基于改進蟻獅算法優化考慮交易成本的M-CVaR模型

林擎鑫 馬 寧 王一成 成 晨

(西北民族大學中國民族信息技術研究院 甘肅 蘭州 730000)

0 引 言

隨著現代投資組合理論的不斷完善與發展，如何保證在風險最低化的同時實現收益最大化成為了研究的熱點。針對直接利用Markowitz提出的基于均值-方差決策模型解決上述問題存在的模型中一系列嚴格假設導致了無效資產組合以及均值-方差相同的組合，受偏度影響，其風險程度可能存在較大差異等不足之處[1-3]，研究者們對如何優化投資模型開展了深入研究。高岳林等[4]在均值-方差模型的基礎上增加了風險以及條件風險價值作為約束條件，并建立了相應模型，結合我國股票市場實情開展了實證分析，證明了方法的合理性及優勢性；黃東賓等[5]在M-CVaR模型的基礎上引入偏好強度，建立了基于偏好強度的M-CVaR模型，通過分析驗證了所提方法對于多位數據的整合以及資產選擇能力上所具備的優勢。上述方法其主要內涵是通過增加約束條件實現對于傳統方法的改進，這些改進雖然起到了積極意義，卻忽略了交易成本帶來的影響，使得模型在一定程度上脫離了我國證券市場的實際情況。同時，交易成本作為市場中重要摩擦因素，對于投資結果產生深遠的影響，因此必須予以考慮。為了達到考慮成本因素且具備較小計算代價的目的，就需要對組合投資模型中的算法進行優化。王懷柱[6]結合改進遺傳算法進行CVaR模型求解，通過改進遺傳算法的變異算子提高了模型收斂速度，從而達到了節約計算時間的目的；見靜等[7]提出了結合動態粒子群算法對于M-VaR進行求解的思路，并結合實證分析表明該算法相對于傳統算法在效率以及精度上存在的優勢。一些智能算法替代傳統算法，但容易陷入局部最優解，且求解效率較差[8-9]。

綜上所述，為了從根本上解決上述問題，本文提出基于改進蟻獅算法優化考慮成本因素的組合投資模型。該模型在傳統模型的基礎上引入二次分段凹交易成本，建立了更為具體的組合投資模型；同時，針對蟻獅算法提出相應的優化方案，以提高其探索能力、收斂速度，并避免陷入局部最優解。利用上述模型結合多種證券投資組合進行分析，證明了模型在穩定求解的同時，可以保證求解過程的高效、高精度特性，從而為投資者提供更好的決策參考。

1 模型建立

1.1 CVaR模型的建立與計算

CVaR即條件風險價值，表示了在一定的置信水平下，投資者可對于未來某一時間所承擔的且超過VaR均值的損失進行預測[10]。其數學表達式為：

VaRβ+E[L(w,r)-VaRβ|L(w,r)>VaRβ]

(1)

式中：w=(w1,w2，…，wi，…，wn)T，wi表示第i種資產的投資比例；r=(r1,r2，…，ri，…，rn)T，ri表示對應的i種資產的收益率；L(x,r)表示損失函數；β表示置信度。

對于CVaR而言其計算的核心在于解決損失函數帶來的問題，故而依據損失函數是否連續，可以把CVaR的計算分為連續性和離散型，具體計算如下。

(1) 連續型計算。記p(r)為概率密度函數，其表示投資組合的收益率，則：

(2)

(3)

上述方法表征了對于CVaR的具體計算。但是，在實際應用過程中還需對其中的重要參數進行選擇，以求達到對于不同風險偏好的投資者在承受低風險的同時，其收益最大化的目的。在這一過程中，置信水平以及對應產品的投資期限的選擇對于投資組合問題的解決具備重要意義。前者不僅體現了投資者的風險偏好程度，同時還表征了計算結果的有效性，其選取決定于CVaR的計算目的；后者表征了計算期限，主要決定于資產流通性、回報率的分布特性和約束條件等因素；兩者共同決定了VaR的取值。

1.2 考慮交易成本的M-CVaR模型

交易成本是指實際證券交易過程中的各種摩擦因素，其中要分為固定成本以及間接成本[11]。對于中國證券交易市場而言，固定成本是交易成本最直接的體現。其具體表達式為：

(4)

通過式(4)可以發現交易成本是一個二次分段凹函數且與資產投資比例呈正相關。

1.2.1模型假設

為了使得建立的模型更加符合我國證券交易市場的實際情況，本文進行如下假設的條件的建立。

(1) 投資者均為理性投資人假設。

(2) 價格對于價值準確反映的假設，即投資者之間進行公平競爭，競爭過程中不產生間接成本，產品價格直接體現產品的真實價值。

(3) 收益分布假設。結合文獻可以發現，我國證券交易市場的收益率分布特征符合拉普拉斯分布，即其概率密度與分布性質分布表示為：

(5)

(6)

