基于泊松多伯努利混合濾波器的新生目標跟蹤

鑑美玉 柳曉鳴

(大連海事大學信息科學技術學院 遼寧 大連 116026)

0 引 言

多目標跟蹤(Multiple Target Tracking，MTT)包括處理從多個目標獲得的量測集以及估計目標的當前狀態[1-3]。解決MTT的難點在于目標和量測之間未知的對應關系。已有的MTT方法有聯合概率數據關聯(Joint Probabilistic Data Association，JPDA)濾波器、多假設跟蹤器(Multiple Hypothesis Tracker，MHT)和基于隨機有限集(Random Finite Sets，RFS)的算法[4]。Mahler基于RFS理論提出了概率假設密度(Probability Hypothesis Density，PHD)濾波器，PHD在現階段依舊被應用在目標跟蹤研究中[5]，接著Vo等提出了基數概率假設密度(Cardinalised Probability Hypothesis Density，CPHD)濾波器，如文獻[6]應用和高斯概率假設密度(Gaussian Mixture Probability Hypothesis Density，GM-PHD)濾波器[7-8]。

研究發現，PHD濾波器可以處理目標的新生、存活和死亡。但是對于新生目標的處理必須要求新生目標強度已知，在處理問題時往往假設其已從量測中獲得并已知。PHD濾波器缺少在本質上檢測新生目標的功能，而新生目標的檢測是多目標跟蹤中重要部分。針對新生目標跟蹤問題，García-Fernández等[9]提出泊松多伯努利混合(Poisson Multi-Bernoulli Mixture，PMBM)濾波器，并利用文獻[10]中的概率生成函數(Probability Generating Functionals，PGFS)和函數導數推導出了基于共軛先驗性質的PMBM濾波器。本文將其應用于新生目標跟蹤研究中。

在MTT濾波中，考慮共軛先驗是有優勢的，在共軛先驗中，后驗分布可以明確地寫成單目標貝葉斯更新的形式。PMBM濾波器的共軛先驗由泊松過程和多伯努利混合(Multi-Bernoulli Mixture，MBM)的并集構成。泊松部分表示在無雜波下從未檢測到的目標(新生目標)，MBM部分表示至少檢測過一次的目標(生存目標)。全局數據關聯就是單目標的數據關聯，每一個目標量測都只對應于一個目標，并且指定了目標基數上的分布而不是唯一基數。

本文提出一種基于PMBM濾波器的新生目標跟蹤方法。針對多目標無虛警研究，不需要假設新生目標先驗信息已知，僅根據量測信息來構建新生目標的強度信息。跟蹤的簡要流程為根據量測信息將泊松過程的量測構建為新生目標，將符合MBM的量測建立存活目標，并將兩者分別進行預測、更新和修剪。并將本文算法與傳統GM-PHD算法進行對比。

1 泊松多伯努利混合模型

1.1 泊松多伯努利RFS模型

基于RFS的方法中，目標狀態和觀測值以有限集的形式表示。系統在k時刻的狀態被建模為一個集合Xk，在k時刻得到的一組測量值記作Zk，包括雜波、目標產生的量測和未知的量測來源。到時刻為止接收到的所有測量集的序列記作[4]。

強度函數為λ(x)的非齊次泊松點過程(Poisson Point Process，PPP)的RFS密度函數為[12]:

(1)

式中：x為單個目標的狀態；X為多個目標的狀態；|X|為集基數表示泊松分布；x∈X為獨立同分布。泊松過程常用于未標記的RFS濾波器中的雜波和新生目標建模。

存在概率r和存在概率密度函數f(x)的伯努利過程的RFS密度函數為：

(2)

式中：|X|為集基數服從參數為r的伯努利分布。標記的伯努利隨機有限集X是一個伯努利隨機有限集X和標簽l的增廣組成對應于非空的伯努利分量x，X={(x,l)}或X=?。伯努利過程可以獲得目標存在和狀態的不確定性，它也被用于標記RFS濾波器來模擬新生目標。

(3)

1.2 貝葉斯濾波器遞歸

根據文獻[6]，可以用基數分布c(n)和聯合條件狀態分布fn(x1,x2,…,xn|n)表示為:

(4)

