基于廣義預(yù)測控制的多電機(jī)環(huán)形耦合升降同步控制研究

孫 俊，俞國燕,2*

(1.廣東海洋大學(xué) 機(jī)械與動力工程學(xué)院，廣東省海洋裝備及制造工程技術(shù)研究中心，湛江 524088；2.南方海洋科學(xué)與工程廣東省實驗室（湛江），湛江 524025)

0 引言

隨著多電機(jī)傳動系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用，為提高其動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，對多電機(jī)協(xié)調(diào)同步控制方法的研究成為了國內(nèi)外學(xué)者重點關(guān)注的問題[1,2]。

在多電機(jī)傳動系統(tǒng)中，由于存在著電機(jī)驅(qū)動特性不適配、電機(jī)到被控對象的傳動特性不一致、負(fù)載的擾動等問題，目前是從同步策略和控制算法兩個方面來解決電機(jī)傳動過程中的異步問題：針對工業(yè)中使用的多電機(jī)控制策略主要有為并聯(lián)控制策略、主從同步、偏差耦合、相鄰交叉耦合、環(huán)形耦合等同步策略[3]，前者并聯(lián)和主從同步策略由于電機(jī)之間沒有耦合作用目前使用較少，而相鄰交叉耦合非全局耦合，電機(jī)間的誤差需要層層傳遞，產(chǎn)生一定的滯后性影響電機(jī)的同步性能，偏差耦合隨著電機(jī)數(shù)量的增加控制器和補(bǔ)償器的數(shù)量大量增加，在多電機(jī)同步升降工況下時，電機(jī)之間應(yīng)具有耦合作用、控制結(jié)構(gòu)和控制算法不易繁瑣。其中，環(huán)形耦合同步控制使用控制器少，控制對象之間具有耦合作用，是一種較好的同步控制方案[4]。

隨著現(xiàn)代控制算法的發(fā)展，針對多電機(jī)同步升降是一個大型復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，具有強(qiáng)耦合等特點，僅僅依靠傳統(tǒng)的PID控制無法達(dá)到高性能的要求。文獻(xiàn)[5]運用模糊控制和交叉耦合控制策略對多油缸進(jìn)行同步控制，并取得不錯的效果，但其依賴精確的數(shù)學(xué)模型，在實際使用中無法保證其穩(wěn)定性，文獻(xiàn)[6]運用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)引入到控制器中來處理此類非線性問題，但是需要大量在線計算，對控制器的性能有一定的要求。還有使用其他控制算法如：積分滑膜、H∞、自適應(yīng)模糊控制等算法[7～9]。廣義預(yù)測控制算法(GPC)是通過模型參數(shù)識別、多部預(yù)測、滾動優(yōu)化和反饋校正的思想，得到最優(yōu)控制輸出的控制方法。對于具有時變特性、強(qiáng)耦合、不確定性和非線性的多變量復(fù)雜系統(tǒng)有著明顯的優(yōu)勢，并且當(dāng)被控對象不易建立精確數(shù)字模型時，具有良好的響應(yīng)性和魯棒性。

基于以上分析，本文以多電機(jī)同步升降系統(tǒng)為背景，將環(huán)形耦合控制策略用于多電機(jī)的同步控制，結(jié)合現(xiàn)代控制方法能夠提高控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度和同步的跟蹤性能。并且，為減小多電機(jī)升降系統(tǒng)在升降工況下多電機(jī)的同步誤差以及跟蹤誤差，在有擾動的情況下確保平臺在升降過程中保持水平，本研究針對多電機(jī)升降系統(tǒng)具有非線性、強(qiáng)耦合性、時變性等性質(zhì)，基于統(tǒng)一建模的思想，簡化傳統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，提出一種基于廣義預(yù)測控制的環(huán)形耦合同步控制算法，將多個電機(jī)視為一個整體建立統(tǒng)一的受控自回歸積分模型，利用環(huán)形耦合同步策略的思想，將跟蹤誤差和同步誤差同時納入二次性能指標(biāo)函數(shù)中，得出每臺子電機(jī)的最優(yōu)信號輸入，從而減小每臺相鄰的電機(jī)之間同步誤差，最后通過耦合環(huán)的實現(xiàn)所有電機(jī)的同步控制，進(jìn)而保證平臺的連續(xù)升降。

