從一個四維左對稱代數(shù)構造一些八維相空間

侯冬平，丁夢菲

(云南師范大學 數(shù)學學院，昆明 650500)

李代數(shù)與約當代數(shù)、交錯代數(shù)被并稱為三類非常重要的非結合代數(shù)。19世紀后期，挪威數(shù)學家S.Lie在研究連續(xù)變換群時引進了李代數(shù)。李代數(shù)與李群有密切的關系，之后作為一門獨立的學科迅速發(fā)展，并且廣泛應用于數(shù)學及物理的許多領域。

如果一個李代數(shù)上存在一個非退化的反對稱的辛形式，則稱這樣的李代數(shù)為辛李代數(shù)[1-3]。在辛李代數(shù)上存在一種新的代數(shù)結構，稱之為左對稱代數(shù)(也稱為預李代數(shù))，是一類非常重要的非結合代數(shù)[4]。左對稱代數(shù)與很多數(shù)學學科和數(shù)學物理的許多領域都有密切的關系，如仿射流形[5]、李群上的仿射結構[6]、李代數(shù)[7]等。通過一個左對稱代數(shù)上的S-方程的一個對稱解，可以構造出一個特殊的辛李代數(shù)(也稱為相空間)。文獻[8]中給出了一些四維和六維的相空間，然而，對于更高維數(shù)的相空間人們還知之甚少。

文獻[9]給出了一類特殊的n維左對稱代數(shù)An(域的直和)，設e1，e2，…，en是An的一組基，則：eiej=δijei，1≤i，j≤n。當n<4時，An上的S-方程的對稱解及其對應的相空間都已經(jīng)通過直接計算得到。本文主要給出A4上的S-方程的所有對稱解及其對應的相空間，其中

矩陣中(i，j)元為ei，ej的乘積。

1 基本概念

定義1[4,10]設g是數(shù)域F上的一個線性空間，在g中定義雙線性乘法[，]滿足下列條件：

[x，x]=0;[[x，y]，z]+[[y，z]，x]+[[z，x]，y]=0，?x，y，z∈g，

(1)

則稱g是數(shù)域F上的一個李代數(shù)。

定義2[4]設g是數(shù)域F上的一個李代數(shù)，V是數(shù)域F上的一個線性空間，若g到gl(V)線性映射f滿足等式：

f([x，y])=f(x)f(y)-f(y)f(x)，?x，y∈g，

(2)

則稱f是李代數(shù)g的一個以V為表示空間的線性表示，記為(f，V)或f。如：

ad:g→gl(g)，xadx，?x∈g，adx(y)=[x，y]，?y∈g，

稱為g的伴隨表示。

定義3[4，10]設A是數(shù)域F的一個線性空間，在A中定義雙線性乘法“·”滿足等式：

(x·y)·z-x·(y·z)=(y·x)·z-y·(x·z)，?x，y，z∈A，

(3)

則稱A是一個左對稱代數(shù)或預李代數(shù)。此時，定義乘法“[，]”：

[x，y]=x·y-y·x，?x，y∈A，

(4)

則(A，[，])是一個李代數(shù)，稱為左對稱代數(shù)A的鄰接李代數(shù)，記為G(A)。

定義4[4]設V是數(shù)域F上的一個線性空間，V*是V的對偶空間，則存在一個自然的非退化對稱的V*×V到F的雙線性映射“〈，〉”滿足：

〈v，a*〉=〈a*，v〉=a*(v)，?a*∈V*，v∈V。

(5)

性質(zhì)1[4]設(A，·)是一個左對稱代數(shù)，G(A)是它的鄰接李代數(shù)，則：

1)線性映射：

L.∶G(A)→gl(A)，xL.(x)，?x∈A，其中L.(x)(y)=x·y，?y∈A，

是李代數(shù)G(A)的一個表示，稱為G(A)的正則表示。

2)線性映射：

L.*∶G(A)→gl(A*)，xL.*(x)，?x∈A，

〈L.*(x)(a*)，y〉=-〈a*，x·y〉，?x，y∈A，a*∈A*，

(6)

是李代數(shù)G(A)一個表示，稱為G(A)的正則表示的對偶表示。

定義5[4]設g是一個李代數(shù)，g上的非退化的反對稱雙線性型f，如果滿足：

f([x，y]，z)+f([y，z]，x)+f([z，x]，y)=0，x，y，z∈A，

(7)

則稱f是g上的一個辛形式。具有辛形式的李代數(shù)稱為辛李代數(shù)。

性質(zhì)2[4]設g是一個李代數(shù)，f是g上的辛形式，則在g上存在一個相容的左對稱代數(shù)結構“·”如下：

f(x·y，z)=-f(y，[x，z])，x，y，z∈A。

(8)

定義6[8]稱李代數(shù)T(g)是一個相空間，若以下條件成立：

1)作為線性空間，T(g)是g與g*的直和，且g與g*是T(g)的子代數(shù)；

2)反對稱雙線性型：

fp(x+a*，y+b*)=-〈x，b*〉+〈a*，y〉，?x，y∈g，a*，b*∈g*

(9)

