基于自由度約束的元動作單元誤差傳遞路徑識別方法

李 健 張根保 冉 琰 王勇勤

重慶大學機械與運載工程學院，重慶，400044

0 引言

機械系統的裝配精度對運動性能有顯著影響，因此，為保證機械產品的運動性能，需對機械系統的裝配精度進行分析，但機械系統結構復雜、零部件眾多，傳統的精度分析方法使用十分不便。LI等[1]根據機械系統的特點，提出了“功能-運動-動作(function-motion-action，FMA)”的結構化分解方法。該方法將復雜機械系統分解為獨立的元動作，并將元動作作為分析的最小單元，保證了元動作的性能就能保證整機的性能。元動作結構相對簡單，分析和建模方便，因此在裝配誤差分析[2]、精度分析預測[3-4]、精度映射[5]、精度分配[6]等領域得到廣泛的應用。

元動作單元是機械產品中最小的結構單元，其誤差建模和分析是整機精度分析的基礎。學者對機械系統的誤差分析和建模過程進行了廣泛的研究，并提出多種誤差建模方法，如三角幾何法[7]、神經網絡法[7]、多體系統理論法[8-11]和裝配有向圖法[12]。上述方法在對機械系統進行誤差建模的過程中，主要利用機械系統的拓撲結構和裝配序列來表達誤差的傳遞路徑。機械系統中，一個零件可能與相鄰的多個零件存在裝配關系，導致存在多條誤差傳遞路徑，直接利用拓撲結構和裝配序列來表達機械系統中誤差的傳遞路徑會導致分析結果不準確。為提高誤差建模和分析結果的準確性，搜索和識別合適的誤差傳遞路徑至關重要。呂程等[13]研究了復雜機械產品誤差傳遞路徑的搜索方法，通過分析典型結合面的誤差傳遞屬性，定義結合面的信息集成表達符號，結合多色集合理論，建立了描述裝配關系、結合面類型、結合面誤差傳遞屬性的結合面符號矩陣，并在此基礎上提出了裝配體誤差傳遞路徑的搜索方法。該方法首先搜索基準件到精度輸出件之間所有的誤差傳遞路徑，然后將精度輸出件誤差分量的最短誤差傳遞路徑作為最終的誤差傳遞路徑。此方法需要遍歷搜索所有誤差傳遞路徑，計算工作量較大，在實際應用中存在一定局限性。針對元動作單元的結構特點，YANG等[4]提出一種誤差傳遞路徑的逆向搜索方法，通過分析元動作單元中零件間的裝配關系，建立裝配有向圖，以精度輸出件、支撐件為誤差傳遞路徑搜索的起點和終點，逐層定性分析各結合面的誤差傳遞屬性，剔除誤差傳遞的中斷路徑，最終確定誤差傳遞路徑，但該搜索方法依然對起輔助作用的零件的誤差傳遞路徑進行分析，增加了不必要的分析計算。

本文提出一種基于精度輸出件自由度約束判斷誤差傳遞路徑新方法，通過分析元動作單元中零件的組成和主要功能，初步確定誤差傳遞路徑，然后根據誤差傳遞路徑中的結合面約束屬性，計算得到精度輸出件的自由度約束屬性，并將其與精度輸出件設計要求的自由度約束屬性對比，確定誤差傳遞路徑。

1 元動作理論介紹

1.1 FMA結構化分解樹

元動作理論利用FMA結構化分解樹對復雜機械系統進行結構化分解，得到各個串聯的元動作，該理論在數控機床可靠性、精度等研究領域得到了廣泛應用[14-17]。FMA結構化分解樹如圖1所示，整機的性能通過各個元動作以及元動作之間連接的性能來實現。從元動作單元入手對機械系統的誤差進行建模和分析，可以大大提高分析的效率。

圖1 機電產品FMA結構分解樹Fig.1 Schematic of the FMA decomposition tree

1.2 元動作分類及其單元的結構組成

元動作根據運動形式的不同分為轉動元動作和移動元動作。元動作單元主要由5個要素組成，包括動力輸入件、中間件、支撐件、緊固件和動力輸出件，其結構模型如圖2所示[15]。

圖2 元動作單元結構組成Fig.2 The structure of meta-action unit

在元動作單元中，對機械系統的運動精度產生主要影響的是動力輸入件和動力輸出件的裝配精度。因此，對元動作單元進行誤差分析時，動力輸入件和動力輸出件為精度輸出件，支撐件為基準鍵。支撐件、中間件、動力輸入件和動力輸出件的裝配結合面構成了元動作單元的誤差傳遞路徑。

