GPS輪廓法粗糙度數(shù)據(jù)處理研究與實現(xiàn)

潘麗麗

（?？怂箍抵圃熘悄芗夹g(shù)（青島）有限公司，上海 201100）

產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范（geometrical product specifications, GPS）是一套關(guān)于工件幾何學(xué)的規(guī)范，它覆蓋了尺寸、尺度、幾何公差和表面幾何性能的標準，是國際標準中影響最廣的重要基礎(chǔ)標準之一，是所有機電產(chǎn)品“標準與計量”規(guī)范的基礎(chǔ)，也是制造業(yè)信息化的重要基礎(chǔ)[1]。

表面粗糙度又稱表面光潔度，是指工件表面所具有的較小間距和峰谷組成的不平度微觀幾何形狀的尺寸特性，是用來評價工件表面制造質(zhì)量的重要指標[2]。表面粗糙度的測量方法可分為接觸式測量和非接觸式測量[3]。接觸式測量法即傳統(tǒng)的觸針掃描法，測量結(jié)果穩(wěn)定可靠，測量靈敏度和橫向分辨率較高。

觸針法是采用微米級半徑的觸針與被測工件表面相接觸，在導(dǎo)軌的引導(dǎo)下，觸針在被測工件的表面緩慢滑動?；瑒舆^程中，觸針會隨著工件表面的高低起伏出現(xiàn)上下位移，將這些微小的位移量經(jīng)過傳感器轉(zhuǎn)換成電信號，電信號經(jīng)放大、數(shù)模轉(zhuǎn)換后輸出數(shù)字信號，數(shù)字信號在經(jīng)過濾波和運算后可以得到表面粗糙度的實際相關(guān)參數(shù)。盡管采樣設(shè)備對測量力有嚴格的控制，并且電路中已包含濾波部分，在輸出的數(shù)字信號中依然包含一部分噪聲，比如標稱形狀、由觸針抖動、導(dǎo)軌偏移、來自設(shè)備內(nèi)部和外部的擾動，輪廓信號發(fā)送時帶來的擾動，這些分量不能算是粗糙度輪廓的一部分，因此GPS對數(shù)字信號的處理做了明確的規(guī)定。

按GPS的數(shù)據(jù)處理要求，本文使用最小二乘擬合法消除標稱形狀，以及用高斯濾波的方式實現(xiàn)粗糙度輪廓曲線的分離，完成了算法及程序設(shè)計，并對比了不同參數(shù)和數(shù)據(jù)處理方式對結(jié)果的影響，為評價粗糙度參數(shù)做好了數(shù)據(jù)準備。

1 GPS 數(shù)據(jù)處理要求

1.1 輪廓曲線的定義

全輪廓，即整個測量過程中觸針沿導(dǎo)軌在相交平面內(nèi)移動軌跡的數(shù)字形式，它是一系列點，每個點有橫坐標和縱坐標。全輪廓包含了測量設(shè)備輸出的所有數(shù)字信息，包含噪聲和用于評價粗糙度的有用的輪廓曲線。

原始輪廓，根據(jù)ISO 3274規(guī)定，即將全輪廓消除標稱形狀，然后進行濾波以過濾高頻成分以后所得到的數(shù)據(jù)。由于標稱形狀，不能算是輪廓的一部分，所以在應(yīng)用λs之前，應(yīng)將其從總輪廓中去除，對于測量軌跡是一個圓來說，還需消除半徑分量，而不是將其算在標稱值上[4]。如圖1所示。

圖 1 GPS 粗糙度數(shù)據(jù)處理流程

原始輪廓是評價原始輪廓參數(shù)的基礎(chǔ)，它包含了粗糙度輪廓和波紋度輪廓兩部分。

輪廓曲線濾波器是用來將輪廓曲線分離成長波長成分和短波長成分的過濾器。ISO 4 287定義了3個傳輸特性相同，但截止波長不同的濾波器來分離原始輪廓、粗糙度輪廓和波紋度輪廓，即λs、λc和λf，如圖2 所示[5]。

圖 2 粗糙度輪廓與波紋度輪廓成分的傳輸特性

λs輪廓濾波器：它將波長小于λs的信號分量從全輪廓分離出，因為根據(jù)定義，這些分量不屬于原始輪廓、粗糙度輪廓或波紋度輪廓。

λc輪廓濾波器: 定義粗糙度輪廓成分和波紋度輪廓成分間界限的過濾器。

λf輪廓過濾器：定義波紋度輪廓成分和殘留輪廓成分間界限的過濾器。殘留輪廓是通過跟蹤理想的平整且光滑的平面（光學(xué)平面）而獲得的原始輪廓。它由導(dǎo)軌偏移、來自設(shè)備內(nèi)部和外部的擾動，以及輪廓信號發(fā)送時帶來的偏差組成。如果沒有專用的設(shè)備和合適的環(huán)境，通常無法確定這些偏差的原因。

