基于變密度法的約束阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究

徐金府，周青山，欒福強(qiáng)

（200093 上海市 上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院）

0 引言

約束阻尼板結(jié)構(gòu)（Constrained Layer Damping，CLD）主要依靠粘彈性阻尼材料剪切變形耗散振動(dòng)能量實(shí)現(xiàn)主體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)和噪聲的降低，其具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、技術(shù)實(shí)施方便、減振降噪效果好、高可靠性等優(yōu)點(diǎn)[1]，被廣泛應(yīng)用于大型船舶、航空航天機(jī)構(gòu)、汽車等承載板殼減振降噪的設(shè)計(jì)中。在最初的減振設(shè)計(jì)中，約束阻尼材料覆蓋于整個(gè)基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)表面，這樣做能達(dá)到減小振動(dòng)的效果，會(huì)使得結(jié)構(gòu)質(zhì)量增加而與輕量化設(shè)計(jì)的要求相悖。因此，在輕量化設(shè)計(jì)的要求下，為了實(shí)現(xiàn)材料的有效利用，必須開展約束阻尼結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

有關(guān)約束阻尼結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究已取得豐碩的成果[2-4]，大多數(shù)都是用結(jié)構(gòu)的峰值響應(yīng)和損耗因子作為對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化設(shè)計(jì)約束阻尼板材料的幾何尺寸以及材料屬性。優(yōu)化參數(shù)時(shí)，對(duì)象大多是表面涂蓋約束阻尼材料的結(jié)構(gòu)，但是很難實(shí)現(xiàn)材料的充分利用。約束阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化是一種有效的減振降噪技術(shù)手段。Ansari 等[5]采用水平集法（Level Set Method，LSM）對(duì)薄板結(jié)構(gòu)上約束阻尼材料的位置和形狀進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，利用實(shí)驗(yàn)方法驗(yàn)證了數(shù)值結(jié)果的準(zhǔn)確性；Zhang 等[6]將漸進(jìn)優(yōu)化方法（Evolutionary Structural Optimization,ESO）和遺傳算法（Genetic algorithm，GA）相結(jié)合，提出了約束阻尼結(jié)構(gòu)的分級(jí)優(yōu)化策略，實(shí)現(xiàn)了約束阻尼材料在基板各個(gè)區(qū)域的二次優(yōu)化配置，獲得了更好的減振降噪效果；Zheng 等[7]提出了一種以模態(tài)損耗因子最大化為目標(biāo)的約束阻尼板結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化方法，并采用移動(dòng)漸近線法（Method of moving Asymptotes，MMA）搜索薄板約束層阻尼布局的拓?fù)錁?gòu)型。上述文獻(xiàn)表明，開展約束阻尼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)不僅可以滿足輕量化設(shè)計(jì)要求，而且可以試想更好的減振降噪效果。

變密度法一般假設(shè)單元之間存在一個(gè)相對(duì)的密度，相對(duì)密度的值被認(rèn)為是[0，1]之間的一個(gè)連續(xù)變量，元素的密度通過建立一個(gè)內(nèi)部材料插值模型來影響它的材料特性，改變單元的密度，進(jìn)而改變結(jié)構(gòu)的性能，使其性能達(dá)到最優(yōu)。焦洪宇[8]等人基于變密度法建立了矩形懸臂梁的周期性拓?fù)鋬?yōu)化模型；許小奎等[9]提出了一種密度體積的插值方法來減少變密度法中灰度單元的數(shù)量；董莉[10]等人基于變密度法提出一種多材料任意比例混合的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法。可見，變密度法可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜連續(xù)體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，且相對(duì)于其他方法計(jì)算效率更高。

本文研究了基于變密度法的約束阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題，以模態(tài)損耗因子為目標(biāo)函數(shù)，約束阻尼材料的體積為約束條件，構(gòu)建約束阻尼結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化模型。利用伴隨向量法計(jì)算目標(biāo)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度，采用優(yōu)化準(zhǔn)則法更新設(shè)計(jì)變量對(duì)模型進(jìn)行求解。本文討論了四邊固支和懸臂的約束阻尼板結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。數(shù)值結(jié)果表明，優(yōu)化后約束阻尼板結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子提升比基本在50%以上，且振動(dòng)響應(yīng)有明顯的抑制。

