Gronwall不等式的推廣

石 婷，孫 甜，張 輝

（安慶師范大學 數理學院，安徽 安慶 246133）

Gronwall不等式是一類非常重要的不等式，其廣泛應用在數學的各個分支。該不等式主要通過微分或積分等方式獲得未知函數的數值估計，在利用偏微分方程進行能量估計方面尤為重要。然而，經典的Gronwall不等式在具體應用時有一定的局限性。許多學者對該不等式進行了改進和推廣[1-8]。例如，文獻[1]研究了具有多個奇異點的廣義Gronwall不等式。文獻[2]將經典的Gronwall不等式應用到由實際問題所提出的偏微分方程組。文獻[4]通過構造輔助函數，得到了證明Gronwall不等式的一個新方法，拓寬了學術思維。也有學者運用多種數學方法對一般的Gronwall不等式進行延拓，推廣了高階線性不等式、一階線性Gronwall 不等式等，且其推廣結果有著廣泛應用[6-8]。本文從經典的Gronwall 不等式出發，對其基本結構進行了改進并獲得相應結果。與其他文獻相比，本文推廣方式沒有改變不等式的基本結構，而形式也沒有變復雜，可以使讀者更好理解其基本思想，為開展深入研究提供了有益參考。

1 經典Gronwall不等式

經典的積分型Gronwall不等式可以表述如下[9]：

定理1設E(t)是定義在[0,T]上的一個非負連續函數，且滿足不等式

其中，c、M均為正常數，則對任意的t∈[0,T]，有E(t)≤Mect。

2 Grownwall不等式的推廣

通過改變經典的積分型Gronwall 不等式條件，如定理1 的不等式（1），考慮被積函數的冪次發生改變、常系數換成變系數，以及被積函數再乘以一個函數的多種組合情況，可得到定理2-8。

2.1 對積分號內E(t)的次數進行改進

文獻[10]推廣了n維空間下的Gronwall不等式，但其被積函數的冪次為1。在本文中，我們將討論被積函數的冪次不再是1時，即當E(t)的次數滿足0<α<1與α>1的兩種情形（此時討論的是一維空間，n維空間可以類似推導），分別得到如下兩個結論。

定理2設E(t)是定義在[0,T]上的一個非負連續函數，且滿足不等式

由定理2可知，當被積函數E(t)的次數為0<α<1時，E(t)可以找到一個控制函數。

定理3設E(t)是定義在[0,T]上的一個非負連續函數，且滿足不等式

2.2 對常數c和M進行改進

同時改變定理1中c、M的條件，利用分離變量的方法，找到合適的積分因子，從而也能夠找到一個E(t)的控制函數。

定理4設E(t)是定義在[0,T]上的一個非負連續函數，c(t)、M(t)為正連續函數，且滿足不等式

2.3 對積分號內E(t)乘以一個正連續函數來改進

在定理1基礎上將被積函數乘以一個正連續函數k(t)，推導發現，利用變量分離和通過找合適的積分因子的方法，也可以得到類似于定理1的結論，即找到一個E(t)的控制函數。

定理5設E(t)是定義在[0,T]上的一個非負連續函數，k(t)為正連續函數，且滿足不等式

以上只是對定理5證明的一種思路。事實上，通過不等式（7）直接變形，然后對變形后的結果直接積分，也可以得到定理5的結論。以下給出定理5的另一種證明。

2.4 對積分號內E(t)乘以一個正連續函數與其次數來改進

文獻[11]建立了函數矩陣中的一個Gronwall型積分不等式，另外文獻[12]對Gronwall不等式進行了推廣并應用在一階常微分方程Cauchy 初值問題研究中，但被積函數冪次均為1。因此，本文考慮了當E(t)的次數為0<α<1和α>1時的結果，并分別得到定理6和定理7。

定理6設E(t)是定義在[0,T]上的一個非負連續函數，k(t)為正連續函數，同時0<α<1，且滿足不等式

2.5 對常數c、M以及積分號內E(t)乘以一個正連續函數來改進

同時改變定理5中不等式（7）的c、M條件，利用分離變量的方法找到合適的積分因子，也能夠找到一個E(t)的控制函數，從而得到定理8。

定理8設E(t)是定義在[0,T]上的一個非負連續函數，k(t)、c(t)、M(t)為正連續函數，且滿足不等式

同時對上式兩邊t積分，得

由條件可知E(t)≤cI(t)+M，則不等式可轉化為

3 結束語

通過對經典Gronwall不等式諸多條件運行推廣來得到了更為一般性的結論，同時由條件給出的函數和積分的不等式關系，結合分離變量和積分求解等方法得到函數E(t)的控制函數，并對E(t)值大小進行了上限估計。