淺談自制簡(jiǎn)易密度計(jì)的豎直漂浮的穩(wěn)定性問題

唐建國

（蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校，江蘇 蘇州 215004）

制作簡(jiǎn)易密度計(jì)是初中物理經(jīng)常開展的一個(gè)綜合實(shí)踐活動(dòng)，在制作過程中，為了能讓密度計(jì)保持豎直漂浮狀態(tài)，教師通常會(huì)指導(dǎo)學(xué)生在密度計(jì)下端增加配重，從而降低密度計(jì)的重心.文獻(xiàn)［1］在探討密度計(jì)出現(xiàn)傾斜漂浮的原因時(shí)，指出當(dāng)重心高于浮心，豎直漂浮的物體必定傾翻；只有當(dāng)重心低于浮心時(shí)，才能使密度計(jì)保持豎直漂浮狀態(tài)穩(wěn)定，并給出相關(guān)圖示予以解釋，如圖1所示.然而更多的文獻(xiàn)［2－4］研究表明，漂浮物體的平衡是否穩(wěn)定，并不完全取決于重心要低于浮心這一條件，重心高于浮心，物體也能保持平衡.本文從物體保持平衡狀態(tài)穩(wěn)定的最小勢(shì)能原理出發(fā)，推導(dǎo)密度計(jì)保持豎直漂浮穩(wěn)定所需要滿足的條件.

圖1

1 簡(jiǎn)易密度計(jì)的物理模型建立

圖2

2 勢(shì)能的計(jì)算

漂浮物體只受浮力和重力作用，容易證明：重力G和浮力F做功均與路徑無關(guān)，因而物體同時(shí)具有重力勢(shì)能UG和浮力勢(shì)能UF，將重力勢(shì)能和浮力勢(shì)能的零點(diǎn)定義在液面處.記重心和浮心距離液面的距離分別為hC和hD，若重心和浮心位于液面以下，則規(guī)定hC和hD分別為負(fù)值和正值.總勢(shì)能U為

考慮到漂浮物體是等體積傾斜，重力和浮力始終相等，即

重心C到液面的距離為

浮心D到液面的距離為

將（2）～（4）式代入（1）式，得到

3 豎直漂浮的平衡穩(wěn)定性討論

對(duì)總勢(shì)能函數(shù)（5）式求一階導(dǎo)，并令一階導(dǎo)為0，尋找平衡位置

顯然θ＝0是方程（6）的一個(gè)解，表明豎直漂浮是平衡位置.若總勢(shì)能函數(shù)的二階導(dǎo)在θ＝0時(shí)為正數(shù)，意味著總勢(shì)能有極小值，豎直漂浮的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的.

對(duì)總勢(shì)能函數(shù)求二階導(dǎo)得