基坑開挖卸載過程對下臥電力隧道的影響規律研究

白宇濤，溫生，羅輯，潘榮，陸毅，邱天

[摘要]提出適用于放坡基坑的彈性地基梁二階段分析法，采用 Mindlin解推導得出基坑施工時在地鐵隧道上引起的縱向附加應力，根據Winkler彈性地基梁模型建立隧道變形方程，得到了適用于放坡形式基坑的電力隧道縱向位移的計算方法。通過Matlab編程求解隧道縱向變形，再通過改變基坑深度，隧道埋深，土層力學性質等參數，利用理論計算方法得到相應的縱向變形，通過對比探究不同因素對隧道變形的影響，獲得基坑開挖卸載的過程對于下臥電力隧道的影響規律，發現基坑深度、隧道埋深、土質條件會對下臥電力隧道位移產生較明顯的影響。

[關鍵詞]基坑開挖； 電力隧道； 變形影響； 彈性地基梁； 參數分析

[中國分類號]U452.2+6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼]A

0引言

伴隨著近些年國家城市化進程與人口增長速度的加快，對于城市地下空間的開發規模不斷擴大，最終導致城市內基坑工程不斷增多。而輸電線路等管道輸送設施大多埋設于地下，易受基坑開挖的影響而產生變形，基坑開挖會使基坑內土體卸載，導致應力重分布，會破壞土體原始應力的平衡，從而引起周圍既有隧道上的附加應力，使得隧道發生變形。隨著工程在電力隧道等既有設施附近進行，安全問題與工程事故難以避免發生，引發人們的廣泛關注。如在 1998年，臺灣某一盾構隧道因為鄰近深基坑的開挖而產生變形，造成了產生變形，造成了盾構隧道的破壞。隧道修復費用極其高昂，事故造成了巨大的經濟損失［1］。福州是典型的軟土地區，軟土力學性質極差。福州軟土的含水率高、靈敏度高、孔隙比大、壓縮性高、強度低、密度小以及滲透率低，在荷載的作用下土體容易發生壓縮變形以至于破壞。研究福州軟土地區堆卸載對下臥隧道的影響，在學術研究和保護社會經濟財產的方面都有較大的意義。

對于基坑開挖引起鄰近隧道變形的理論解析方法，學者們最早使用是殘余應力法，殘余應力法將隧道與土體視為一體，把基坑開挖后的位移視為相應位置上隧道的位移。在1996年，劉國彬和候學淵［2］首先提出了基坑開挖時會產生殘余應力的概念，認為基坑開挖時產生的殘余應力會導致基坑隆起。隨后劉國彬等［3］在這基礎上將受開挖影響范圍的土體隆起視為隧道的變形；吉茂杰和劉國彬［4］在之后將時空效應考慮在內，依據實測數據修正了殘余應力法，提出了考慮基坑開挖時時空效應的理論計算公式。用殘余應力法計算開挖卸載引起的隧道變形具有一定的準確性與合理性，但由于在計算時沒有考慮隧道在殘余應力法計算的結果會偏向于保守導致隧道變形偏向保守。對于基坑開挖卸載對附近隧道的影響規律問題，國內外學者分別在隧道變形的理論解析研究，監測數據分析，數值模擬3個方面展開了研究工作。在理論解析方面，目前對于基坑開挖引起的鄰近隧道變形的理論解析方法主要是二階段分析法，陳郁和李永盛［5］最早提出采用Mindlin解來計算基坑卸載引起的臨近隧道附加應力，再基于Winkler彈性地基梁模型推導隧道豎向位移的二階段分析法計算公式。Ng C W W等［6］通過離心試驗分析了軟土地區的深基坑開挖卸載對于基坑正下方與基坑外的鄰近隧道結構在空間上的變形規律。在監測數據分析方面，Liu等［7］借助南京某工程基坑的工程實例，分析現場監測數據探究基坑開挖對下臥盾構隧道的影響。最終得出為獲得較好沉降控制效果宜使用開挖深度1.5倍的地基處理范圍，最后隧道豎向變形最大值為5.5 mm。謝雄耀等［8］通過工程實時監測系統進行反饋施工，并且研究基坑開挖卸載對電力隧道的影響規律。姜玲等［9］在Winkler彈性地基梁基礎上，建立地下管線豎向位移的計算模型，提出求解基坑開挖對于地下管線豎向位移的初參數法，但此計算方法僅針對體積規模較小的管線，對于地下電力隧道難以適配。數值模擬是目前研究較多的方式，許多學者［10-15］利用有限元等方法對基坑開挖臨近隧道產生的變形影響進行分析。