2 結合面自由度約束分析

2.1 自由度約束表達

機械系統誤差傳遞分析主要利用小位移弦量(small displacement torsors，SDT)法描述結合面的誤差變動[18-19]。若ε=(εx，εy，εz)=(u，v，w)，p=(px，py，pz)=(α，β，γ)，其中，u、v、w分別為沿坐標軸X、Y、Z的移動變化量，α、β、γ分別為繞坐標軸X、Y、Z的轉動變化量，則用SDT表示的誤差變化量為

T=(ε，p)=(u，v，w，α，β，γ)

(1)

為更加方便地利用SDT模型進行誤差分析，呂程等[13]引入二進制數表達方式，即將SDT模型表示的誤差變化量的非0元素用1表示，其余元素用0表示。SDT模型的二進制數模型中，為1的元素表示該方向自由度被約束，為0的元素表示該方向自由度沒有被約束，因此SDT模型的二進制數模型可方便地表示零件自由度的約束情況，即自由度約束屬性。

2.2 典型結合面自由度約束屬性

機械系統中，典型的結合面包括平面結合面、圓柱結合面和圓錐結合面。典型結合面對被約束零件的自由度約束屬性如表1所示，其中，A為約束零件，B為被約束零件。

表1 典型結合面自由度約束屬性Tab.1 Constraint property of DOF fortypical joint surface

2.3 相鄰結合面自由度約束屬性

機械系統中，相鄰結合面分為串聯結合面和并聯結合面[20]，如圖3所示，圖中，P1、P2、P3表示零件，F1、F2表示結合面，箭頭表示零件的裝配順序。圖3a中，零件P1、P2、P3分別通過結合面F1、F2連接，因此結合面F1、F2為串聯結合面。圖3b中，零件P1、P2同時通過結合面F1、F2連接，此時的結合面P1、P2為并聯結合面。

(a)串聯結合面 (b)并聯結合面圖3 串聯結合面與并聯結合面Fig.3 Series joint surface and parallel joint surface

零件之間通過結合面約束被裝配零件的自由度，對于串聯結合面，若TF1、TF2分別為零件P2、P3受結合面F1、F2約束時的自由度約束屬性，則P3的各個方向自由度的約束情況受F1、F2的共同影響，通過對TF1、TF2進行邏輯“積”運算，得到串聯條件下P3的自由度約束屬性[13]：

(2)

(3)

在機械系統中，常見的并聯結合面主要為平面結合面&平面結合面、圓柱結合面&平面結合面、圓柱結合面&圓柱結合面[21-22]。并聯結合面對被約束零件的自由度約束屬性如表2所示。

表2 并聯結合面自由度約束屬性Tab.2 Constraint property of DOF for parallel joint surface

元動作單元存在冗余結構時，冗余結構對被約束零件構成并聯約束關系，被約束零件的誤差受并聯約束關系的綜合影響，因此可以將冗余結構產生的并聯約束關系等同于并聯結合面進行處理。

3 元動作單元誤差傳遞路徑分析

由元動作單元結構組成可知，元動作單元結構相對簡單。通過分析單元中5個組成要素的裝配關系，可以很容易得到誤差傳遞路徑，即支撐件-中間件-精度輸出件(動力輸入件和動力輸出件)。元動作單元中的中間件較多，分為傳遞動力和輔助定位兩種。選擇傳遞動力的中間件作為誤差傳遞路徑中的元素，可得初始誤差傳遞路徑，然后對該路徑進行分析判斷，確定該誤差傳遞路徑為所求路徑。

3.1 基于自由度約束的誤差傳遞路徑分析方法

通過機械系統內部零件之間的裝配關系，實現對零件各個方向自由度的約束，未被約束的方向則可實現規定的運動。因此，對于元動作來說，通過單元中各個零件及結合面的裝配關系，約束了精度輸出件(動力輸入件和動力輸出件)的5個自由度，而未被約束的運動即為元動作需要實現的運動。對于轉動元動作，未被約束的自由度為繞X軸(Y軸或Z軸)的轉動；對于移動元動作，未被約束的自由度為沿X軸(Y軸或Z軸)的移動。

3.2 元動作單元誤差傳遞路徑分析流程

元動作單元誤差傳遞路徑分析流程如圖4所示，具體步驟如下：

圖4 元動作單元誤差傳遞路徑分析流程圖Fig.4 Flow chart of error transfer path analysis for meta-action unit

(1)分析元動作功能及元動作單元的結構，將單元中的零件分為支撐件、中間件、緊固件、動力輸入件和動力輸出件。

(2)確定元動作單元動力輸入件和動力輸出件的設計運動狀態，得到其自由度約束屬性T=(T(Ipart)，T(Opart))。

(3)分析元動作單元的支撐件、中間件(傳遞動力)和精度輸出件(動力輸入件和動力輸出件)，初步確定誤差傳遞路徑。

(4)分析誤差傳遞路徑中零件間的配合關系，識別零件間的主要結合面。

(5)根據表1和表2，得到各個結合面的自由度約束屬性。

(8)輸出元動作單元誤差傳遞路徑。

4 實例分析

1.螺母 2.輸入齒輪 3.鍵 4.左軸承端蓋 5.箱體 6.左軸承 7.軸套 8.傳動軸 9.輸出齒輪 10.鍵 11.右軸承 12.右軸承端蓋圖5 齒輪轉動元動作單元結構簡圖Fig.5 The structure diagram of gear rotation meta-action unit

