基于廣義梯形模糊數的基本概率指派方法

宋香鵬，肖建于，吳克鳳，伏明蘭

(淮北師范大學 計算機科學與技術學院，安徽 淮北 235000)

D-S證據理論[1]中基本概率指派(Basic Probability Assignment，BPA)是應用D-S證據理論識別框架(Frame of Discernment,FOD)的核心和關鍵。其中BPA的構造與確定并沒有一個固定的模式，需要考慮不同應用背景下的復雜條件，這是制約證據理論應用推廣的首要原因[2-3]。國內外眾多學者對此問題進行了研究，并且也提出了不同的解決方案。Deng和Wang[4]提出在信任區間上使用多子集焦點元素的BPA轉換方法；Zhang和Deng[5]提出了根據屬性值構造的三角模糊數來指派BPA；Fan等[6]提出利用基于三角模糊數的K-means++算法構造BPA；Qin和Xiao[7]使用測試樣本與模型間的相似度來進行基本概率賦值。

文獻[4-7]主要思想是通過利用模糊數對不同目標類的各種屬性進行建模，然后根據模糊數的隸屬度得到各個焦元的信任度，最終進行歸一化處理，計算出滿足條件的BPA。其中三角模糊數在處理BPA的構造具有很高的應用性，但是當處理區分度較小的數據時，容易引起焦元“爆炸”(即焦元呈指數級數增長)。本文利用機器學習中的鳶尾花數據集，以廣義梯形模糊數為基礎，建立了單元素命題和多元素命題的表示模型，并計算出模糊數的隸屬度來構造BPA。此構造方法相對簡捷，有效減少了焦元增加問題，對各類數據有更強的適用性，為證據理論在目標識別和變壓器故障診斷等工業應用中提供了理論依據。

1 廣義模糊數的構造

1.1 廣義模糊數的定義

論域U到[0,1]上任意映射，確定U上的廣義梯形模糊數為A=(a,b,c,d;w)，對應的隸屬度函數為[8]：

(1)

其中-∞

1.2 廣義模糊數的構造

針對目標識別問題，可以利用已有的歷史數據集獲得其中某指標的最大值和最小值，并且求得其中的三等分均值。基于這三等分均值可以構造出一個梯形模糊數來描述命題。假設某識別問題的FOD為Θ={θ1,θ2,…θi,…,θn}，且Θ中的每個元素都是互斥的。系統中用S表示傳感器，即傳感器收集的識別類別的第m個指標為Sm；系統需要識別的目標可表示為p(p∈θi,i=1,…,n)；屬于θi類的樣本為Hik，Tm(Hik)為傳感器Sm對此樣本的度量向量。構造梯形模糊數表示模型的具體步驟如下：

Step 1：確定度量向量。

針對每個類別θi，各傳感器Sm對于某類別θi的訓練樣本Hik的度量向量為

Step 2：計算梯形模糊數值。

假設類別θi有Zm個訓練樣本，其中屬于指標m的梯形模糊數值為：

(2)

(4)

(3)

(5)

Step 3：梯形模糊數交集分析。

Step 4：確定廣義模糊數。

梯形模糊數的交集部分可能為梯形或三角形，根據實際情況確定隸屬度w，稱此類模糊數為廣義梯形模糊數或是廣義三角模糊數。

2 基于廣義梯形模糊數的BPA指派

2)若測量值并未出現在初始梯形模糊數表示模型范圍中，則有兩種處理方式：①當系統屬于開放世界假設情況下，說明此測量值屬于未知的類別，處理方法則是將BPA全部指派給空集?，即表示為m(?)=1。②當系統屬于封閉世界假設情況下，說明訓練集選擇可能不完善，處理方法則是將BPA全部指派給全集Θ，即表示為m(Θ)=1。但是在實際工程應用中，一般在確定此數據類型后，然后將其加入到訓練集中，重新修正并確定相應類別的梯形模糊數。

3)依次計算出各命題的隸屬度之后，可通過以下方法進行BPA的指派：首先用1減去最大隸屬度，然后賦值給全集Θ，即認為此部分的信息屬于未知空間。為計算方便以及保證BPA之和為1，將計算出的隸屬度進行歸一化處理。具體公式如下：

(6)

(7)

(9)

(8)

(10)

其中p,q,z分別是梯形模糊數、交疊的梯形模糊數、三角模糊數模型的焦元個數。根據公式依次計算出各屬性的BPA指派。

4)某一證據對某屬性的基本概率分配為0，會導致最終合成的mass函數結果為0，即使其他證據對該事件分配的概率較高或增加新證據表明該事件有較大概率也無法影響合成結果[10-11]。為避免沖突證據影響合成結果不準確，故使用以下合成方法：m1,m2,…,mn所對應的證據集為F1,F2,…,Fn，并設證據集i和j之間的沖突大小為kij，則

(11)

m(Θ)=0,

m(A)=p(A)+k·ε·q(A),A≠?,X，

(12)