1 多電機(jī)升降平臺模型建立

在忽略鐵芯的損耗以及磁場間隙的理想條件下，電機(jī)的模型的微分方程可以表示為[10]：

其中：U和θ分別為電機(jī)電壓和電機(jī)的轉(zhuǎn)角，J為電機(jī)的轉(zhuǎn)動慣量，f為電機(jī)的阻尼系數(shù)，R為電機(jī)的電樞電阻，Ce為電機(jī)的電勢系數(shù)，Cm為電機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

通過拉普拉斯變換得到傳遞函數(shù)為：

電機(jī)輸出軸經(jīng)齒輪減速箱（減速比Z1/Z2）后，再通過齒輪齒條的機(jī)械傳動作為平臺升降的動力源。不考慮傳動過程中誤差的情況下，電機(jī)的轉(zhuǎn)角θ和輸出位置Y之間的傳遞函數(shù)為：

其中D為齒輪分度圓的周長。

故單腿模型傳遞函數(shù)為：

2 控制方法

2.1 同步控制策略

為了保證升降平臺在升降過程中平穩(wěn)性，平臺升降過程中每個樁腿在相同時刻的位移量相同，所以不僅僅要對每臺電機(jī)進(jìn)行精確位置跟蹤控制，還要求多臺電機(jī)之間同步精度高。環(huán)形耦合控制策略是基于誤差補(bǔ)償?shù)牟⑿锌刂频乃枷氘a(chǎn)生的。為了控制n臺電機(jī)同步跟隨給定期望軌跡，不僅考慮每臺電機(jī)的實際位置與給定值之間誤差（跟蹤誤差）的同時，還需考慮該電機(jī)輸出位置與相鄰一臺電機(jī)位置之間的誤差（同步誤差）。由圖1所示，將1號電機(jī)與2號電機(jī)的差值定義為1號電機(jī)的同步誤差，通過將1號電機(jī)的同步誤差輸入1號電機(jī)的補(bǔ)償控制器，形成1號與2號電機(jī)的耦合，同樣將第i臺電機(jī)和第i+1臺電機(jī)耦合，將第n臺電機(jī)與第一臺電機(jī)耦合，最終形成耦合環(huán)。耦合環(huán)可以將單個電機(jī)受到的擾動通過補(bǔ)償控制器傳遞給相鄰電機(jī)，相鄰電機(jī)又通過自身跟蹤控制器修正擾動誤差，最終使系統(tǒng)的跟隨過程的動態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)性能進(jìn)一步提高，系統(tǒng)抗魯棒性加強(qiáng)。

圖1 環(huán)形耦合同步控制結(jié)構(gòu)

2.2 控制器的設(shè)計

首先定義電機(jī)跟蹤誤差與同步誤差，設(shè)第i臺電機(jī)在t時刻的位置跟蹤誤差為：

式(4)中，yri(t)為第i臺電機(jī)給定的期望位置軌跡；yi(t)為第i臺電機(jī)的實際位移。

設(shè)兩臺相鄰電機(jī)間的同步誤差為：

廣義預(yù)測控制方法是基于系統(tǒng)的離散模型下運行，將式(3)在加入零階保持器的情況下進(jìn)行Z變換，得到受控自回歸平均(CARIMA)模型：

為了簡化系統(tǒng)模型可以將多個電機(jī)統(tǒng)一建模，可以將多個CARIMA模型寫成矩陣的形式。

式中：

其中：

Δ=1-z-1為差分算子，ξ(k)為隨機(jī)干擾序列。式(6)多電機(jī)系統(tǒng)的統(tǒng)一CARIMA模型，簡化了傳統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)。