粗糙度輪廓是通過使用輪廓濾波器λc抑制原始輪廓中的長波分量而獲得的輪廓，它是評價粗糙度輪廓參數(shù)的基礎(chǔ)；波紋度輪廓是通過使用輪廓濾波器λf抑制原始輪廓中長波分量以及使用輪廓濾波器λc抑制原始輪廓中的短波分量而獲得的輪廓，它是評價波紋度輪廓參數(shù)的基礎(chǔ)。

各級濾波器截止波長的選擇跟粗糙度測量設(shè)備的測頭半徑和最大采樣間隔相關(guān)，它們之間的關(guān)系如表1所示。

表1 各截止波長與測頭半徑、采樣間隔之間的關(guān)系

1.2 GPS 數(shù)據(jù)處理要求

對于消除標稱形狀，GPS規(guī)范要求通過最佳擬合最小二乘法將其從全輪廓中去除[4]。

對于數(shù)字濾波器的選擇，應(yīng)使用相位校正濾波器，ISO11562指定為高斯濾波器，且在截止波長處，振幅的衰減率為50%[6]。高斯濾波是一個低通濾波器，但是可以通過組合使用達到帶通濾波器的功能，實現(xiàn)對粗糙度輪廓和波紋度輪廓的提取。

2 數(shù)據(jù)處理的實現(xiàn)

2.1 消除標稱形狀

標稱形狀是在隨機信號中存在線性項或者緩慢變化的、周期大于記錄長度的非線性成分。工程中實際測錄的信號絕大部分都是復(fù)雜周期信號與隨機信號的混合。標稱形狀的存在，會使時域中的相關(guān)分析和頻域中的功率譜分析產(chǎn)生大的誤差，甚至使低頻信號完全失去真實性。因此，消除標稱形狀是數(shù)據(jù)處理中的一個重要步驟[7]。

消除標稱形狀的方法有多種，根據(jù)信號特征，被測試對象的物理模型等因素而定，如瞬態(tài)沖擊數(shù)據(jù)的基線，主要利用初始條件和終了條件來確定修正系數(shù)；對于隨機信號和穩(wěn)定的確定性信號，主要采用對標稱形狀擬合的方法來消除，常用的消除法有平均斜率法和最小二乘法。平均斜率法用于消除信號中的線性標稱形狀。當(dāng)信號中含有線性和非線性標稱形狀時，需要采用最佳擬合最小二乘法，它既可以消除數(shù)字信號中的線性標稱形狀部分，又可以消除非線性的高階多項式標稱形狀部分。由于粗糙度測量數(shù)據(jù)中包含線性和非線性的工件表面形狀成分，所以ISO 3274規(guī)定使用最佳擬合最小二乘法消除標稱形狀[4]。

觸針式粗糙度測量設(shè)備的輸出結(jié)果橫坐標為偏移起始點的距離，縱坐標為測針相對于相交平面的上下移動的位移。如果得到測量數(shù)據(jù)為U，其長度為N，其中的第n項標記為Un，假設(shè)采樣間隔長度為 Δx， 則第n項的橫坐標為xn=nΔx， 用一個K階多項式V來擬合這組粗糙度的測量數(shù)據(jù)U，其中第n項為Vn，為

式中：n= 1, 2, …,N。

根據(jù)最小二乘法原理，選擇合適的系數(shù)pi，使得Un與Vn之間的誤差平方和最小。其誤差平方和為

式中：Un為 原始信號；Vn為 多項式擬合信號；bi為多項式系數(shù)。

根據(jù)極值條件，對平方和公式求偏導(dǎo)數(shù)，并使其等于0，即

上式整理后可獲得K+ 1個方程，

在多項式階數(shù)確定K以后，通過計算可獲得K+ 1個系數(shù)，由此可得擬合的多項式。

例如，當(dāng)K=1時，可求得

依次類推，可求得K不同取值時的多項式系數(shù)，計算稍有復(fù)雜，可以通過編程求得系數(shù)?？梢?，當(dāng)多項式系數(shù)過高時，確實增加了計算量。