但是，目前對于基坑開挖對下臥隧道的影響研究都因地域性差異而有所區別，現存理論研究有數值模擬與理論解析法。數值模擬雖結果直觀，但其針對性較強，需在模擬前考慮土體的本構模型與多種參數，復雜繁瑣，且用時相對較多。理論解析方法相對于數值模擬方法更為簡單實用，且對于各種工程有一定的通用性。在本文研究工程中，基坑開挖位置處在兩條隧道正上方，現有理論并不能對此放坡開挖形式的基坑進行理論計算。因此，本文將結合工程實例，提出適用于放坡基坑的彈性地基梁二階段分析法，以此為基礎，計算分析基坑開挖卸載對下臥電力隧道的影響規律。

1工程概況

福州某工程在已投入使用的2條電力隧道上方進行施工，其中包括了新河道的開挖工作。此工程所在地區福州的軟土層深厚，施工區域位于隧道上方，基坑的開挖卸載存在引起隧道變形，進而使得隧道管壁結構的產生開裂破壞，對于隧道的安全存在不利影響。

新規劃河道總長度約650 m，河道總寬度約50 m，設計河底寬度12 m，設計河底高程+2.5 m。施工場地現狀標高6.0～7.0 m。該段河道駁岸支護采用“土體加固+放坡”的方案，河道開挖采用分級放坡開挖，第一級坡度根據景觀設計確定，第二級采用1∶1.5坡度進行開挖，開挖到河底后施工坡腳樁基，待擋墻施工完成后，親水步道至擋墻范圍進行土方夯填，最終坡度為1∶3.5。工程與隧道位置示意、剖面圖如圖1、圖2所示。土層基本參數與地質斷面分別見表1、圖3。

2計算方法研究

基于張志國［16］對于二階段分析法的研究，本章將推導提出適用于放坡基坑的彈性地基梁二階段分析法，采用Mindlin解計算出基坑開挖卸載在隧道上產生的附加應力，然后基于彈性地基梁模型建立電力隧道的變形方程。

2.1力學分析模型建立

如圖4所示，在本文計算模型中，2條電力隧道上方有一自由放坡開挖的基坑，以基坑正中心對應的地表點O為原點建立空間直角坐標系，基坑開挖深度為d，放坡坡度為1∶n，坑底面長度為L，寬度為B，夾角為θ，電力隧道外直徑為D，電力隧道中心線到地面的距離為Z1，中心點到2個區間隧道的水平距離為L1與L2，在基坑底面受到大小為q1的均布荷載反力作用，在放坡面受到q2的三角形荷載反力作用。

2.2附加應力計算公式建立

2.2.1基坑底荷載分析

基坑開挖卸載，會在基坑底面產生垂直于底面的均布荷載，大小為γd。由Mindlin基本解［17］在基坑底面積分可以得到坑底荷載產生在隧道上任意一點（x1 ， L1 ， Z1）的豎向附加應力σz為式（1）。

σz=γd8π（1-v）（1-2v）（Z1-d）∫∫DdξdηR31+

3（Z1-d）3∫∫DdξdηR51-（1-2v）（Z1-d）∫∫DdξdηR32+

［3（3-4v）Z1（Z1+d）2-3d（Z1+

d）（5Z1-d）］∫∫DdξdηR52+30dZ1（Z1+d）3∫∫DdξdηR72（1）

式中：

R1=（ξ-x1）2+（η-L3）2+（Z1-d）2

R2=（ξ-x1）2+（η-L3）2+（Z1+d）2

式中：γ為土體重度，v為土體的泊松比，D為基坑底面對應的積分區域。

推導完成后，式中的積分可以采用五點高斯勒讓德積分法進行計算。計算如式（2）～式（6）所示。

∫∫ΩdξdηR31=∫L2-L2∫ηcotθ+B2ηcotθB2dξdη［（ξ-x1）2+（η-L1）2+（Z1-d）2］32

=∫L2L2ηcotθ+B2-x1［（η-L1）2+（Z1-d）2］x1-ηcotθ-B22+（η-L1）2+（Z1-d）2-

ηcotθ-B2-x1（η-L1）2+（Z1-d）2x1-ηcotθ+B22+（η-L1）2+（Z1-d）2dη

η=L2t∑2i=2ωiL2ticotθ+B2-x1L2L1-L2ti2+（Z1-d）2x1-L2ticotθ-B22+L1-L2ti2+Z1-d2-ωiL2ticotθ-B2-x1L2L1-L2ti2+Z1-d2x1-L2ticotθ+B22+L1-L2ti2+Z1-d2（2）