是T(g)上的辛形式。

定義7[8]設(A，·)一個左對稱代數(shù)，r是A與A的張量空間里的一個元素，稱方程：

-r12·r13+r12·r23+[r13，r23]=0

(10)

為(A，·)上的S-方程。其中符號如下：

(11)

(12)

(13)

引理1[8]設(A,·)是一個左對稱代數(shù)，r是A上的S-方程的一個對稱解，則r可以被看作A*到A的一個線性映射:

〈r(a*)，b*〉=〈r，a*?b*〉，?a*，b*∈A*。

(14)

從而r可以誘導出A*的一個左對稱代數(shù)結構“·”相空間T(G(A))，且T(G(A))上的左對稱代數(shù)結構“*”和李代數(shù)結構如下：

a**b*=a*·b*=-r.*(r(b*))a*+ad*(r(a*))b*，?a*，b*∈A*;

(15)

[a*，b*]=L.*(r(a*))b*-L.*(r(b*))a*，?a*，b*∈A*;

(16)

x*a*=x·r(a*)-r(ad*(x)a*)+ad*(x)a*，?x∈A，a*∈A*;

(17)

a**x=r(a*)·x+r(R.*(x)a*)-R.*(x)a*，?x∈A，a*∈A*;

(18)

[x，a*]=[x，r(a*)]-r(L.*(x)a*)+L.*(x)a*，?x∈A，a*∈A*。

(19)

2 四維左對稱代數(shù)A4上的S-方程的對稱解和其對應的相空間

r12(r12-r11)=r12(r22-r12)=r12(r23-r13)=r12(r24-r14)=0;

r13(r13-r11)=r13(r23-r12)=r13(r33-r13)=r13(r34-r14)=0;

r14(r14-r11)=r14(r24-r12)=r14(r34-r13)=r14(r44-r14)=0;

r23(r13-r12)=r23(r23-r22)=r23(r33-r23)=r23(r34-r24)=0;

r24(r14-r12)=r24(r24-r22)=r24(r34-r23)=r24(r44-r24)=0;

r34(r14-r13)=r34(r24-r23)=r34(r34-r33)=r34(r44-r34)=0。

證明根據(jù)定義7，由于A4交換，直接計算可以得到

-r12·r13+r12·r23+[r13，r23]=-r12·r13+r12·r23

由于向量組ei?ej?ek，1≤i

定理1設e1，e2，e3，e4為左對稱代數(shù)A4的一組基，e1*，e2*，e3*，e4*為其對偶基，則由A4上的S-方程的對稱解r=(rij)誘導出的相空間T(G(A))上的李代數(shù)結構如下(只寫出非零的括號積)：

證明首先證明左對稱代數(shù)A4上的S-方程的對稱解只有以上15種。

由命題1知道，r=(rij)是A4上的S-方程的對稱解當且僅當rij是命題1中的方程組的解。

1)當r12，r13，r14都不等于0時，結合命題1中的方程可得

r11=r12=r13=r14=r22=r23=r24=r33=r34=r44≠0，

得到r=r1。

2)當r12，r13不等于0，且r14=0時，代入命題1中的方程可得：

3)當r12，r14不等于0，且r13=0時，根據(jù)命題1中的方程可得:

4)當r12不等于0，且r13=r14=0時，命題1中的方程組同解于以下方程組:

4a)當r34不等于0時，易知，r33=r44=r34，得到r=r4。

4b)當r34等于0時，得到r=r5。

5)當r12=0，且r13，r14不等于0，代入命題1中的方程可得：

6)當r12=r14=0，且r13不等于0，命題1中的方程組同解于以下方程組:

6a)當r24不等于0，易知：r22=r44=r24，解得：r=r7。

6b)當r24=0時，解得：r=r8。

7)當r12=r13=0，且r14不等于0，命題1中的方程組同解于以下方程組:

7a)當r23不等于0，得到：r22=r33=r23，解得r=r9。

7b)當r23=0時，解得r=r10。

8)當r12=r13=r14=0時，命題1中的方程組同解于以下方程組:

r23(r23-r22)=r23(r33-r23)=r23(r34-r24)=0;

r24(r24-r22)=r24(r34-r23)=r24(r44-r24)=0;

(r24-r23)=r34(r34-r33)=r34(r44-r34)=0。

8a)當r23，r24不等于0時，得到：

8b)當r23不等于0，r24=0時，得到：

故A4上的S-方程的對稱解只有以上15種。

L.*(ek)ek*=-ek*，1≤k≤4，l.*(ei)ej*=0，i≠j。

根據(jù)引理1，得到：

所以，結論(1)成立。即

同理，也可以證明其余結論成立。

3 結 語

本文通過一個四維的左對稱代數(shù)A4上的S-方程的對稱解，得到了一些非平凡的八維相空間。在一定程度上豐富了高維數(shù)相空間的例子。由于本文所用方法涉及到非線性方程組的求解，很難把這種方法推廣到維數(shù)較高的代數(shù)上。因此，尋找一個比較好的解決方案是以后研究工作的一個目標。