為了實現(xiàn)模型參數(shù)的在線識別可以將式(6)改寫成：

然后通過漸消記憶的最小二乘法來估計模型參數(shù)：

得到了模型參數(shù)后為了獲得輸出U的j步的最優(yōu)控制引入丟番圖方程：

此時第i臺電機(jī)在t時刻的第1步至j步預(yù)測輸出可以表示為：

式中：

L為Np×Nu維矩陣：

同時，對于上市問題，宗慶后此前一直堅持娃哈哈不差錢、不上市。而今年3月，也有媒體報道稱，娃哈哈開始為上市而瘦身——清退員工股份。宗慶后也改口表示，未來如果有大的產(chǎn)業(yè)要投資，娃哈哈也要上市募集資金。

H為Np×nb維矩陣；

G為Np×na+1維矩陣

令：

則：

假設(shè)期望軌跡為式(9),引入柔化系數(shù)α保證系統(tǒng)在控制過程中平穩(wěn)輸出，要求0＜α＜1。

為了能夠讓電機(jī)快速跟蹤的同時有良好的跟蹤精度，在原有包含了跟蹤誤差的性能指標(biāo)函數(shù)中加入同步誤差的影響，其二次性性能指標(biāo)函數(shù)為：

其中：

由式(10)可知當(dāng)有N個被控對象時，基于環(huán)形耦合的思想選取相鄰的兩兩電機(jī)為一組，可以將該性能二次指標(biāo)函數(shù)分成N個優(yōu)化函數(shù)。可以寫成：

將J1展開可以推導(dǎo)得到：

觀察式子(11)每個電機(jī)最優(yōu)控制信號都包含相鄰電機(jī)信息，從而保證了電機(jī)間的耦合作用，提高同步性能，并且優(yōu)化過程是隨著預(yù)測步長不斷的向前滾動，得到每時刻的局部最優(yōu)解，不是只對全局目標(biāo)進(jìn)行一次優(yōu)化。

最后將式(11)中ΔU1作為1號電機(jī)t時刻的最優(yōu)控制輸入增量，重復(fù)上述至t+1時刻，直到系統(tǒng)收斂：

3 仿真實驗

3.1 無擾動狀態(tài)下仿真試驗

假設(shè)升降系統(tǒng)中各電機(jī)模型參數(shù)相同，對多電機(jī)同步升降系統(tǒng)同步控制進(jìn)行仿真，平臺以4個電機(jī)作升降系統(tǒng)的動力源在有擾動的情況和穩(wěn)態(tài)運行的情況下，分別使用傳統(tǒng)主從PID方法和基于廣義預(yù)測環(huán)形耦合方法進(jìn)行仿真，研究在不同控制方法下的跟蹤效果和同步的精確度。電機(jī)各參數(shù)見表1。將系統(tǒng)模型參數(shù)代入式(3)，取采樣周期ts為0.01進(jìn)行Z變換從而離散化，經(jīng)過反復(fù)的實驗取最優(yōu)得Nu=2NP=8，加權(quán)系數(shù)λ=0.8柔化系數(shù)α=0.3誤差系數(shù)β=0.8，經(jīng)過6000步在沒有擾動的情況下仿真結(jié)果如圖2、圖3所示。

圖2 傳統(tǒng)主從PID控制方法仿真曲線

圖3 基于預(yù)測控制的環(huán)形耦合控制方法仿真曲線

表1 電機(jī)模型參數(shù)

由圖2、圖3可知，采用兩種不同的控制方法時在沒有擾動的情況穩(wěn)態(tài)的同步誤差都為0，但是由于傳統(tǒng)主從同步控制方法，是讓從電機(jī)跟隨主電機(jī)，導(dǎo)致主電機(jī)和期望軌跡間跟蹤誤差加入從電機(jī)中產(chǎn)生滯后性，最終使得單電機(jī)跟蹤性能差，同步精度低；采用廣義預(yù)測環(huán)形耦合方法在系統(tǒng)輸入信號發(fā)生階躍的情況下收斂速度更快，電機(jī)間由于耦合環(huán)相互補(bǔ)償?shù)母S同步性能瞬態(tài)性能更好。