筆者推薦一個有效的可求得擬合多項式系數(shù)的數(shù)學(xué)算法庫，Math.NET，它是一個開源的、提供了適合多種編程語言的且使用方便的數(shù)學(xué)算法庫。這里的擬合多項式的系數(shù)可通過一個簡單的方法調(diào)用獲得。

輸入?yún)?shù)X為長度為N的一維數(shù)組，即粗糙度數(shù)據(jù)U的橫坐標值的集合，其中第n項的值為

式中： Δx為粗糙度數(shù)據(jù)的采樣間隔，K為多項式的階數(shù)。返回結(jié)果B為K+ 1 長度的數(shù)組，即為K階多項式的系數(shù)b0, b1, ··, bk。

假設(shè)消除標稱形狀后的粗糙度數(shù)據(jù)為Y，長度為N，其中第n項為Yn，則

C#語言可以用一個簡單的二重循環(huán)完成消除標稱形狀，其中Math.Pow(X[i],j)是Xi的j次冪，即多項式中的第j個分量，完整C#代碼如下。

擬合的多項式中，系數(shù)b0反應(yīng)了信號的均值成分，b1反應(yīng)了信號中的線性標稱形狀，b2反應(yīng)了信號中與采樣間隔平方成正比的非線性標稱形狀，對于選擇高階多項式消除標稱形狀時，要慎重考慮，因為在消除非線性標稱形狀時，是用高階多項式去擬合非線性標稱形狀，這種擬合作用的同時也影響到有用信號，使有用信號中的低階諧波受到一定程度的衰減，這種影響隨著K值的增大而變得顯著。

2.2 高斯濾波

高斯濾波原理是：在對某一點數(shù)據(jù)進行濾波時，利用高斯權(quán)函數(shù)對該點和該點前后一定寬度內(nèi)的數(shù)據(jù)進行加權(quán)，再將加權(quán)后的值進行累加，所得到的便是濾波后的數(shù)據(jù)；實際應(yīng)用過程中，取高斯濾波器權(quán)函數(shù)的寬度為截止波長[8]。

根據(jù)ISO 11562的規(guī)定[6]，相移校正濾波器的權(quán)函數(shù)為高斯密度分布函數(shù)，λco為截止波長（co =cut-off），如式（9）所示[3]。

高斯濾波器的振幅傳輸特性如公式（10）所示。

式中：a0為粗糙度輪廓在濾波前的振幅；a1為粗糙度輪廓在濾波后的振幅。

根據(jù)ISO要求，高斯濾波器在截止波長處，振幅的衰減率為50%，由式（10）可求得 α為常量，為

濾波器的輸出為輸入波形與濾波器的權(quán)函數(shù)做卷積的結(jié)果，因此高斯濾波器的輸出信號為

式中：y(x)為濾波器輸入信號；v(x)為濾波器輸出信號；s(x)為式（9）中高斯濾波器的權(quán)函數(shù)。

采樣點間隔是在粗糙度掃描時由用戶設(shè)定，可根據(jù)表1中數(shù)據(jù)設(shè)置，也可自定義。在粗糙度數(shù)據(jù)處理時，可以當(dāng)作已知常量使用，假設(shè)采樣點間隔為 Δx，則距離中心點第i個點的坐標為

在長度為 λco范圍內(nèi)的采樣點數(shù)為

令xt=it×Δx，將式（12）離散化，得

將高斯濾波權(quán)函數(shù)式（9）代入式（15）得

式中：N由式（14）中定義。

到此，濾波器的算法推算完畢。高斯濾波即是對采樣點進行前面N個點和后面N個的加權(quán)計算，N由濾波器的截止波長和采樣間隔決定。

基于式（16），使用C#語言設(shè)計的濾波器代碼如下：

以上代碼是一個低通高斯濾波器。因為測針的總行程，總比評定長度（5個取樣長度）多1個或者2個取樣長度，所以邊界點的處理方式并不重要，不會影響評定結(jié)果。由圖2可知，粗糙度輪廓是由原始輪廓通過高通濾波器獲得，波紋度輪廓是由原始輪廓通過帶通濾波器獲得，可以該低通濾波器為基礎(chǔ)，通過簡單計算來構(gòu)造高通濾波器和帶通濾波器，代碼如下：

3 實驗結(jié)果

3.1 消除標稱形狀的結(jié)果

圖3為原始的粗糙度測量數(shù)據(jù)，測量長度為4.8 mm，采樣間距為0.5 μm。

圖 3 粗糙度原始數(shù)據(jù)

