證選取成分數

圖10 重建信號與真實信號對比

3.3 PLS算法與PCA算法的比較

與PLS算法類似，主成分分析(Principal Component Analysis，PCA)也是一種常用的降維去噪方法，因此PCA也可以用于多維力傳感器的動態反演，這里把PCA算法與PLS算法得到的反演結果進行比較。

同樣采用式(16)的傳遞函數模型進行仿真，分別利用3.1節的矩形脈沖信號和3.2節的雙半正弦信號作為輸入，為輸出信號添加信噪比為10 dB的高斯白噪聲后，通過PCA降噪實現傳感器的動態反演，得到的PCA求解值與真實輸入信號的對比如圖11和圖12所示。

圖11 兩種算法的矩形脈沖信號求解結果對比

圖12 兩種算法的雙半正弦信號求解結果對比

可以看出，采用PCA實現多維力傳感器的動態反演有一定的效果，但相較于PLS的求解效果反演精度不高，與真實值的偏離程度較大。原因是PCA降維過程中，因變量并沒有參與主成分的構造，所以PCA無法保證同時指導預測自變量的方向和預測因變量。但PLS算法不僅能很好地概括自變量的信息，而且對因變量也有很強的解釋能力。

4 結 語

本文針對多維力傳感器在先驗信息缺乏時的動態反演出現信號失真的問題，提出通過PLS算法提取有效成分來降低噪聲對測量結果的影響。相較于傳統求解過程中的矩陣病態問題，求解過程更加穩定。采用交叉驗證估計均方差的方法選取參數，既保證了信息的完整性，又在最大程度上摒除噪聲信息，保證求解精度。仿真結果表明，在受到信噪比為10 dB的高斯白噪聲影響時，采用PLS方法依然能較準確地還原矩形脈沖和雙半正弦脈沖，表明該方法的可行性和有效性。PLS通過對數據的處理實現傳感器的動態反演，相較于矩陣求解法更加穩健，抗干擾能力更強，甚至在與PCA方法的比較中也表現出更好的魯棒性。