基于粒子群算法的量子測量系統最優參數求解*

杜石橋，李貴蘭，寇軍，郝赫，吳同，秦國卿，高紅衛

（北京無線電測量研究所，北京 100854）

0 引言

基于里德堡原子的量子精密測量方法是通過原子的能級躍遷實現外場測量，具有自校準、高靈敏、寬譜接收等特點，從原理上顛覆了傳統測量方法，在國防、民用和科學研究（計量、無線通訊和天文觀測）等領域中具有明確而廣泛的應用前景，近年來成為研究熱點［1-16］。2012 年，美國俄克拉荷馬大學的J.P.Shaffer 研究團隊首次實現了基于里德堡原子的精密測量［1］。2020 年山西大學團隊提出了原子超外差接收方法，實現了55 nV/cm/Hz1/2的測量靈敏度，將測量靈敏度突破性地提高了約3 個數量級［12］。

在當前的體制下，為了進一步提升靈敏度，需要對整個實驗系統的參數進行全局掃描。然而由于系統包括探測光、耦合光等多個要素，每個要素包含功率、頻率等多個參數，對于包含有N個實驗參數的系統，如果每個參數掃描50 個點，那么所需要的測量總次數為50N，這將需要耗費大量的時間，阻礙靈敏度的快速提升。因此，2022 年武漢數物所團隊通過在實驗上對探測光功率、耦合光功率、探測光頻率等實驗參數進行系統掃描優化，將電場靈敏度提升至12.5 nV/cm/Hz1/2［16］。

為了實現在多維實驗參數空間快速找到最優實驗參數，本文首先對基于里德堡原子的量子測量系統進行仿真建模，建立實驗參數依賴的輸出信號模型，再通過粒子群優化算法進行全局搜索，得到輸出信號最大時的探測光功率和耦合光功率的最優參數。該方法理論上可以擴展到更高維度實驗參數的全局搜索，可指導實驗指標的快速提升，加快量子測量系統的工程化應用。

1 原子超外差測量系統建模

1.1 原子量子測量系統原理

基于里德堡原子的量子測量系統簡易裝置如圖1a）所示，探測激光和耦合激光在充滿堿金屬原子的原子氣室中交疊穿過。在三能級系統|1＞，|2＞，|3＞中，當|2＞，|3＞能級由一個較大的耦合場（耦合激光，其拉比頻率為Ωc）驅動時（如圖1b）所示，其中|3＞態為高激發里德堡態），由于量子干涉在探測激光（拉比頻率為Ωp）的透射譜上會產生電磁誘導透明（electromagnetically induced transparency，EIT）現象，如圖1c）所示。這時通過頻率與能級共振的微波場ΩL會使得EIT 能譜發生劈裂（Autler-Townes，AT 劈裂），劈裂的間距大小等于微波場的拉比頻率ΩL，而拉比頻率值正比于微波場的幅度和能級間的躍遷偶極矩。通過選擇合適的微波場的拉比頻率，使得當微波場幅度變化時探測光的透射率變化幅度最大。通過超外差接收方式［12］，一個頻率為wRF的微波經過混頻會產生一個中頻信號wIF，這個中頻信號會以Ω（t）=Ω0+ΔΩ（t）的形式調制AT 劈裂的幅度。這個調制最終轉化成探測光在共振頻率v0時的幅度變化如圖1d）所示，其中v0是能夠與能級|1＞和能級|2＞共振的探測激光頻率。當選擇合適的ΩL，Ωp等實驗參數時，可以使得透射點的斜率最大，即調制幅度最大，這時候對應信號強度最大［12］。

圖1 里德堡量子測量系統原理圖Fig.1 Rydberg quantum measurement system

1.2 原子量子測量系統建模

本文建立了圖1 中所示的實驗裝置的原理模型，在共振情況下，首先考慮在共振|3＞和|4＞不存在簡并的情況下，以量子態|1＞，|2＞，|3＞和|4＞為基矢的哈密頓量為

在考慮自發輻射的情況下，這樣的四能級系統的密度矩陣的演化可以寫為

式中：D[ρ]為方程的衰減項，其具體形式為

在計算中，由于能級|3＞和|4＞是高激發態里德堡能級，能級壽命相較于能級|1＞和|2＞較長，且能級間隔較小，因此能級|3＞→|4＞之間發生的自發輻射可以省略，γi(i=2，3，4)是衰減項，其中γij=(γi+γj)。

在絕熱近似下，探測激光在穩態原子中透射強度可以以極化率虛部的形式寫出為

式中：Pi為入射光的功率；L為原子腔的長度；k=2π/λp為探測激光的波矢。其中χ（t）=Cρ12（t）為極化率，其中ρ12（t）是|1＞→|2＞躍遷矩陣元的密度矩陣，C=（2Nμ2）/（ε0?ΩP）是與原子密度N、能級偶極矩μ、拉比頻率Ωp相關的常量。實驗上是通過觀測P（t）的變化來進行信號檢測，因此信號強度正比于ρ12（t）的虛部，因此理論上計算ρ12（t）虛部的變化大小ΔIm［ρ12（t）］，即可反映出信號強度的變化。

在方程的求解過程中，取理論和實驗上常用的典型的參數［1，3］，Ωc=1 MHz，Ωp=6 MHz，ΩL=1.2 MHz，ΩS=0.1 MHz，γ2=5 MHz，γ3=500 kHz，γ4=200 kHz。為了模擬待測微波的超外差過程，令ΩL=|ΩL+Ωsexp（iwIFt）|，可以產生中頻信號，如圖2a）所示，在待測微波的作用下，會使得原子對探測光的吸收率發生變化，即透射譜產生中頻信號振蕩形式的信號，通過傅里葉變換，可以在頻域上觀察到中頻信號，信號變化的幅度為ΔIm［ρ12（t）］。