圖4為一階多項式消除標稱形狀后的結(jié)果。

圖 4 一階多項式擬合消除標稱形狀

圖5到圖7為多階多項式消除標稱形狀后的結(jié)果。

圖 5 二階多項式擬合消除標稱形狀

圖 6 三階多項式擬合消除標稱形狀

圖 7 十階多項式擬合消除標稱形狀

由圖4到圖7的縱坐標變化可見，對于該組粗糙度測量數(shù)據(jù)來說，一階多項式擬合便可消除信號中的均值成分（見圖4），二階多項式擬合比一階多項式擬合又多消除了一些分量（圖5），三階多項式擬合與二階多項式擬合相比，消除標稱形狀后的波形并沒有明顯的變化（圖6），但十階多項式擬合消除標稱形狀后波形又有振幅增加的趨勢（圖7）。因此對于該組粗糙度測量數(shù)據(jù)的評價，選擇二階多項式擬合消除標稱形狀可以滿足要求。

3.2 高斯濾波結(jié)果

本文所測試粗糙度測量數(shù)據(jù)，測頭半徑為2 μm，采樣間距為 0.5 μm，所以λs選擇 2.5 μm，λc選擇0.8 mm，λf為兩個λc的長度，即1.6 mm。

3.2.1 原始輪廓波形

將λs=2.5 μm作為參數(shù)傳遞給上述低通濾波器，將波長小于λs的分量從全輪廓中濾除而得到原始輪廓。所得結(jié)果如圖8所示（為使3種曲線對比有更明顯的效果，此處設(shè)置的多項式系數(shù)為1）。

圖 8 原始輪廓曲線

3.2.2 波紋度輪廓波形

將λc=0.8 mm ,λf=1.6 mm作為參數(shù)傳遞給上述帶通濾波器，將波長在λc和λf之間的部分從原始輪廓中分離出來得到的波紋度輪廓如圖9所示。

圖 9 波紋度輪廓曲線

如果不過濾掉殘留輪廓，可見波紋度輪廓因為混雜了噪聲，有非常明顯的波動幅度，如圖10所示。

圖 10 波紋度輪廓曲線 (含殘留輪廓）

3.2.3 粗糙度輪廓波形

將λc=0.8 mm作為參數(shù)傳給給上述高通濾波器，將低于λc的波形分量從原始輪廓中分離出來便可得到粗糙度輪廓，如圖11所示。

圖 11 粗糙度輪廓曲線

3.2.4 3種輪廓波形比對

將上述3種曲線合并在1張圖上，可看出，如果沒有濾除殘留輪廓，波紋度輪廓曲線與粗糙度輪廓曲線疊加可得原始輪廓曲線，因為原始輪廓是包含殘留輪廓的，如圖12。

圖 12 輪廓曲線疊加（含殘留輪廓）

將殘留輪廓濾除的輪廓曲線疊加如圖13所示。可見殘留輪廓的存在只影響到波紋度輪廓，并不會影響到粗糙度輪廓，這跟圖2的定義一致。

圖 13 輪廓曲線疊加（無殘留輪廓）

4 結(jié)語

在產(chǎn)品設(shè)計和開發(fā)過程中，遵循GPS規(guī)范對保障產(chǎn)品性能非常重要。筆者按照GPS規(guī)范的要求，對粗糙度數(shù)字信號處理進行了深入研究，并實現(xiàn)了符合GPS規(guī)范的粗糙度數(shù)字信號處理算法：

（1）使用最小二乘擬合法將影響粗糙度評價結(jié)果真實性的標稱形狀去除。對比了不同多項式階數(shù)的輸出結(jié)果，二階多項式比較適合本文所用實驗數(shù)據(jù)。

（2）通過將高斯濾波權(quán)函數(shù)與輸入波形的卷積離散化，得到高斯濾波輸出的數(shù)字信號公式，并使用此公式實現(xiàn)低通濾波器、帶通濾波器及高通濾波器，以濾除高頻噪聲和殘留輪廓成分，提取出原始輪廓、粗糙度輪廓和波紋度輪廓。

基于試驗結(jié)果可發(fā)現(xiàn)，算法參數(shù)的選擇在數(shù)字信號處理中至關(guān)重要，應(yīng)根據(jù)數(shù)據(jù)處理方法和測試數(shù)據(jù)特性做出嚴格選擇，可參考輸出信號進行參數(shù)調(diào)整。經(jīng)過該數(shù)據(jù)處理過程得到的結(jié)果為后期的粗糙度參數(shù)評價做好了數(shù)據(jù)準備。