式中：系數ω=［0.2368 0.4786 0.5688 0.4786 0.2369］

節點t=［-0.9061 -0.5386 0 0.5385 0.9061］

同理：

∫∫DdξdηR32=∑2i=2ωiL2ticotθ+B2-x1L2L1-L2ti2+Z1-d2x1-L2ticotθ-B22+L1-L2ti2+Z1+d2-ωiL2ticotθ-B2-x1L2L1-L2ti2+Z1-d2x1-L2ticotθ+B22+L1-L2ti2+Z1+d2（3）

∫∫DdξdηR51=∑2j=2∑2i=2ωjωiB2L2x-L2tjcotθ-B2ti2+L1-L2tj2+Z1-d252（4）

∫∫DdξdηR52=∑2j=2∑2i=2ωjωiB2L2x-L2tjcotθ-B2ti2+L1-L2tj2+Z1+d252（5）

∫∫DdξdηR72=∑2j=2∑2i=2ωjωiB2L2x-L2tjcotθ-B2ti2+L1-L2tj2+Z1+d272（6）

式中：系數：ω=［0.2368 0.4786 0.5688 0.4786 0.2369］

節點：t=［-0.9061 -0.5386 0 0.5385 0.9061］

將式（2）～式（6）分別記為E1～E5。則可以得到卸載在坑底面引起的隧道上任意一點的豎向附加應力公式（7）。

σz=γd8π（1-v）（1-2v）Z1-dE1+3Z1-d3E3-

（1-2v）Z1-dE2+［3（3-4v）Z1Z1+d2-

3dZ1+d5Z1-d］E4+30dZ1Z1+d3E5（7）

2.2.2放坡面荷載分析

基坑開挖之后，會在放坡面上產生荷載，相當于在基坑的放坡面上施加了垂直于坡面的三角形分布荷載，大小為K0γz。根據幾何關系，可以將三角形分布荷載分為豎直分量與水平分量2個部分，如圖5 所示。由于基坑有4個坑壁，下文取其一作推導計算。

由Mindlin 基本解在坑壁區域積分得到坑壁處荷載在隧道上任意一點（x1 ， L1 ，Z1）的豎向附加應力σz，見式（8）。

σz=K0γz8π（1-v）n2+1（1-2v）Z1-d∫∫ΩdξdηR31+

3Z1-d3∫∫ΩdξdηR51-（1-2v）Z1-d∫∫ΩdξdηR32+

3（3-4v）Z1Z1+d2-3dZ1+d5Z1-d

∫∫ΩdξdηR52+30dZ1Z1+d3∫∫ΩdξdηR72（8）

式中：

z=ny-12L2

R1=ξ-x12+η-L32+（z-d）2

R2=ξ-x12+η-L32+（z+d）2

式中：K0 為靜止側壓力系數。

由于式（8）中的積分涉及較為復雜的曲面積分，本文為了簡化計算，將積分區域簡化為放坡面三角形型心處豎直和水平的2個平面，如圖6 所示。

由于豎向荷載引起豎向變形，則坑壁荷載在隧道上任意一點的豎向附加應力可以同樣由上文方法求得式（9）。

σz=K0γ8π（1-v）n2+1（1-2v）Z1-d1∫∫Ω1ηdξdηR31+

3Z1-d13∫∫Ω1ηdξdηR51-（1-2v）Z1-d1∫∫Ω1ηdξdηR32+

3（3-4v）Z1Z1+d12-3d1Z1+d15Z1-d1

∫∫Ω1ηdξdηR52+30d1Z1Z1+d13∫∫Ω1ηdξdηR72 （9）

式中：R1=ξ-x12+η-L12+z-d12

R2=ξ-x12+η-L12+z+d12

式中：Ω1為簡化后水平積分平面，d1為積分平面到原點豎直距離。根據上文方法，可以計算基坑各個坑壁在隧道上引起的縱向附加應力。總豎向附加應力表達式為式（10）。

σzz1=σz1+σz2+σz3+σz4+σz5（10）

2.2.3隧道之間的影響

基坑開挖之后，下方電力隧道產生變形，給周圍土體產生一個反作用力，根據研究［18］這種“雙洞效應”會造成隧道隆起量變小，運用Mindlin 解可以得到2條隧道相互影響作用力的計算公式為式（11）。