1 約束阻尼結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型

如圖1 所示，將約束阻尼復(fù)合單元考慮為一個(gè)二維四節(jié)點(diǎn)單元[8]。每個(gè)單元由基板層、粘彈性阻尼層和約束層組成，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有7 個(gè)自由度，分別是基板層中性面內(nèi)沿著x、y 方向的位移ub、vb；約束層中性面內(nèi)沿著x、y 方向的位移uc、vc；整個(gè)復(fù)合單元的橫向位移w 以及繞x 軸和y 軸的轉(zhuǎn)角φx和φy。

圖1 CLD 復(fù)合單元有限元模型Fig.1 The CLD composite element finite element model

根據(jù)彈性力學(xué)板殼理論和振動(dòng)理論，同時(shí)考慮粘彈性阻尼材料的剪切模量為復(fù)常數(shù)模型，約阻尼結(jié)構(gòu)的有限元?jiǎng)恿W(xué)方程為

式中：M，K——約束阻尼板結(jié)構(gòu)的總體質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；KR，KI——總體剛度矩陣K 的實(shí)部和虛部，表達(dá)式可以寫為

2 基于變密度法的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 SIMP 插值方法

基于SIMP 插值模型，約束阻尼結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣可以表示為

式中：xi——第i 個(gè)復(fù)合單元的密度；p——懲罰因子，本文中取p=3。

2.2 優(yōu)化模型

采用基于SIMP 的優(yōu)化準(zhǔn)則法以約束阻尼結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子最大化為目標(biāo)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，優(yōu)化模型可以表示如下：

式中：ηr——第r 階模態(tài)損耗因子；xi——設(shè)計(jì)變量即第i 個(gè)單元的密度；vi——第i 個(gè)單元的體積；V0——單胞的體積；f——實(shí)體材料規(guī)定的體積分?jǐn)?shù)約束。

2.3 靈敏度分析

本文采用伴隨向量法進(jìn)行靈敏度分析。為避免計(jì)算目標(biāo)函數(shù)中振型對(duì)設(shè)計(jì)變量的偏導(dǎo)數(shù)，以及方便采用優(yōu)化準(zhǔn)則法更新設(shè)計(jì)變量，通過引入伴隨向量μ1和μ2將目標(biāo)函數(shù)改寫為

為了計(jì)算目標(biāo)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度，需要求解公式（9）計(jì)算伴隨變量μ1和μ2。

式（5）中質(zhì)量矩陣和剛度矩陣對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度為

2.4 設(shè)計(jì)變量更新準(zhǔn)則

本文利用優(yōu)化準(zhǔn)則法更新設(shè)計(jì)變量對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解。首先，針對(duì)優(yōu)化問題式（6）構(gòu)造相應(yīng)的拉格朗日函數(shù)為

式中：λ1，λ2，λ3——拉格朗日乘子，λ1為標(biāo)量，λ2和λ3為矢量。再利用庫恩-塔克條件（KKT）條件，可以得到設(shè)計(jì)變量的更新準(zhǔn)則：

3 數(shù)值算例

本節(jié)通過2 個(gè)數(shù)值算例說明該方法的有效性，第1 個(gè)是四邊固支的矩形約束阻尼板，第2 個(gè)是懸臂的矩形約束阻尼板。2 個(gè)板結(jié)構(gòu)的材料屬性相同如表1 所示。粘彈性阻尼材料的剪切模量采用復(fù)常數(shù)模型，損耗因子取0.5。

表1 約束阻尼板結(jié)構(gòu)各層材料幾何參數(shù)和物理參數(shù)Tab.1 Geometric and physical parameters of each layer of constrained damping plate structure

3.1 四邊固支的約束阻尼板結(jié)構(gòu)

