體積加權平均的晶粒測量程序

李 瀟 ，楊殿斌 ，張紅順

（長安大學工程機械學院，陜西 西安 710064）

0 引言

在工程實際的運用中，金屬材料大多使用焊接進行連接。焊接過程中產生的焊接熱輸入導致焊接接頭產生殘余應力以及非均質的微觀結構，這是導致焊接接頭力學性能、疲勞性能顯著降低的原因。因此，為了更好地預測焊接接頭的力學性能以及疲勞性能，必須探究其中的規律，其中一項很重要的工作就是理解微觀結構情況與材料性能之間的關系。對于更為先進的焊接方式如激光焊接、攪拌摩擦焊，對微觀結構的表征尤為重要[1-2]。

一般來說，金屬材料的力學性能與微觀結構尺寸相關，最常用的關系是Hall-Petch關系，根據Hall[3]和Petch[4]的工作，發現了鋼材的晶粒度和力學性能之間的關系。對于屈服強度，關系式如下：

式中，σ0是移動單個位錯所需的晶格摩擦應力；k是一個材料相關的常數；d是平均晶粒尺寸[5]。

Hall與Petch的工作重點分別聚焦于低碳鋼的低屈服點和解理斷裂應力。之后，Pall-Petch關系被眾多學者應用于各種金屬材料以及非金屬材料，與之聯系的材料特性也被擴展到顯微硬度、應力應變特性、疲勞等[6-7]。由于Hall-Petch關系與平均晶粒尺寸相關，因此正確測量平均晶粒尺寸至關重要。通常，平均晶粒尺寸由線性截距法或者面積法進行測量，其中包含了部分使用者的主觀因素，而且其對非均質微觀結構的適用性讓人懷疑。多項研究表明，平均晶粒尺寸對機械性能有影響，但晶粒尺寸分散度的增大會降低材料的強度。

考慮晶粒尺寸分布的影響，文章介紹了一種體積加權平均的晶粒尺寸測量方式——點截距測量法，通過MATLAB軟件進行金相圖片的圖像處理以及晶粒尺寸計算，消除晶粒尺寸分散性的影響。

1 點截距法定義

目前的研究證明，基于ASTME1382線截距測量法計算平均晶粒尺寸可以用于描述均質的微觀結構，其被定義為：

式中，n為總測量次數；ni為與晶粒尺寸di對應的測量次數。

但是，對于焊接接頭這種非均質的微觀結構，由于晶粒尺寸分散性較大，平均晶粒尺寸不能充分地表征材料的性能[8]。在微觀結構中，由于滑移帶的長度，較大的晶粒可能與低強度有關，導致它們首先屈服[9]。此外，即使存在少量大顆粒也會占據大量材料空間。為了捕捉晶粒體積的影響，提出了一種非均勻微觀結構的混合規則方法。每個晶粒對材料強度的貢獻被認為與晶粒體積成正比[10]。此時，體積加權平均晶粒度被定義為：

式中，VT是材料的總體積；Vi是與晶粒尺寸di相對應的晶粒體積。

由于定義不同，體積加權平均晶粒度始終大于平均晶粒度。只有當所有晶粒尺寸相同時，這兩個參數才相等。

2 點截距法測量程序

對于描述晶粒的信息，常用的參數是平均晶粒尺寸。但是在體視學中最重要的一個問題可能是，在三維空間中，晶粒的數量不能通過試樣在一個二維截面上直接獲得，晶粒只能在三維空間中被正確計數，它們的個體大小因此也只能在三維空間中被確認。目前，有學者通過連續切片的方式對晶粒進行有效且直接的估計，研究晶粒在三維空間中的分布，但是其中的難點在于精確測量每次切片的厚度。

使用標準ASTME1382線性截距法建立MATLAB程序，首先在金相圖像中生成隨機的指定長度的測試線L，￣L0指晶粒的平均截線長度，線截距測量示意圖如圖1 所示。

圖1 線截距測量示意圖

式中，N為測試線穿截的晶粒個數；NL為單位測量線上的晶粒的個數。

點截距測量法獲得的體積加權平均晶粒尺寸是通過用相應的晶粒體積對每個測量值進行加權來獲得的，如方程式（3）中所定義的。在使用MATLAB實現測試程序時，首先將一組隨機點放置在圖像上，并通過該點向隨機方向（0°，45°，90°，135°）進行延伸，直至接觸晶界，相關過程的圖解如圖2所示，每個點所延伸出的截距的長度，即為dv。由圖像可知，隨機點均勻地落在圖像上，會導致單個晶粒的被測量次數由該晶粒的表面積決定。將所有的測量值視為一個分布，將小于等于3個像素值的測量值視為噪聲，并從分布中剔除這些測量值。使用相對粒度分散來表征點截距法測量的分布：

圖2 點截距測量示意圖

式中，p99%表示99%概率水平的晶粒尺寸；p1%表示1%概率水平的晶粒尺寸。

使用p99%、p1%分別表示最大、最小晶粒尺寸是為了最大限度地降低測量的不確定性。隨機點撞擊大小為i的晶粒的概率與晶粒的表面積分數成正比：

式中，Ai是表面大小為i的晶粒的表面積；AT為總表面積。

基于體視學的關系，表面積分數為體積分數提供了一個統計估計：

式（6）與式（7）之間存在等式關系，因此顆粒被測試的概率與其體積分數成正比，當使用點采樣方法進行n次測量時，會生成一個分布，其中大小為i的晶粒的出現次數由被測量的概率決定：

因此，點采樣分布的算術平均粒度為：

3 結論

文章建立了一種基于體視學的點截距測量程序，該程序通過體積加權平均，考慮了非均質的微觀結構中晶粒尺寸的分散性，通過MATLAB程序提高了數據的一致性，消除了使用線性截距法測量時使用者的主觀因素。文章對點截距測量過程進行了推導，以證明點截距測量程序是一種體積加權平均的晶粒尺寸測量方式。