σz=∫Lmax-LmaxDσz×18π（1-v）（1-2v）Z1-Z2R35+

3Z1-Z23R55-（1-2v）Z1-Z2R36

+

3（3-4v）Z1Z1+Z22-3dZ1+Z25Z1-Z2R56

+

30dZ1Z1+Z23R76dx（11）

式中：

R5=d2-x12+L3+L42+Z1-Z22

R6=d2-x12+L3+L42+Z1+Z22

結合上文計算得出的基坑荷載引起的隧道豎向附加應力，可以得出放坡形式基坑開挖時能夠反映2條電力隧道相互影響的附加應力計算公式為式（12）。

σzz=σz1+σz2+σz3+σz4+σz5-σz6（12）

2.3隧道變形理論計算

基于彈性地基梁的分析方法是進行地下結構分析計算的一種常用方法，簡便，而得到了研究者們的青睞，故本文將采用Winkler彈性地基梁模型［20］對隧道變形進行分析計算。

2.3.1隧道變形方程計算

根據Winkler 彈性地基梁模型假定［19］：假設隧道與土體一直保持彈性接觸，隧道與土體不分離，用沿著隧道方向的一系列彈簧來模擬隧道與土體的彈性接觸作用。隧道受到基坑卸載或者堆載產生的荷載與地基梁彈簧給與的荷載，即為式（13）。

F=-P（x）+KS（x）（13）

式中：K=kD，k為地基的基床系數；v為地基土層的泊松比，Es為地基土層的彈性模量，D為電力隧道外徑，EI 為隧道等效抗彎剛度，P （ x ）=Dσz，為上文所計算得出的隧道上的附加應力，S （ x ）為地基彈簧的位移。根據假設，隧道與土體不分離，則S （ x ）=W（ x ），W（ x ）為電力隧道的位移，可以得式（14）。

F=-P（x）+KW（x）（14）

由此可得基于Winkler 彈性地基梁模型的隧道變形微分方程式（15）。

EId4Wz（x）dx4+KWz（x）=Pz（x）（15）

此非齊次四階常微分方程難以直接求解，在此引用簡單方法［20］求解。

得到隧道因為附加荷載而引起位移的方程解為式（16）。

Wz（x）=λ2K∫+

SymboleB@

-

SymboleB@

q（ξ）e-λ|x-ξ|（cosλ|x-ξ|+

sinλ|x-ξ|）dξ（16）

3工程實例計算

河道整治工程中有一重要節點在雙洞隧道上方施工，基坑采用自由放坡的形式，平行于隧道走向兩側坡度為1∶2，另外兩側坡度為1∶1。開挖深度為4 m，基坑尺寸為34 m×20 m，夾角為80°的平行四邊形，隧道走向與基坑短邊平行，2條電力隧道分別位于基坑中心線兩側7 m的位置，隧道埋深均為15.3 m，隧道外徑6.2 m，隧道縱向等效抗彎剛度EI=7.513×107 kN·m2。基坑場地地基土均視為電力隧道所處的淤泥，土體重度γ=15.6 kN/m3，泊松比v=0.47，地基基床系數k=2000 kN/m3（圖7）。

在計算時將隧道沿走向等分段80份，每段長度1 m，通過Matlab軟件根據上文公式進行編碼計算出隧道各段豎向位移。為便于區分兩條電力隧道，在此借用電力隧道中上行線與下行線分別對應南側與北側隧道。本算例中和監測變形數據一起進行對比驗證，得到隧道變形曲線如圖8所示。

對比曲線形狀可以看出計算得到的隧道位移曲線與實測值的分布規律是基本相似的，但是數據存在差值，原因在于實際工程中，在本節點采用了攪拌樁結合抗浮板加抗拔樁的加固方案對隧道進行了有效的保護，而理論計算中將土體視為均質彈性體，并沒有考慮抗浮板與抗拔樁的加固作用。