根據(jù)本文所提出的方法，以四邊固支的約束阻尼板結(jié)構(gòu)的1 階模態(tài)、2 階模態(tài)損耗因子最大化為目標(biāo)、約束阻尼材料體積分?jǐn)?shù)為0.5 作為約束條件進(jìn)行優(yōu)化。劃分的單元數(shù)量為40×30，每個(gè)單元的初始設(shè)計(jì)密度為0.5，尺寸為0.01 m×0.01 m。約束阻尼板初始構(gòu)型的1 階、2 階模態(tài)的損耗因子分別為0.056 0 和0.060 7。優(yōu)化后的約束阻尼板結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型如圖2 所示，圖2 中陰影部分為約束阻尼材料的布置區(qū)域。對(duì)應(yīng)的優(yōu)化迭代歷程如圖3 所示。可見，隨著迭代步數(shù)的增加，目標(biāo)函數(shù)和體積分?jǐn)?shù)均趨于穩(wěn)定且收斂。

圖2 四邊固支的約束阻尼板結(jié)構(gòu)最優(yōu)構(gòu)型Fig.2 Optimal configuration of CLD plate with clamped four edges

圖3 四邊固支的約束阻尼板結(jié)構(gòu)的優(yōu)化迭代歷程Fig.3 Optimization iteration process of CLD plate with clamped four edges

優(yōu)化后模態(tài)損耗因子分別為0.136 2 和0.162 9，相對(duì)于初始構(gòu)型模態(tài)損耗因子分別提高58.88%和62.74%。優(yōu)化前后的約束阻尼板結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)如圖4 所示。可以看出，優(yōu)化后約束阻尼板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)幅值得到有效抑制。

圖4 四邊固支的約束阻尼板結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)Fig.4 Displacement response of CLD plate with clamped four edges

3.2 懸臂的約束阻尼板結(jié)構(gòu)

改變約束阻尼板結(jié)構(gòu)的邊界條件，以懸臂的約束阻尼板結(jié)構(gòu)的1 階模態(tài)、2 階模態(tài)的損耗因子最大化為目標(biāo)，約束阻尼材料的體積分?jǐn)?shù)為0.5 作為約束條件，進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。板結(jié)構(gòu)的初始構(gòu)型、尺寸和單元數(shù)量與上述算例相同。約束阻尼板初始構(gòu)型的1 階、2 階模態(tài)的損耗因子分別為0.065 4 和0.076 1。優(yōu)化后的約束阻尼板結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型如圖5所示。圖5 中陰影部分為約束阻尼材料的布置區(qū)域，對(duì)應(yīng)的優(yōu)化迭代歷程如圖6 所示。

圖5 懸臂的約束阻尼板結(jié)構(gòu)最優(yōu)構(gòu)型Fig.5 Optimal configuration of cantilever CLD plate

圖6 懸臂的約束阻尼板結(jié)構(gòu)的優(yōu)化迭代歷程Fig.6 Optimization iteration process of cantilever CLD plate

優(yōu)化后的模態(tài)損耗因子分別為0.133 7 和0.122 3，相對(duì)于初始構(gòu)型模態(tài)損耗因子分別提高51.08%和37.78%。優(yōu)化前后的約束阻尼板結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)如圖7 所示。可以看出，優(yōu)化后的約束阻尼板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)幅值得到有效的抑制。

圖7 懸臂的約束阻尼板結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)Fig.7 Displacement response of cantilever CLD plate

4 結(jié)論

本文采用有限元方法建立約束阻尼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)有限元模型。基于SIMP 插值方法以模態(tài)損耗因子最大化為目標(biāo)，約束阻尼材料用量為約束構(gòu)建約束阻尼結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化模型。利用伴隨向量法推導(dǎo)了目標(biāo)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度，通過優(yōu)化準(zhǔn)則法對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解。分別考慮了四邊固支和懸臂的約束阻尼板結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。數(shù)值結(jié)果表明：優(yōu)化后約束阻尼板結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子提高比基本在50%以上，且振動(dòng)響應(yīng)值有明顯抑制。