基于優先因子的最佳供應方案和最大產預測模型

文/向福川 練瑤 唐振云 王建宏

本文主要研究生產企業的原材料訂購與運輸問題。首先，以壓縮生產成本為首要考慮，確定選取供應商應該為題目中所有供應商，在這里引入優先因子，將訂購方案的類目標規劃問題分解成一系列單目標規劃問題依次進行求解，再對訂購方案和轉運方案的實施效果進行分析。再研究該企業具備了通過一定的技術改造方法提高產能的潛力。通過確定企業理論的最大產能上限，采用二分法原理進行求解，得到產能的實際最大值，給出未來24周的訂購方案與轉運方案。

一、引言

廠商在原材料運輸時應綜合多方面選擇合理的運輸方案，例如控制原理及成品、半成品運輸成本的運輸方法，從運營成本控制方面尋求更多的節流方式[1]。因此我們對前幾年供貨商供貨數據、技術優勢及長期供貨能力以及廠家需求的數據經行綜合分析是非常有必要的，有利于保障企業的各項生產計劃和企業效益最大化。本文對2021年全國大學生數學建模競賽C題[1]的問題3、問題4，問題3需要在考慮生產成本的基礎上，解決訂購方案和轉運方案的制定問題，并對制定的訂購方案和轉運方案的實施效果進行分析。問題4需要根據現有原材料的供應商和轉運商情況，確定企業產能的最大值，同時給出未來24周的訂購方案與轉運方案。

二、模型準備

問題3要以壓縮生產成本為首要考慮，所以對于問題3、問題4的供應商的選取范圍應該為402家供應商。在解決方案制定問題時，考慮到A、B、C三類原材料生產單位產品需消耗的原材料量存在差異，即在滿足生產需求且達到相當產能的條件下，A、B、C三類原材料的訂購量將直接影響到企業的生產成本，容易知道盡量多地采購A類和盡量少地采購C原材料，可以達到壓縮成本的目的。因而，對于新訂購方案的制定，需要增加描述多選擇A類原材料、少選擇C類原材料的約束條件，考慮在這里引入優先因子，為A、B、C類原材料的采購行為排定優先級的先后次序，將訂購方案的類目標規劃問題分解成一系列單目標規劃問題依次進行求解。在對訂購方案和轉運方案的實施效果進行分析時，與問題2類似，將訂購量與實際供貨量、供貨量與實際接收量進行對比，分析方案實施的可行性與融洽性。問題4指出該企業具備了通過一定的技術改造方法提高產能的潛力，即此時企業的產能僅與現有原材料的供應商和轉運商的實際情況有關，具體來說，就是企業產能的提高取決于供應商的供貨能力（供貨穩定性、最大供貨量）和轉運商的轉運能力（運輸能力、轉運損耗率）。通過確定企業理論的最大產能上限，采用二分法[4]原理進行求解，得到產能的實際最大值。

三、問題3的模型建立與求解

1.壓縮生產成本：引入優先因子，建立類目標規劃模型

企業的生產成本可以認為由轉運成本和倉儲成本組成，即有如下表述：

第k周企業的生產成本Cpk由原材料轉運成本Ct和原材料倉儲成本Cwk組成，即

其中，d代表三類原材料運輸和儲存的單位費用。要能夠取到minCpk，以實現壓縮企業生產成本，即減少運輸產生的轉運成本和儲存產生的倉儲成本的目的?？紤]到A、B、C三類原材料生產產品需消耗的原材料量（b1＜b2＜b3），即在滿足生產需求且達到相當產能的條件下，考慮到訂購量和相應供應量、接收量的強關聯性，A、B、C三類原材料的訂購量直接影響到企業的生產成本，容易知道盡量多地采購A類和盡量少地采購C原材料，可以達到壓縮成本的目的。因而，對于新訂購方案的制定，需要增加描述多選擇A類原材料、少選擇C類原材料的約束條件。我們通過對問題進行分析，發現只需要先盡可能地滿足A類原材料的采購行為，再按照單位產品的原材料消耗量依次進行訂購，就能夠滿足減少成本的需求。因此，在這里引入優先因子[3]ξj（j=1，2，i，m），為A、B、C類原材料的采購行為排定優先級的先后次序，將訂購方案的類目標規劃問題分解成一系列單目標規劃問題依次進行求解。