總之，本文計算方法在傳統方法基礎之上對于放坡基坑這一基坑開挖形式進行改良。而理論計算方法無需進行有限元建模，計算更加快速簡潔。因此，本文將采用此方法對基坑開挖卸載過程對下臥電力隧道的影響因素進一步探究。

3.1基坑深度對隧道變形的影響分析

為了研究理論計算中影響電力隧道變形的因素，將根據工程實際算例，通過改變基坑開挖的深度d，令d分別等于2 m，4 m，6 m，8 m進行對比。得到隧道變形曲線如圖9所示。

圖9（a）顯示，當基坑開挖深度d改變時，隧道的變形改變十分顯著。隨著基坑深度的增加，基坑開挖引起的隧道變形影響范圍相應增加，隧道的最大位移也隨之擴大，最大變形可達到50 mm。圖9（b）為開挖深度d增量與隧道最大位移增量之間的關系。可以看出，當基坑開挖的深度增加時，隧道的最大位移并不是線性增加，而是雖開挖深度增大增長速率不斷增大。因為放坡形式的基坑深度是改變基坑開挖卸荷量的主要因素，而開挖卸荷引起的隧道附加應力正是下臥隧道變形的原因。可見當在已建隧道正上方進行工程施工時，應盡量控制基坑深度，以減小因為卸荷產生的附加荷載從而保護隧道安全。

3.2隧道埋深對隧道變形的影響分析

為研究理論計算中影響隧道變形因素，僅改變隧道埋深Z1，令Z1分別等于12、14、16、18 m。得到結果見圖10。

圖10中可發現，隨著隧道埋深的增加，隧道變形越來越小，基坑開挖對電力隧道變形影響范圍也隨之減小，當埋深達到18 m時最大豎向變形僅為12 m時的50%左右。圖10（b）為隧道埋增量與隧道最大位移減少量之間關系圖。對比上文可以發現，隧道距離開挖基坑越近，電力隧道變形越明顯，且隧道埋深越大，電力隧道變形的減小幅度約小。這是因為當埋深增加時，基坑開挖引起的荷載傳力路徑同時增加，導致同樣的開挖荷載在電力隧道上引起的附加應力變小。

3.3土質條件對隧道變形的影響分析

為了研究理論計算中影響隧道變形的因素，下文僅改變場地地基土的基床系數k，令k分別等于4 000 kN/m3、6 000 kN/m3、8 000 kN/m3和10 000 kN/m3。得到隧道變形曲線如圖11所示。

從圖11中可以看出隨著地基基床系數k的增加，電力隧道的最大變形會相應減小，隧道受開挖影響的范圍也會減小。當基床系數從2 000 kN/m3增加到6 000 kN/m3時，電力隧道變形減小幅度較大，而從6 000 kN/m3增加到10 000 kN/m3時電力隧道變形并沒有基床系數較小時的明顯。這說明在土質較差的軟土地區，對地基土進行加固從而提高土體力學性能指標，可以有效的減小下臥電力隧道的變形。同時為了保護電力隧道的安全，在進行縱向線路選擇時，也要盡可能的選用地基基床系數較高的土層。

4結論

本文從理論分析的角度入手，首先提出了適用于自由放坡形式且能反應雙洞電力隧道相互影響的基坑開挖引起臨近隧道變形的二階段分析法，建立并求解了電力隧道的變形方程。以理論計算為基礎，結合本文依托工程的關鍵節點并與實際監測數據對比驗證，并改變基坑深度，隧道埋深，土質條件從理論的角度分析電力上方基坑開挖卸載對下臥電力隧道的影響因素與影響規律，得到基本結論：

（1）本文提出的計算方法適用于放坡形式的基坑，考慮了2條隧道的相互影響作用，計算結果和更加貼合工程實際監測數據，而且計算方法較為簡便，在對涉及隧道的上方自由放坡形式基坑工程進行安全評估時，無需進行有限元建模就能先使用公式進行初步計算判斷隧道變形，具有一定的工程實用價值。

（2）放坡基坑的開挖深度對下臥隧道會有顯著的影響，隨著基坑開挖深度的增加，最大位移發生處都在基坑中間部位，但是工程引起的隧道變形范圍會相應擴大，隧道位移也相應增加，且變化率也隨著深度的增加而變高。