(5) 最小單位以及最大交易量約束；前者以整手為約束，后者按照相關規定單個基金對于同一家上市公司股票的持有小于其凈資產的10%。

(6) 不允許出現買空賣空的現象。

1.2.2模型建立

設一個投資人共投資了n種風險資產以及一種無風險資產，其中單個風險資產的收益率記為ri(i=1,2,…,n)；第i類資產的購買數Si(i=1,2,…,n)，無風險資產購買數記為S0;無風險資產收益率記為r0；第i類資產的投資比例為；第i類資產的股票單價記為Pi；投資組合的總收益率記為r；初始財富記為R0，末期財富記為Rm，則有:

(7)

(8)

(9)

同時，第i種資產的權重以及投資組合的收益率分別表示為:

(10)

(11)

通過上述計算過程，組合收益的期望與方差可以表示為：

(12)

式中：σij表示不同資產的協方差。

綜合上述內容并結合式(2)和式(3)以及拉普拉斯假設，引入ε作為投資者的風險承受極限，同時考慮本文研究目的在于求解投資者低風險下收益最大化模型，故而基于交易成本的M-CVaR模型為：

(13)

(14)

0≤Si≤μi,且Si?Z

式中：μi表示第i類資產的最大交易約束。

Crystal將抒情詩定義為“以一種短小、如歌的形式，抒發作者內心主觀思想和情感的詩歌”。[5]從抒情詩歌的定義來看，抒情詩歌有明顯的文體特點：體裁短小精悍、韻律節奏感強、表達詩人的內心情感和主觀感受。除此之外，抒情詩歌還有一些較明顯的特點，如修辭的使用。

上述模型是一個非線性模型，求解時存在精度和效率的雙重困擾，故而本文將引入改進蟻獅算法對其進行求解，以求高效、高精度實現對于模型的求解。

2 改進蟻獅算法

蟻獅算法相對于蟻群算法、遺傳算法等智能算法由于其考慮了螞蟻游走與蟻獅捕食螞蟻的雙重行為，因此對于復雜問題具備更強的適應性[12-13]；同時，由于該算法具備少量調節參數，因此使得其實現更為容易。但是，蟻獅算法也存在固有缺陷，主要體現為容易陷入局部最優解、搜索能力不足、求解時具備較慢的收斂速度[14-15]。對上述缺點，本文提出改進蟻獅算法，其主要思路是在傳統蟻獅算法的基礎上引入相應策略，從而提高算法的整體性能。

2.1 傳統蟻獅算法的原理

傳統的蟻獅算法其基本原理是模擬蟻獅捕食幼蟻的自然行為。該算法按如下過程開展[16-17]：

(1) 利用式(15)進行初始解的隨機生成，同時，對所有蟻獅的適應度進行計算和排序，其中適應度最高的視為最優解即為精英蟻獅，記為RE。

Xn.m=La+rand(Lb-La)

(15)

式中：Xn.m表示螞蟻位置且初始時刻螞蟻位置與蟻獅位置相同；La、Lb分別表示螞蟻游走可行域的上下限。

(2) 根據式(16)計算螞蟻游走的位置。

Xi=[0,cumsum(2r(1)-1),cumsum(2r(2)-1),…，

cumsum(2r(n)-1)]

(16)

式中：Xi表示螞蟻位置；cumsum表示螞蟻游走位置的累積和；n表示最大迭代步數；r(n)表示隨機函數，按式(17)計算。

(17)

為了確保每一只螞蟻的隨機游走過程都在可行域的范圍內進行，還需要對螞蟻的位置進行離差，其具體計算如下：

(18)

(19)

(20)

式中：w為常數，按式(21)取值；t與T分別表示當前迭代次數與最大迭代次數。

(21)

(3) 對圍繞蟻獅RA與精英蟻獅RE游走的螞蟻產生的隨機位置進行更新；

(22)

(4) 如果在隨機游走的螞蟻中，出現某只螞蟻的適應度高于蟻獅，則視作該螞蟻被蟻獅捕獲，此時，蟻獅會根據該螞蟻的位置更新其自身位置，重構陷阱，其數學表達式為：

(23)

(5) 檢驗迭代次數是否達到最大，若是則輸出最優解，反之重復上述步驟直至最優解產生。

2.2 基于不同策略下蟻獅算法的優化

本文主要通過以下兩種策略進行蟻獅算法的優化：

(1) 邊界策略。通過對傳統蟻獅方法的計算過程進行分析，我們可以發現隨著迭代次數的增加，螞蟻圍繞蟻獅走的可行域在逐漸減小，而對于同一輪迭代中呈線性分段變化趨勢的螞蟻，其游走邊界完全相同。這種方法一定程度上降低了算法的多樣性與隨機性，不易于全局最優解的獲取。本文對于式(20)進行如下改進：

(24)

這種方法使得I值隨著迭代次數的增加由線性遞增轉變為非線性隨機自適應遞增，由式(24)可知，邊界將按非線性隨機自適應遞減，這就使得相對于傳統方法，螞蟻圍繞蟻獅游走更具備多樣性與隨機性，從而提高了算法的全局搜索能力。