式中：xi是x的第i個分量。并且帶標簽的RFS和不帶標簽的RFS具有一樣的基數分布。

在式(4)所示的k時刻的多目標分布，在給定k′時刻的所有量測條件下，k時刻的狀態集合的似然函數為fk|k′(Xk|Zk′)，fk(Zk|XK)為k時刻量測的似然函數。根據文獻[4]，貝葉斯濾波器的狀態更新似然函數為:

fk|k(Xk|Zk)∝fk(Zk|Xk)fk|k-1(Xk|Zk-1)

(5)

式中：∝表示約等于。

貝葉斯濾波器狀態預測似然函數表示為：

(6)

貝葉斯濾波器的積分集合為：

xn})d(x1,x2,…,xn)

(7)

1.3 標準化點目標轉換和量測模型

解決基于RFS的MTT問題的動態點目標轉換模型有以下假設[12]：

新生目標根據PPP過程建立，獨立于生存目標。在每個時間步長目標保持生存概率Ps(x)。目標下一時刻的狀態只取決于當前時刻的狀態。目標運動遵循獨立同分布馬爾可夫過程，其狀態轉換密度為fk|k-1(xk|xk-1)。

多目標模型的轉移概率

(8)

建立量測模型有以下假設：

每個目標生成的量測只對應于相應的目標，單目標量測似然函數為fk(zk|xk)。在每個時間步長中可能檢測到目標也可能檢測不到，目標檢測概率為Pd(x)。該傳感器可以接收非目標(雜波)的測量(虛警)。在每個時間步長，雜波服從PPP強度為λc(z)，獨立于目標和目標生成的量測。

多目標量測模型的似然函數可以用卷積形式表示[12]：

(9)

式中：Tk是k時刻目標生成量測；Ck是k時刻雜波量測。

1.4 泊松多伯努利混合濾波器

根據文獻[10]，MTT的PMBM過程的RFS密度函數是獨立PPP和MBM分量的線性組合，其形式可表示為：

(10)

(11)

每個數據關聯假設都是由單個目標假設{h1,h2,…,hN}對應每個目標。假設存在但從未被檢測到的目標被視為未知目標，用PPP分布表示。

在預測步驟中，描述已有軌跡的MBM和描述未知目標的PPP分別被單獨預測。通過建立泊松出生模型，可以將新生目標的PPP合并到預測的PPP中。在更新步驟中，PPP和MBM是獨立更新的。為每一次量測建立兩個單目標假設，然后通過漏檢概率更新PPP強度。

2 線性高斯PMBM濾波算法

2.1 背景假設研究

在文獻[9]的共軛先驗概率中，MBM有一個指標j。j對應一個全局假設，表示測量值與潛在目標之間可能存在的關聯。全局假設可以用單目標假設來表示。單目標假設對應于每個可能探測到目標相關的一系列測量。給定一個單目標假設，這個可能被探測到的目標遵循伯努利分布。因此，每次測量都開始于一個新的單目標假設[13]。在接下來的時間步長中通過將以前的單目標假設與當前的測量值或誤檢值聯系起來去創建新的單目標假設。在沒有不相關的量測并且一個量測只能分配給一個單一的目標假設下即全局假設是這些單目標的集合。

目標狀態估計選擇式(11)的MBM全局假設中最大的權重，則獲得的指標為：

(12)

式中：j*的伯努利分量均值的存在概率大于閾值Γ。

2.2 預 測

假設在前一個時間步長的后驗中，泊松分量強度的后驗高斯混合密度為：

(13)

(14)

(15)

式中：FT為F的轉置。

2.3 更 新

(16)

從共軛先驗更新中得到三種不同類型的更新：未檢測到目標的更新(泊松分量)，第一次檢測到的潛在目標更新和已檢測到的目標更新。泊松部分的更新比較容易。將未檢測目標的更新強度式(16)乘以1-pd。

(1) 第一次檢測到的潛在目標更新(新生目標)。首先遍歷所有的泊松先驗，并對量測值上執行橢球形門控如文獻[9]選擇，以降低計算復雜度。對于那些可以根據門控輸出新軌跡的量測，我們執行貝葉斯更新。z為量測，并給出了rp(z)存在的伯努利分量和目標狀態密度函數pp(x|z)如：

rp(z)=e(z)/ρp(z)

(17)

pp(x|z)=p(z|x)μ(x)/e(z)

(18)

其中：

(19)

ρp(z)=e(z)+c(z)

(20)