(14)

m(X)=p(X)+k·ε·q(X)+k(1-ε)，

(13)

(15)

3 目標識別實驗

鳶尾花數據集(Iris data)共有150個樣本數據，包含3個類別，分別是Setosa(Se)、Versicolour(Ve)和Virginica(Vi)，每個類別各有50個實例樣本。并且Iris數據集還提供4個屬性：萼片長度(SL)、萼片寬度(SW)、花瓣長度(PL)、花瓣寬度(PW)。在以下實驗中，每個屬性都被認為是獨立的傳感信息源，每類各隨機抽取25個實例樣本數據，剩下的25個實例樣本數據作為測試樣本[12]。

3.1 基本識別實驗

本實驗中，根據隨機抽取的樣本數據得到鳶尾花萼片長度的梯形模糊數值如表1所示，圖3給出了鳶尾花4個屬性的梯形模糊數表示模型，表2則是3類鳶尾花交疊部分為三角形的三角模糊數值。

表1 萼片長度的梯形模糊數值

表2 3類鳶尾花交疊部分的廣義模糊數

假設由傳感器系統測得一個鳶尾花的樣本值為(4.70、3.20、1.60、0.20 cm)，對于此花的萼片長度4.70 cm，利用本文的BPA指派方法，得到的BPA如下：

m(Se)=0.8696,m(Θ)=0.1304，

此樣本的4個屬性指派的BPA如表3所示。

為避免沖突證據的影響，使用公式(11)—(15)進行證據間的合成。其合成結果為：

m(Se)=0.7860,m(Se,Vi)=0.0521,m(Θ)=0.1619。

最后根據決策支持系統中，BPA最大的種類即為樣本所屬類別，故此樣本屬于Se。

表3 某樣本生成的BPA

3.2 封閉世界假設模擬實驗

采取封閉世界假設實驗[13],即認為樣本數據集是完全的，在本實驗中則是確定數據集中具有Se、Ve和Vi的類別數據。將利用神經網絡方法[14]，Zhang的三角模糊數方法[5]和本文的BPA指派方法進行對比實驗。實驗數據同上，數據中50%作為訓練集，剩下50%作為測試集。實驗結果如表4和表5所示：

表4 有噪聲環境下完全FOD的不同方法識別率

表5 無噪聲環境下完全FOD的不同方法識別率

在本節中,使用Iris數據集所有類別來建立目標模型，即識別框架是完全的,測試實例也是已知的。主要區別是有無噪聲環境，即訓練數據集中是否含有每個類別的最大值與最小值，若無最大值或最小值，則認為是噪聲環境，反之則認為是無噪聲環境。從表4和表5中的實驗結果可以得出：在完全FOD下使用神經網絡方法進行識別分類，在有無噪聲環境情況下，平均識別率都為73.3%，這是因為訓練數據過少，導致神經網絡的學習并不完善，從而影響到識別率較低。Zhang使用的三角模糊數交叉區域識別方法在噪聲環境下的平均識別率為80.00%，無噪聲環境下平均識別率為81.33%，相比于神經網絡方法，識別率顯著提高。但與本文改進的方法相比，由于其焦元的增加，識別率并沒有本文的方法表現優良。本文利用梯形模糊數模型的方法在有無噪聲環境下的平均識別率分別達到86.67%和89.33%。

3.3 開放世界假設模擬實驗

在開放世界假設實驗下[15-16]，將Se類和Ve類視為已知類，Vi類為未知類，其他的參數與之前實驗相同。通過Se類和Ve類訓練出的梯形模糊數模型分別識別測試樣本中的Se類和Ve類，同時根據此模型識別未知類Vi。實驗結果如表6和表7所示：

表6 有噪聲環境下不完全FOD的不同方法識別率

表7 無噪聲環境下不完全FOD的不同方法識別率

通過對比實驗發現，在不完全的識別框架下，噪聲環境是否存在對識別率的影響并不是很大，由于整體的未知量增加，對已知類判斷更加準確。其中本文的改進方法效果最好，在無噪聲環境下，對各類別的識別率均達到了96.00%。其根本原因是利用梯形模糊數的模型有效減少了焦元的生成量，可以更加準確地完成BPA的指派，由此說明改進的方法在實際分類中應用有效。

4 結 論

本文利用廣義梯形模糊數模型中的隸屬度進行證據理論中的基本概率指派，解決了證據理論在應用中的關鍵性問題。通過在經典的鳶尾花數據集上的對比實驗，證明了本文提出的方法在目標分類應用中是有效的，并且此方法在處理小規模數據集時有著獨特的優勢，在實際工程應用中，只要有一定的數據，均能使用此方法進行基本概率的指派。與其他方法相比，此方法生成的焦元更少，可以更準確地得到量化指標，較好地解決了評價體系中的主觀性問題。實驗結果也證明，此方法在開放世界和封閉世界中都可以很好地進行識別。由于利用基本概率賦值函數的形式構造BPA可以有效處理各類基礎信息，在未來研究中可以將此方法應用在多源信息融合領域中。