基于新型趨近律的永磁同步電機調速研究

鄧豪，何志琴

（550025 貴州省 貴陽市 貴州大學 電氣工程學院）

0 引言

永磁同步電機因具有高功率密度、體積小、調速范圍廣、高可靠性等特點，在工業控制、航空航天、電動汽車、醫療器械領域具有廣泛應用[1]。當前，永磁同步電機矢量控制方式下，速度環常采用PI 控制。由于PI 控制簡單，易于實施，參數調整簡單受到了廣大工程師的青睞。但是，由于永磁同步電機是多變量、強耦合、非線性控制對象[2]，PI控制只能滿足工況簡單的環境，當受到外界擾動以及工況突變的情況下，系統的魯棒性將受到較大影響。對于高精度控制場所來說，簡單的PI 控制已不能瞞住社會的需求。隨著控制理論的發展，許多學者不斷追求更好的控制方法。目前永磁同步電機調速常有模糊控制[3]、神經網絡控制[4-5]、預測控制[6]、自抗擾控制[7]、滑模控制[8-9]。

滑模控制作為一種非線性變結構控制，在系統參數變化以及工況發生變化時，具有很好的抗擾能力和魯棒性，被廣泛應用于永磁同步電機調速系統中。但是滑模控制在滑動模態時，會在滑模面進行來回穿越產生抖振，如果不經過處理直接應用于永磁同步電機控制，會引起系統不穩定。因此許多學者采用了不同辦法來消除控制過程中會帶來的抖振。何秋生等[10]提出一種非奇異終端滑模面應用于永磁同步電機直接轉矩調速系統中。非奇異終端滑模面能夠在有限時間收斂，提高系統動態性能。同時結合趨近律設計了永磁同步電機速度環滑模控制，為了進一步減小抖振，引入模糊控制進行參數自適應調整，有效減小了抖振帶來的影響，提高控制器動態品質；郭征華等[11]在傳統指數趨近律中引入系統的狀態變量來設計新型趨近律，加快了趨近過程。同時，當系統狀態處于滑動模態時，系統在滑模面上的切換過程不再是帶狀，而是逐步減小的過程；夏先齊等[12]由于傳統等速趨近律無法兼顧抖振和快速性之間的矛盾，提出一種新型趨近律應用于光電平臺伺服系統中。由于該趨近律能夠自適應變化，很好地抑制了抖振。同時，為了提高光電平臺伺服系統的抗干擾，引入擴張狀態觀測進行觀測，并進行前饋補償，提高了系統的魯棒性；Wang 等[13]針對傳統指數趨近律的缺陷，提出一種改進的指數趨近律，同時使用模糊控制對滑模參數進行自適應調整。為了進一步提高系統的魯棒性，使用擴張狀態觀測器對負載擾動以及未知的擾動進行前饋補償，通過實驗驗證了設計滑模速度環控制器的優越性；Kang 等[14]通過對雙冪次趨近律進行收斂時間以及相軌跡分析，提出一種通過構造反正切輔助函數雙冪次趨近律，將該趨近律應用于二階系統，從收斂時間、系統抖振、抗干擾性分析了其優越性；苗敬利等[15]設計了一種基于反正切函數滑模觀測器，通過觀測反電動勢，并對轉子位置進行補償，對永磁同步電機的轉速以及位置進行估計，將估計得到的轉速反饋到設計模糊滑模速度環控制中，仿真顯示在空載以及外加干擾的情況下，系統響應速度快，抖振小。

上述文獻中，為了獲得更好的控制性能，大多設計的趨近律增益都比較大。針對這一問題，本文提出一種新型趨近律，該趨近律在指數趨近律的基礎上，通過在等速項中引入變速因子，使得系統狀態可以根據距離滑模面的遠近參數自適應調整，綜合了快速性與抖振之間的矛盾，有效減小了系統的抖振。同時，為了避免參數的反復試湊，引入萬有引力算法進行參數尋優。最后通過仿真實驗驗證所提趨近律的優越性。

1 永磁同步電機數學模型

為簡化分析，建立一個理想的永磁同步電機數學模型，對PMSM 提出如下假設：忽略永磁同步電機鐵芯飽和，忽略磁滯和渦流的影響，磁通勢成正弦分布，忽略由于定子槽不規則所產生的影響[16]。

永磁同步電機在d-q 軸下的數學模型為：

式中：ud，uq——d-q 下的定子電壓；id，iq——d-q下的定子電流；Ld，Lq——d-q 軸下的定子電感；R——定子電阻；ψd，ψq——d-q 下的磁鏈；ψd——永磁體磁鏈；ωe——機械角速度；ω——電氣角速度；Pn——電機極對數。