式中：c(·)為雜波量測；e(z)為存在量測。為了降低計算復雜度，將式(19)中的高斯混合函數近似為高斯函數，并進行矩陣匹配。確定新創建的MBM的假設權值，ρp(z)是假設權值wj,i首次在全局假設j下檢測到潛在目標測量z。如果全局假設j不考慮這個可能被探測到的目標wj,i=1，則將其存在概率設為0。

(2) 已檢測到的目標更新(生存目標)。通過式(11)的遍歷創建單一目標的假設，rj,i為全局假設為j的第i個目標的生存概率，wj,i為全局假設為j的第i個目標的權重。可得已檢測到的目標的高斯概率假設密度為：

(21)

2.4 基于k-Best方法全局假設的選擇

對于每一個全局假設j在前一個時間步長中，必須通過所有可能的數據關聯假設，從而產生更新的全局假設。這種全局假設的大量增加是共軛先驗計算的瓶頸。然而，基于標記RFS和MHT的文獻，通過使用Murty算法[15]修剪假設的數量來近似這一更新。通過該算法，可以在不評估所有新生成的全局假設的情況下，為給定的全局假設j選擇權值最高的k個新的全局假設。對于全局假設j，所有的量測(不包括門限濾除量測)必須與全局假設j中的現有軌跡相關聯或與一個新軌跡相關聯，并且沒有未分配的測量。然后利用共軛先驗的更新權值構造相應的代價矩陣。假設通過門限后在全局假設j中有n0個舊軌跡，m個量測z1,z2,…,zm。代價矩陣為：

C=-[ln(Wot,Wnt)]

(22)

式中：Wnt=diag(ρp(z1),ρp(z2),…,ρp(zm))，Wnt表示潛在檢測目標的權值矩陣；Wot∈Rm×nj表示生存目標的權值矩陣，nj為全局假設j中前一時刻潛在檢測到的目標個數。Wot中的p、i表示第i個目標相關聯的第p個量測。Wot為:

(23)

2.5 線性高斯PMBM算法流程

步驟1根據當前時刻量測集Z和前一時刻PMBM后驗參數得到當前時刻PMBM后驗參數。

步驟2進行多目標預測。

步驟3進行多目標運動狀態更新。

步驟4修剪。剪去權值低于閾值的成分來修剪泊松部分。保持Nh最大的全局假設來修剪全局假設。刪除存在概率低于閾值或不出現在修剪后的全局假設中的伯努利分量。

3 仿真實驗

圖1 目標真實軌跡

(a) RMS GOSPA誤差

(b) RMS GOSPA 位置誤差

(c) RMS GOSPA 虛假目標誤差

(d) RMS GOSPA 漏檢目標誤差圖2 GOSPA均方根四種誤差算法對比

表1給出了兩種算法GOSPA四種參數的對比。在本文算法GOSPA的誤差均方根減少47%，位置誤差均方根減少24%，錯檢目標誤差均方根減少32%和漏檢誤差均方根減少57%。仿真結果顯示，本文算法不僅跟蹤精度有所提高，而且還分別針對不同誤差進行對比，可以進一步研究更好改進途徑。

表1 GOSPA均方根誤差算法對比

表2給出了兩種算法時間上的對比。從平均每次運行時間可看出，本文算法時間消耗為傳統GM-PHD的4.55倍。GM-PHD需要新生目標的先驗信息，不需要重新去構造出新生目標的強度，從而在時間上應用減少。但是需要先驗信息的假設是不合理的，嚴重依賴先驗信息，容易產生較大誤差，從而限制了其應用。本文算法以時間消耗為代價提高了目標的跟蹤性能。本文應用MATLAB仿真沒有進行算法優化，下一步以計算機的并行處理此方面進行時間改進途徑。

表2 兩種算法運行時間對比 單位:s

4 結 語

針對傳統GM-PHD濾波算法需要先驗的新生目標強度，提出基于PMBM濾波算法。該算法由泊松過程和多伯努利混合形式的并集組成，將當前時刻量測劃分為新生目標量測和存活目標量測，并且分別進行線性高斯形式的泊松強度的新生目標和多伯努利混合分布的生存目標預測、更新和修剪。從實驗仿真效果來看，本文算法可以在新生目標未知的情況下有效地進行跟蹤，其跟蹤精度、誤差優于傳統的GM-PHD濾波算法。接下來可以用該算法去解決航跡初始建立問題和形成問題。