圖2 里德堡量子測量系統建模與計算Fig.2 Modeling and calculations of Rydberg quantum measurement system

為了實現最大信號強度，通過在Ωp在0～6 MHz，Ωc在0～9 MHz 的取值區間上各取50 個點進行計算（由于對全空間的參數進行掃描，計算量較大，共50×50=2 500 個計算樣本點），得到圖2b）所示的信號分布圖。其中信號最大處在Ωp=1.22 MHz，Ωc=3.31 MHz，最大吸收率變化值ΔIm［ρ12（t）］為0.013 1。

2 基于粒子群算法全局搜索

2.1 粒子群優化算法

粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）是由Kenndey 和Eberhart 提出，作為一種隨機全局優化算法，其通過模仿鳥群或魚群的社會行為實現全空間的參數搜索［17］。根據粒子群理論，每個個體的行為受到其他局域與全局最優個體的影響，從而幫助個體朝著更優化方向迭代。更近一步地，每個個體還會從其過去的經驗中學習，調整其飛行的速度與方向。因此，所有的個體最終都將會快速地收斂到全局最優點。粒子群算法是一個高效的全局優化方法，已經成功地應用到許多優化問題上，包括神經網絡、電力系統、軍事等［17-21］。

在里德堡原子量子測量系統中，粒子群優化算法的大致步驟為：

（1）在2 維搜索空間中隨機產生10 個粒子（particle）組成的群體（每個粒子的橫坐標和縱坐標分別代表了探測光和耦合光的拉比頻率ΩP和Ωc）。

（2）所有的粒子都有一個由當前光學參數ΩP和ΩC的信號強度｛ΔIm［ρ12（t）］｝直接對應的適應值（finless value），適應度越大，說明粒子在參數空間中的位置更優。

（3）每個粒子還有一個速度決定它們飛行的距離和方向。在飛行的過程中，粒子會利用自身的飛行經驗和群體的飛行經驗來動態調整自己。調整值為

式中：vk為粒子的速度向量；xk為當前粒子的位置；pbest為粒子本身找到的最優解的位置；gbest為整個種群目前找到的最優解的位置；c0一般取介于（0，1）之間的隨機數，稱為慣性系數或收縮因子。c1和c2稱為粒子的“自身認識因子”和“社會認識因子”，分別用于調整pbest和gbest對粒子吸引的影響強度。粒子飛行軌跡圖如圖3 所示。

圖3 粒子飛行軌跡圖Fig.3 Trajectory of particle flying

（4）經過若干次迭代搜索，最終得到量子系統的最優解。

粒子群優化算法流程如圖4 所示。

圖4 粒子群優化算法流程圖Fig.4 Flow chart of particle swarm optimization

2.2 粒子群光學參數全局搜索

通過應用粒子群算法，本文采用了粒子數為10的種群，即在第1 代的參數空間中隨機產生10 個樣本點，之后以此10 個樣本為起點迭代演化進行全參數空間搜索，設置最大演化代數為10 次。如圖5 所示，圖5a）為第1 代粒子在光學參數空間中的分布，隨著粒子群算法的迭代優化，粒子群漸漸趨向于適應度最優的地方，如圖5b）所示，當迭代10 次之后，粒子群全部集中到全局最優點，如圖5c）所示。這時的信號最大處在Ωp=1.26 MHz，Ωc=3.34 MHz，最大吸收率變化值ΔIm［ρ12（t）］為0.013 1。圖5d）描述的是每代粒子數中的最優適應度隨著演化代數的趨勢圖，由圖可知在8 代時，已經找到全局最優點。而這時總的計算量（10×10=100 個計算樣本），遠小于常規掃描參數（2 500 個計算樣本）的方法，可以大大提升搜索最優參數的速度。經過測試，應用粒子群算法找到全局最優點的成功率大約為70%，通過增加每代粒子群中粒子的數目或改進算法（例如在每代演化中隨機生成一些新粒子），能夠進一步提升成功率。

圖5 粒子群隨著代數的演化Fig.5 Evolution of particle swarms

最后研究比較了不同的速度縮放系數對計算收斂速度的影響，不同序號的取值如表1 所示。計算結果如圖6 所示，可知在社會認識因子c2最大時，收斂速度最快，同時更容易找到最大值。當自身認識因子c1最大時，容易使得粒子困在自身所經歷的局域最優值上，不利于最優參數的搜索。當慣性系數c0最大時，剛開始尋找速度較慢，慢慢地也收斂到了全局最優的地方。

表1 不同速度縮放系數取值Table 1 Different velocity scaling factors

圖6 不同速度縮放系數下適應度隨著代數的變化Fig.6 Evolutions of fitness in different velocity scaling factors

3 結束語

通過對基于里德堡原子的量子測量系統進行仿真建模，得到信號強度與二維光學參數的依賴關系。將粒子群優化算法應用到系統光學參數的全局搜索，可以大大加速系統光學參數的全局優化。最后研究比較了不同的速度縮放系數對算法收斂速度的影響，發現當粒子群以全局最優解為運動最大權重變化方向時，收斂速度最快，同時更容易找到最大值。該方法原則上能應用到更高維度的參數最優求解過程，可指導實驗明確進一步提升系統性能的方向。