（3）電力隧道的埋深越大，隧道受到上方基坑開挖的影響就越小。當隧道埋深加大時，隧道變形的最大值始終發生在基坑中間部位，隧道變形減小的變化率也隨之減小。

（4）土質條件對隧道變形有著密切的關系，當地基基床系數從較小的值增大時，電力隧道的位移明顯減小。但是當基床系數較大（6 000 kN/m）的時候，基床系數增加并不會明顯減小電力隧道位移。

參考文獻

［1］Chang C T ， Wang M J ， Chang C T ， et al. Repair of displaced shield tunnel of the Taipei Rapid Transit System［J］. Tunnelling & Underground Space Technology， 2001， 16（3）：167-173.

［2］劉國彬， 侯學淵. 軟土基坑隆起變形的殘余應力分析法［J］. 地下工程與隧道， 1996（2）： 2-7.

［3］劉國彬， 黃院雄， 侯學淵. 基坑工程下已運行地鐵區間隧道上抬變形的控制研究與實踐［J］.巖石力學與工程學報， 2001（2）： 202-207.

［4］吉茂杰， 劉國彬.開挖卸荷引起地鐵隧道位移預測方法［J］. 同濟大學學報（自然科學版）， 2001（5）： 531-535.

［5］陳郁， 李永盛. 基坑開挖卸荷引起下臥隧道隆起的計算方法［J］.地下空間與工程學報， 2005（1）： 91-94.

［6］Ng C W W ， Lu H ， Peng S Y . Three-dimensionalCentrifuge Modelling of the Effects of Twintunnelling on an Existing Pile［J］. Tunnelling and underground space technology， 2013， 35（APR.）：189-199.

［7］Han-long Liu， Ping Li， Jin-yuan Liu. Numerical investigation of underlying tunnel heave during a new tunnel construction［J］. Tunneling and Underground Space Technology incorporating Trenchless Technology Research， 2010， 26（2）.

［8］謝雄耀， 郁宏杰， 王慶國，等. 基坑開挖引起下臥既有電力隧道變形的控制技術研究［J］. 巖土工程學報， 2014， 36（1）： 88-97.

［9］姜 玲， 汪中衛， 王旭東. 隧道開挖引起地下管線豎向位移的初參數法求解［J］. 南京工業大學學報（自然科學版）， 2010， 32（4）： 72-76.

［10］宋文新， 鄭 斌， 羅偉錦， 等. 軟土地區基坑開挖對臨近電力頂管隧道影響研究［J］.科技通報， 2018， 34（11）： 197-203+208.

［11］陳召君. 基坑開挖對下臥電力隧道的影響及變形控制優化研究［D］. 重慶：重慶交通大學， 2020.

［12］黃宏偉， 黃 栩， Schweiger F.Helmut. 基坑開挖對下臥運營盾構隧道影響的數值模擬研究［J］. 土木工程學報， 2012， 45（3）： 182-189.

［13］周建昆，李志宏.緊鄰隧道基坑工程對隧道變形影響的數值分析［J］.地下空間與工程學報， 2010， 6（S1）： 1398-1403.

［14］陳 輝， 薛栩超， 郭建剛， 等. 基于不同軟件模擬深基坑開挖變形的對比分析［J］. 南京工業大學學報（自然科學版）， 2020， 42（6）： 780-786.

［15］左殿軍，史 林，李銘銘，等.深基坑開挖對鄰近地鐵隧道影響數值計算分析［J］.巖土工程學報， 2014， 36（S2）： 391-395.

［16］張治國， 張孟喜， 王衛東. 基坑開挖對臨近地鐵隧道影響的兩階段分析方法［J］.巖土力學， 2011， 32（7）： 2085-2092.

［17］龔曉南， 謝康和. 土力學［M］. 北京： 中國建筑工業出版社. 2014： 66-68.

［18］周澤林， 陳壽根， 張海生， 等. 明挖卸荷對下臥地鐵雙洞隧道變形影響的計算方法研究［J］.鐵道學報， 2016， 38（9）： 109-117.

［19］Winkler E. Die Lehre von Elastizitat und Festigkeit ［M］. Praga Domonicus， 1867： 182.

［20］姜兆華， 張永興. 基坑開挖對鄰近隧道縱向位移影響的計算方法［J］. 土木建筑與環境工程，2013， 35（1）： 7-11+39.