通過分析齒輪轉動元動作單元的結構，確定精度輸出件為輸入齒輪和輸出齒輪，基準件為箱體，主要傳遞動力的中間件為左軸承、傳動軸和右軸承。因此，初步確定單元的誤差傳遞路徑：箱體-左軸承/右軸承-傳動軸-輸入齒輪(輸出齒輪)。

誤差傳遞路徑中，零件之間的結合面關系以及結合面的自由度約束屬性如圖6所示。箱體為基準件，6個自由度均被限制，因此規定箱體的自由度約束屬性為(1，1，1，1，1，1)；箱體與軸為雙支撐結構，包括2條并聯的支路徑，即箱體-左軸承-傳動軸、箱體-右軸承-傳動軸。右軸承與傳動軸、傳動軸與輸入齒輪、傳動軸與輸出齒輪分別有2個相鄰結合面，而且它們均為并聯關系。因此，利用式(3)的計算方法，得到輸入齒輪和輸出齒輪的自由度約束屬性：

圖6 齒輪轉動元動作單元誤差傳遞路徑Fig.6 Error transmission path of gear rotation meta-action unit

(4)

圖7 改進齒輪轉動元動作單元誤差傳遞路徑Fig.7 Improved error transmission path of gear rotation meta-action unit

(5)

齒輪轉動元動作單元的誤差項包括輸入齒輪和輸出齒輪的X向、Y向和Z向的移動誤差，以及繞Y軸和Z軸的轉動誤差。為說明本文方法的優勢，利用文獻[13]、文獻[4]的方法計算齒輪轉動元動作單元的輸出齒輪各個方向誤差的傳遞路徑，然后將其與本文方法所得結果進行對比。為比較各個方法的計算效率，用分析過程中的路徑分析總數表示計算量，路徑分析總數越小表示分析計算效率越高。表3為各個方法的傳遞路徑分析計算量，圖8所示為輸出齒輪的各個方向誤差傳遞路徑。

(a)文獻[13]方法

(b)文獻[4]方法與本文方法圖8 輸出齒輪誤差傳遞路徑Fig.8 The error transfer path of output gear

由圖8可以看出，文獻[13]的方法基于誤差傳遞路徑最短來識別最佳誤差傳遞路徑，因此輸出齒輪有2條誤差傳遞路徑，而本文所述方法與文獻[4]得到的結果相同。文獻[13]沒有考慮零件之間并聯結合面的影響，而且在分析過程中只能對單個方向的誤差傳遞路徑進行分析。而且對計算工作量(表3)的統計分析發現，對每個方向的誤差傳遞路徑分析過程中，需要遍歷分析單元中所有的誤差傳遞路徑，然后將最短路徑作為最佳誤差傳遞路徑。對機械系統的誤差分析通常是對5個被約束方向的誤差的分析，采用文獻[13]方法的計算量將非常大。文獻[4]和本文的方法可以直接對機械系統中5個被約束方向的誤差進行分析，大大減少了計算量。

表3 計算量對比Tab.3 Comparison of calculationburden

本文方法所需分析的路徑比文獻[4]少，那是因為本文方法在分析時沒有對元動作單元中的套筒進行分析。套筒的功能是輔助定位，并沒有傳遞動力，而且僅對輸出齒輪產生3個方向的約束。文獻[4]的方法沒有考慮零件的主要功能，因此需要對所有零件分析，導致分析的路徑較多。

5 結語

本文方法從元動作單元的零件功能出發，建立誤差傳遞路徑并進行分析，省略了對輔助零件的分析，降低了分析的難度。本文方法可同時對元動作單元等復雜機械系統的5個被約束方向的誤差傳遞路徑進行分析，極大地減少工作量，提高分析和計算的效率。

本文方法在分析過程中，對于元動作單元中初步確定的誤差傳遞路徑和迭代分析過程中需要添加到誤差傳遞路徑中的零件，需要結合經驗進行判斷分析，初始誤差傳遞路徑的選擇或添加的零件不合適會增加迭代分析次數，導致計算量變大，計算效率降低。

今后需要在元動作單元零件分類的基礎上，對每一類零件的具體功能進行深入分析和研究，確定每一類零件的主要功能和在誤差傳遞過程中的作用，從而在誤差分析過程中快速定位并識別主要零件，提高分析的準確性和效率。