電磁轉矩方程為：

本文以表貼式永磁同步電機為例，因此Ld=Lq=L，所以新電磁轉矩方程為：

運動方程為

2 趨近律設計與分析

2.1 傳統趨近律

為改善滑模控制的品質，高為炳院士提出了趨近律概念，并設計指數趨近律為：

式中：ε，K——大于0 的常數；s——滑模面；sign（s）——滑動模態的切換函數；ks——指數項；-εsign（s）——等速趨近項。

當系統的初始狀態S（0）遠離滑模面時，此時通過調整指數項和等速項參數同時來完成趨近模態。當系統狀態點到達滑模面時，此時指數項為0，由等速項來完成滑動模態。由于等速項含有符號函數，ε不可能為0，所以系統將一直伴隨著以ε大小的抖振。由上述可以看出，可通過調整ε，k 參數保證滑模控制的動態品質。當ε，k 參數取較大值時，系統將以很快的速度收斂到滑模面上，但是會產生較大的抖振。當ε，k 參數取較小值時，系統的收斂速度較慢，抖振較小。此時通過計算指數趨近律的收斂時間，可以很明顯地看出該趨近律的缺點，計算如式（7）—式（9）。

式（6）中，當s>0 時

假定系統的初始狀態在S（0），系統到達滑模面的時間如下：

從式（9）可以很明顯地看出，增大k 值可以加快系統的到達速度，但是到達滑模面的速度過大，系統狀態會在滑模面來回穿越產生較大的抖振，反之也是。

2.2 新型趨近律

為了克服傳統指數趨近律的缺點，本文提出的趨近律如式（10）：

式中：k1，k2——大于0 的常數；0<σ<0.1。

與傳統的指數趨近律相比，本文所提的趨近律參數k1是自適應變化的，而不是像指數趨近律中的等速項ε是一個固定的常數。對所提趨近律進行趨近模態和滑動模態分析如下：

趨近模態：當系統狀態遠離滑模面時，由指數項和等速項同時起作用，此時等速項速度為k1e|s|，使得系統趨近速度變得很大，提高了系統趨近滑模面的速度。

為了進一步消除系統由于sign 函數所帶來的抖振，文中選取雙曲正弦函數作為系統滑動模態的切換函數，使得其切換過程更加平滑，其tanh（as）圖像如圖1 所示。

圖1 雙曲正弦函數圖像Fig.1 Hyperbolic sine function image

最終，本文所提出的新型趨近律為：

構造如式（12）的Lyapunov 函數，分析本文提出的趨近律的穩定性。

由式（13）可知，e-|s|+σ|s|＞0。根據Lyapunov原理可知，當≤0 時穩定。所以當k1，k2>0 時，所設計的新型趨近律滿足滑模控制的達到條件，系統能夠在有限時間內收斂。

2.3 相軌跡圖

為了進一步驗證所提趨近律有更好的性能，與指數趨近律進行比較，以典型2 階系統為例：

選取滑模面s=Cx,并進行求導：

將式（14）代入式（15）可得：

從圖2 滑模運動的相軌跡可以看出，本文提出的趨近律具有快速趨近過程，并且在滑模面上滑動過程具有較小的抖振，從圖3 趨近過程所需的時間可知，所提趨近律相比指數趨近律用時少。

圖2 滑模運動的相軌跡Fig.2 Phase trajectory of sliding mode motion

圖3 趨近過程所需的時間Fig.3 Time required for the approach process

3 PMSM 速度環滑模設計

定義永磁同步電機系統狀態變量為：

式中：X1，X2——系統的狀態變量；ωe——給定速度；ω——參考速度。

結合式（5）、式（21）可得：

為了消除系統穩態誤差，本文選取積分滑模面作為系統的切換函數，表達式為：

對式（25）進行求導，并結合本文所提出的新型趨近律，可設計永磁同步電機滑模速度環的控制表達式為：

4 萬有引力算法

萬有引力算法是Rashedi 等[17]在2009 年提出的一種新型群體智能優化算法，該算法根據萬有引力定律和牛頓第二定律而提出。萬有引力搜索算法在求解最優問題時，空間中所有粒子都被看成具有一定質量的物體，并且能夠在解空間運動。在尋優過程中，解空間的所有粒子都將會受到其余粒子萬有引力的影響，受力大小與粒子的質量成正比，與距離成反比，進而導致粒子質量小的將會向粒子質量大的靠攏，經過多次迭代之后，所有粒子將會收斂到質量最大的粒子，該粒子位置就是求解問題的最優值。因此，萬有引力算法在求解問題最優值時，其本質就是質量小的粒子向質量大的粒子靠攏過程，逐漸逼近最優值。根據萬有引力和牛頓第二定律，可得關系表達式：

假設求解空間有N 個粒子，那么第i 個粒子在d 維空間的位置表達式為：

由式（23）可知，第i 個粒子在d 為空間中t時刻所受粒子j 的作用力如下：

式中：Mi（t），Mj（t）——t 時刻粒子i 和j 的慣性質量；ε——一個極小的常數，防止分母為0；Rij（t）——t 時刻粒子i 和j 空間歐式距離，表達式如式（26）；G（t）——t 時刻引力常數，表達式如式（27）。