綜上所述，總的數學模型如下：

2.最少轉運損耗率：建立優化模型

對于新轉運方案的制定是在新訂購方案確定出的供應商的基礎上考慮轉運商在運輸原材料過程中的轉運損耗率，轉運損

耗率定義為總的轉運損耗量與供應總量之比，其中，總的轉運損耗量=供應總量-接收總量。第k周，轉運商的轉運損耗率應是轉運損耗總量與總供應量之比，于是要求轉運損耗率最低，即要求轉運損耗總量Lk最低，因此可以繼續沿用問題2中轉運方案的數學模型，根據問題3中的采購方案給出如下數學模型：

3.模型求解

根據問題3，在盡可能多地采購A類原材料和盡可能少地采購C類原材料的約束下，建立新的訂購方案和轉運方案，通過編程求解。對應問題3中引入的優先因子，在程序求解時，具體實現方式為根據優先級的先后次序，將類目標規劃問題分解成三類原材料下的單目標規劃問題，然后再依次進行求解。

4.靈敏度分析

本問題中，在實際的訂購和轉運過程中，考慮到需求量Q和庫存S對應的值與真實的值可能存在一定的偏差，至于不同種類材料的單位訂購費用C、運輸和存儲費用是確切值，故不需要再做考慮[2]。采取對需求量Q和庫存S做增加或減少10%大小的偏差處理，如圖一所示：

5.實施效果分析

將訂購量與實際供貨量、供貨量與實際接收量進行對比，可以分析方案自身的可行性與融洽性。

圖1 靈敏度分析

訂購方案：通過圖2，可以看出訂購量與實際供貨量沒有較大偏差，貼合度較好，說明制定的訂購方案有效可行。

圖2 訂購量與供應商供貨量對比

轉運方案：通過圖3，可以看出供應商供貨量與倉庫接收量幾乎沒有偏差，貼合度較高，說明制定的轉運方案高效可行。

圖3 供應商供貨量與倉庫接收量對比

四、問題4的基于二分法的產能潛力提高上限的求解

1.問題的進一步分析

問題4指出該企業具備了通過一定的技術改造方法提高產能的潛力，即此時企業的產能僅與現有原材料的供應商和轉運商的實際情況有關，具體來說，就是企業產能的提高取決于供應商的供貨能力（供貨穩定性、最大供貨量）和轉運商的轉運能力（運輸能力、轉運損耗率）。通過進一步的分析：一方面，可以發現存在隱性影響產能提高的因素，即單位產品產出所需的原材料消耗量b1，b2，b3，在本題中，這一隱性因素可以歸結為原材料的類型。這也表示最大產能的提高也取決于原材料類型的選取上。另一方面，通過計算比較供應商的最大供貨量與轉運商運輸的貨物量上限，可以得到供應商最大供貨量Ni＞轉運商運輸貨物量上限（6000m3＞周）。繼續深入分析，可以得出結論：在本題中，企業產能的提高上限決定于轉運商全部轉運A類原材料時所產生的成品數量。

2.求解方法

該企業原來每周的產能為E=28200m3（這里記為E0），假設提高后的產能為Et，產能提高上限為Em，則有Et∈[E0，Em]。

利用二分法原理求解產能最大值的過程：取E0和Em的中點值Et1，通過改變原有模型中產能E的參數值，變為Et1，依此得出能夠滿足條件的訂購方案；再取E0和Et1，或是Et1和Em的中點值Et2，繼續改變原有模型中的產能參數為Et2，得出能夠滿足條件的訂購方案……照此進行下去，直到找到不能滿足條件的訂購方案的模型產能參數值Et（n+1），則可以得到產能最大值Etn，如上圖4所示，同時，輸出此種情況下的訂購方案和轉運方案，計算結束。

圖4 二分法選取原理

3.求解結果

根據二分法原理，編程求解得出Etn=38200，得到此種情況下未來24周的訂購方案和轉運方案。

五、結束語

本文針對原材料選取問題，從前幾年企業對供貨商的需求度、供貨商的供應穩定性、最大能供給量做出綜合分析，并對處理結果進行穩定性分析等操作，最終得到未來24周的轉運方案，根據以往數據和二分法預測出企業的最大產能上限，結合前面的問題求解方法給出未來24周的轉運方案。

引用出處

[1]2021年全國大學生數學建模競賽題[EB/OL].[2021-09-09].http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/4d73a36cc88b35bd4883c276afe39d89.html.

[2]蔡亞軒,鄭志雯.木材加工企業的物流運輸成本可控性研究[J].林產工業,2021,58(07):95-97.DOI:10.19531/j.issn1001-5299.202107020.

[3]盧方利，孫德寶.一類物資多目標規劃的算法研究和評價模型[J].華中科技大學學報：自然科學版,2001,29(9):3.

[4]殷太平.二分法在調整中的應用[J].微電子學與計算機,1988(1).