(2) 選擇策略。傳統的蟻獅方法其選擇策略為輪盤賭策略，但這種策略難以保證所有螞蟻都圍繞著較優蟻獅游走。因此，本文將預備參加輪賭選擇的蟻獅按適應度值從大到小排序，同時設定只有當適應度值F滿足式(25)時，蟻獅參與輪盤賭。

F

(25)

式中：P為預備蟻獅適應度的平均值。

這種方法，提高了輪賭的門檻，在一定程度上保留蟻獅的同時，加大了螞蟻圍繞較優螞蟻走的概率，從而提高了算法的性能。在優化考慮交易成本的M-CVaR模型時，適應度函數與目標函數的關系可以用式(26)表示。

(26)

3 實證分析

通過對我國證券市場的實情進行分析可以發現多數投資者會選擇支付成本更大的積極策略進行相關的投資以求在控制風險的同時，獲得更大的利益。故而，本節將建立考慮交易成本的M-CVaR模型并結合改進蟻獅算法求解最優資產組合，同時，在這一過程中驗證考慮成本因素的積極意義以及算法的有效性。

3.1 數據預處理

為了更有效地證明求解模型的有效性，以近期熱門的券商、科技、新能源和農業等作為股票選取的題材，具體如下：京東方A(000725)、西部證券(002673)、牧原股份(002714)、比亞迪(002594)、格力電器(000651)、美的集團(000333)、中興通訊(000063)、五糧液(000858)和一種無風險資產，本文選擇國債為例；同時，所有股票數據來源于“萬得咨詢”。

假設初始投資為1 000萬元，數據取2019年8月16日至2019年10月18日共計10個交易周來進行數據監測，得T=10。通過實際數據調研，不存在停盤以及復盤現象。

3.2 參數設定

按照M-CVaR模型求解的相關需求，對以下參數進行詳細說明：

(1) 風險值。設置最大承受風險系數δ=0.05。

(2) 置信水平。其選擇受多因素約束，為了保證計算的有效性要求置信水平較低；為了更準確反映投資者的風險偏好，則需要選擇相對較高的置信水平。為了更有效地對問題進行說明，同時為了展開相應的比較分析，本文取置信水平β為0.85，0.9，0.95。

(3) 交易成本。根據假設，交易成本僅考慮固定交易成本，按2.5計算。

(4) 無風險資產。以短期貼現的國家債券為例，其2019年利率水平為0.013%，故而r0=0.013%(以天為計算單位)。

(5) 收益率。前人的分析中僅考慮算術平均收益率，這種方式忽略了資本的時間價值同時會出現上傾現象，因此本文提出使用幾何平均收益率克服上述問題。通過計算，資產的期望收益率如表1所示。

表1 資產期望收益率(%)

3.3 數據結果分析

3.3.1模型計算

通過計算，考慮成本因素的計算結果如表2所示。

表2 考慮成本因素的最優投資組合

可以看出，改進蟻群算法對于求解考慮成本因素的M-CVaR模型有效性。同時，由于置信水平的選擇體現了投資者的風險偏好程度，投資者可以根據自身情況選擇合適的置信度組合進行投資。如果投資者厭惡風險，則選擇置信度高的組合進行投資，如果投資者對風險厭惡程度低，可選擇置信度低的組合。結合我國實際證券市場，在后面的分析中置信度均取0.95。因此，在置信水平為0.95時，不考慮成本因素的投資最優組合如表3所示。

表3 不考慮成本因素的最優投資組合

3.3.2數據分析

在置信度為0.95時，考慮成本因素的實際收益為451 802元；不考慮成本因素的實際收益為393 145元；因此可以說明在風險系數δ=0.05時，考慮成本因素計算出來的最優投資組合收益有95%的可能要高于理論綜合效益；而不考慮成本因素的實際收益值則小于理論綜合收益。綜上所述考慮交易成本的模型對于最優組合的求取更具備意義。

3.4 方法對比

傳統智能算法如遺傳算法、蟻群算法等在求解模型時也被廣泛應用，基于遺傳算法與蟻群算法對于模型求解的結果如表4所示。

表4 遺傳算法與蟻群算法的計算結果

由不同方法在置信度為0.95時的計算結果可以發現，改進蟻獅子算法的求解結果優于遺傳算法與蟻獅算法，且其求解效率也高于遺傳算法與蟻獅子算法，因此對于考慮成本因素的M-CVaR模型該算法具備更好的適用性。同時，該算法不需要對金融變量的分布以及市場參數做其余假設，避免了求解時的情景限制，因此其適用于對于多種風險度量下帶現實交易條件的投資組合問題，相對于其余算法更具備普遍性。

4 結 語

本文為了解決有限資產的條件下，對具有不同風險收益特征的證券進行配置的問題，首先建立了考慮交易成本的M-CVaR投資組合模型；其次，引入了改進蟻獅算法對于該模型進行求解；最后，通過對多種證券展開實證分析，證明了改進蟻獅算法求解的可行性以及考慮考慮交易成本對于求解最優投資組合求解的積極性與必要性。目前的研究都假定投資者為理性經濟人，如何應對投資人為非理性情況的研究將是未來繼續研究和努力的方向。