3.2 擾動狀態(tài)下仿真試驗

在上述條件不變的情況下，對第1臺電機(jī)施加高頻隨機(jī)擾動，同時在3000步時加入10個采樣周期15%幅值的階躍信號，仿真如圖4、圖6所示，對比兩種控制方法，采用廣義預(yù)測結(jié)合環(huán)形耦合的控制方法通過不斷的滾動優(yōu)化能明顯抑制高頻噪聲，對比圖5，7同步誤差較傳統(tǒng)主從PID減少了4倍；在受到階躍響應(yīng)擾動的情況下傳統(tǒng)主從由于從電機(jī)的只對主電機(jī)有跟隨性，收斂時間相較于廣義預(yù)測環(huán)形耦合控制方法長了1.7倍，觀察圖8中采用廣義預(yù)測環(huán)形耦合控制中控制輸入Uk，當(dāng)系統(tǒng)1號電機(jī)受到階躍信號擾動時同步誤差E(t)增大，1號電機(jī)控制輸入瞬間增大，其他電機(jī)在在環(huán)形耦合環(huán)的作用控制輸入增大，經(jīng)過約50個采樣周期后其他電機(jī)收斂至穩(wěn)定后，經(jīng)過約150個采樣周期所有電機(jī)收斂穩(wěn)定，同步和跟蹤誤差同步趨于零，由此可以說明基于廣義預(yù)測環(huán)形耦合控制方法，可以通過相鄰間電機(jī)的誤差補(bǔ)償?shù)挠行У膶⒍秳觽鬟f，再利用算法中預(yù)測反饋快速消除誤差，該方法有效的提高同步跟蹤中的動態(tài)性能。

圖4 基于主從PID控制擾動仿真曲線

圖5 基于主從PID控制同步誤差

圖6 基于預(yù)測控制的環(huán)形耦合控制方法擾動仿真曲線

圖7 基于預(yù)測控制的環(huán)形耦合控制方法同步誤差

3.3 仿真結(jié)果分析

將環(huán)形耦合同步控制策略與廣義預(yù)測控制算法相結(jié)合的控制方法，對高頻噪聲擾動的抑制效果明顯，有效的增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性抗干擾性，當(dāng)系統(tǒng)受到階躍干擾信號時，該方法始終能保持系統(tǒng)的快速響應(yīng)，系統(tǒng)輸出的到最優(yōu)控制，短時間內(nèi)可以使得誤差收斂為零，抑制抖動。該方法能準(zhǔn)確跟蹤運動軌跡，提高同步跟蹤的瞬態(tài)性能使得系統(tǒng)始終能保證良好的位置跟蹤控制精度和系統(tǒng)同步精度。

4 結(jié)語

在多電機(jī)同步升降系統(tǒng)中，考慮平臺升降過程中電機(jī)組的參數(shù)變化負(fù)載擾動等因素帶來的位置變化引起的擾動，由最優(yōu)控制的思想，提出基于廣義預(yù)測控制結(jié)合環(huán)形耦合控制方法，該方法的優(yōu)點有：統(tǒng)一建立多電機(jī)受控自回歸模型使得電機(jī)數(shù)量增多時，簡化其控制結(jié)構(gòu)以及參數(shù)調(diào)整過程。在線滾動優(yōu)化同步跟蹤誤差，通過仿真與傳統(tǒng)主從式PID方法作對比，實驗表明，該方法能有效抑制高頻噪聲帶來的抖動魯棒性強(qiáng)，同時具有良好的動態(tài)跟蹤響應(yīng)和良好的同步精度。