式中：G（0）——引力常數初始值；a——衰減因子；t——當前迭代次數；T——總迭代次數。

根據式（22）可得，第i 個粒子在d 維空間中t 時刻所受加速度為

在引力搜索算法中，假設在d 維空間中t 時刻第i 個粒子受到解空間其他粒子的合力為（t），表達式為：

在該算法中，每個粒子的質量根據該粒子所處位置的適應度值計算，其計算公式為：

式中：fiti（t）——t 時刻第i 個粒子所處位置的適應度值；best（t），worst（t）——當前迭代最優和最差適應度粒子。

在萬有引力搜索算法中，每個粒子位置和速度更新方式為：

算法尋優步驟如下：

（2）選擇適應度函數為：

（3）設置最大迭代次數為30，通過不斷迭代找到最小適應度函數的粒子，該粒子在搜索空間的位置是最佳滑模參數。

（4）判斷算法是否滿足約束條件，如果滿足則結束尋優，輸出最佳參數。如不滿足結束條件，則繼續尋優。

5 仿真實驗結果

圖4 為基于所提新型趨近律永磁同步電機滑模速度環結構框圖。本文以永磁同步電機矢量控制為對象進行研究，采用id=0 控制策略，該控制結構主要包括速度環、電流環、SVPWM，通過坐標變換（Clarke，Park）進行解耦控制。

圖4 永磁同步電機矢量控制結構框圖Fig.4 Structure block diagram of permanent magnet synchronous motor vector control

本文在MATLAB 2014a/Simulink 仿真所采用的PMSM 模型參數為：定子電阻R=2.875 Ω，電感Ld=Lq=0.008 5 mH，磁通φ=0.175 Wb，轉矩系數為1.05 N·m/A，轉動慣量J=0.003 kg·m2，極對數=4。為了驗證本文所提出趨近律的優越性，將提出的趨近律和指數趨近律相比較。

為了保證仿真對比的準確性，電流環參數保持一致，速度環分別采用新型趨近律和指數趨近律進行控制。指數趨近律參數分別為ε=200，k=300，c=60。本文趨近律通過采用萬有引力算法進行在線優化，其優化參數分別為k1=1.51，k2=130.2，σ=0.01，c=2.5。

為驗證永磁同步電機采用新型滑模轉速環控制動態性能，系統仿真時在初始時刻設置空載轉速為1 000 r/min，為對比系統的抗干擾性，在0.2 s時給系統突加5 N·m 的負載，在0.3 s 轉速上升至1 200 r/min。其轉速對比、電磁轉矩、三相電流對比圖分別如圖5—圖8 所示。

圖5 轉速對比Fig.5 Speed comparison

從圖5 轉速對比曲線看，采用指數趨近律設計的滑模速度環，系統有較快的響應，但是在初始時刻超調量大（31%），跟蹤時間長（0.06 s）。采用新型趨近律設計的滑模速度環，響應速度快（0.03 s），并且轉速無超調。當系統在0.2 s 突加負載時，指數趨近律轉速波動大（50 r/min），恢復時間長；新型趨近律轉速波動小（15 r/min），具有更快的恢復時間，當轉速突變時，能夠快速響應并達到穩態。圖6 電磁轉矩對比結果表明，指數趨近律控制下的轉矩在初始時刻波動大，在0.2 s 突加負載時，電磁轉矩達到時間長、穩定；在新型趨近律控制方式下，初始時間電磁轉矩波動小、平穩，同時在0.2 s突加負載時，電磁轉矩能夠在很短時間快速跟蹤并達到穩定。圖7 和圖8 分別表示在指數趨近律和新型趨近律控制下的三相電流輸出。在指數趨近律控制方式下，初始時間電流相比新型趨近律控制具有大波動。在0.2 s突加負載時，指數趨近律下的三相電流畸變率嚴重，新型趨近律控制方式下三相電流更加平穩。當轉速突變時，新型趨近律電流變化相對指數趨近律更小。綜上，永磁同步電機采用所提的趨近律設計的滑模速度環比指數趨近律控制方式具有更好的動態特性。

圖6 電磁轉矩對比Fig.6 Electromagnetic torque comparison

圖7 指數趨近律三相電流Fig.7 Exponential reaching law three-phase current

圖8 新型趨近律三相電流Fig.8 New approach law three-phase current

6 結論

為了提高永磁同步電機的調速的動態品質，解決傳統滑模應用于速度環具有較大的抖振、響應速度慢等問題。本文提出一種新型趨近律，該趨近律在傳統的指數趨近律上進行改進，對等速項引入自適應因子解決滑模控制在快速性和抖振之間的矛盾，引入雙曲正切函數進一步減小由符號函數切換過程帶來的抖振，通過采用新型趨近律來設計控制器，使用MATLAB/Simulink 仿真結果表明，采用新型趨近律設計的滑模速度環能夠減小系統的穩態誤差，轉速無超調，進一步改善永磁同步電機的動態品質和魯棒性。