一類混合Hadamard型分數(shù)階微分系統(tǒng)解的存在性

李耀紅，張海燕

（宿州學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽 宿州 234000）

近年來，分數(shù)階導數(shù)已成為用來描述分數(shù)階微積分理論[1]、力學與工程建模問題[2]、控制和同步[3]的重要工具，與之相關的分數(shù)階微分方程的可解性問題備受關注，如解的唯一性[4]、解的存在性[5]、正解的存在性[6]、解的迭代逼近序列[7-8]、解的可控性和穩(wěn)定性[9]。另一方面，作為分數(shù)階邊值問題的一種推廣，Riemann-Liouville分數(shù)階混合微分方程兩點邊值問題[10]、Caputo分數(shù)階混合微分兩點邊值問題[11]，以及Caputo-Hadamard分數(shù)階混合微分方程兩點邊值問題[12]也引起了數(shù)學工作者的關注。混合微分方程是指方程的導數(shù)項中含有線性、二次攝動，以及線性與二次攝動的組合項。而二次攝動在非線性振動問題、非牛頓流體力學、復合材料結構分析中有重要應用。

分數(shù)階混合微分問題最初由Dhage和Lakshmikantham[13]于2010年提出，并基于攝動應用背景，給出了一個新的不動點理論，其能有效解決一類分數(shù)階混合微分邊值問題中出現(xiàn)的多算子問題，彌補了常見不動點定理僅處理單個算子方程問題的不足。

2014年，Ahmad和Ntouyas[15]提出了一類混合Hadamard型微分方程邊值問題

并研究了其解的存在性。隨后，獲得了下列混合Hadamard型微分方程邊值問題[16]

的解的存在性，這里右側邊界條件比文獻[15]更具有一般性。文獻[17]對Hadamard型微分方程、系統(tǒng)和微分包含等問題進行了系統(tǒng)研究，將文獻[16]推廣到微分系統(tǒng)的情況，邊界條件不具有耦合性。同時，在非局部的熱彈性學[2]、控制系統(tǒng)[3]、工程力學建模[18]等交叉學科領域應用問題中，出現(xiàn)了許多耦合的分數(shù)階微分系統(tǒng)，對其進行研究具有重要價值。

受上述文獻啟發(fā)，本文考慮一類具有耦合邊界條件的混合Hadamard型分數(shù)階微分系統(tǒng)

本文通過定義一個新的乘積范數(shù)，構建新的Banach空間，將系統(tǒng)（1）轉化為等價積分方程系統(tǒng)，通過引入多個積分算子，在適當?shù)姆蔷€性條件下，應用Dhage不動點定理，獲得該系統(tǒng)解的存在性充分條件。

1 預備知識

定義連續(xù)函數(shù)空間X=C([1,e],R)，其在范數(shù)||x||=sup{|x(t)|:t∈[1,e]}下是一個Banach 空間，在乘積定義(x,y)(t)=x(t)?y(t),t∈[1,e]下是一個Banach代數(shù)。

定義1[1]Hadamard型α>0分數(shù)階導數(shù)的定義為

其中g:[1,+∞)→R為連續(xù)函數(shù)，[α]表示α的整數(shù)部分，n=[α]+1。

定義2[1]Hadamard型α>0分數(shù)階積分的定義為

其中g:(0,+∞)→R為可積函數(shù)。

定義3[19]設是Banach空間，如果存在一個常數(shù)LA>0，對任意的x,y∈，滿足

引理1[14]（Dhage）設S是Banach代數(shù)中的一個非空有界凸閉集，若算子Α:→和Β:S →滿足下列條件：（C1）A是Lipschitz的，且存在Lipschitz常數(shù)LΑ；（C2）B是全連續(xù)的；（C3）若x=ΑxΒy，則對任意y∈S，必有x∈S；（C4）LAMB<1，其中MB=||B(S)||=sup{||Bx||:x∈S}，則算子方程x=ΑxΒx在S中至少有一個解。

2 主要結果及證明

引理2令f1∈C([1,e]×R×R,R{0})，g1∈C([1,e]×R×R,R)，則Hadamard型分數(shù)階微分方程

等價的積分表達式為

證由文獻[15]知，方程（2）的一般解為

注記1混合分數(shù)階微分方程（2）在[1,e]上有解等價于積分方程（3）在[1,e]上有解。混合分數(shù)階微分系統(tǒng)（1）在[1,e]上有耦合解等價于積分系統(tǒng)（5）在[1,e]上有耦合解。

為方便后續(xù)證明，給出如下假設：

下面僅需討論系統(tǒng)（5）解的存在性。令

則積分系統(tǒng)（5）可以改寫為A(x,y)(t)B(x,y)(t)=(x,y)(t),t∈[1,e]，即有

下面分四步證明算子A和B滿足引理1的所有條件。

于是，由算子A的定義可得

故算子Α=(A1,Α2)在中是Lipschitz的，其中Lf=Lf1+Lf2是Lipschitz常數(shù)，所以引理1的條件（C1）滿足。

第二步。先考慮算子B在S上是緊算子。令(x,y)∈S，由假設（E2）和（E3）可知

接著證明{Β(xn,yn)}是S上的等度連續(xù)函數(shù)序列。令?τ1,τ2∈[1,e],τ1<τ2，則

當τ1→τ2時，對任意的(x,y)∈S,|Β1(x,y)(τ1)-Β1(x,y)(τ2)|→0，即Β1(S)是等度連續(xù)的。同理，對任意的(x,y)∈S,|Β2(x,y)(τ1)-Β2(x,y)(τ2)|→0，即Β2(S)也是等度連續(xù)的，即Β(S)是等度連續(xù)的。因此算子B是從S到的一個緊算子。

最后考慮算子B 的連續(xù)性。取(xn,yn),(x,y)∈S 且(xn,yn)→(x,y)，結合算子B 的一致有界性，由Lebesgue控制收斂定理有

因此算子Β(xn,yn)=(Β1(xn,yn),Β2(xn,yn))在[1,e]上收斂于Β(x,y)，故算子B是連續(xù)性的。

綜上所述，由Azela-Ascoli定理知算子B在S中是全連續(xù)的。故引理1的條件（C2）滿足。

因為||(x,y)||=||x||+||y||，即有||(x,y)||≤ρ，因此引理1的條件（C3）滿足。

第四步。因為

故由假設條件（E4）知Δ=LfMB<1，引理1的條件（C4）滿足。

綜上所述，算子A和B滿足引理1的所有條件，由Dhage不動點定理知積分系統(tǒng)（5）至少有一個解，即混合Hadamard型分數(shù)階微分系統(tǒng)（1）在[1,e]中至少有一個解。定理1得證。

3 應用實例

例1考慮下列混合Hadamard型分數(shù)階微分系統(tǒng)

故由定理1可知，混合Hadamard型分數(shù)階微分系統(tǒng)（6）至少存在一解。

4 結論

本文借助Dhage不動點定理和新的乘積范數(shù)定義，在Banach空間中獲得了一類具有耦合邊界條件的混合Hadamard型分數(shù)階微分系統(tǒng)解的存在性判定充分條件。并通過一個具體實例說明了所得結果的正確性和可行性。需要指出的是，Dhage不動點定理是解決微分方程中多算子問題的有力工具，本文的思路方法為后續(xù)其它混合型分數(shù)階微分系統(tǒng)的研究提供了參考。