綜合運用物理思維化解一道競賽題中的連續積累問題

葉鳴揚 杜素峰

（南京師范大學附屬中學樹人學校，江蘇 南京 210011）

“大同杯”初中物理競賽是上海市初中物理學科最具權威性的物理競賽活動，在華東地區乃至全國范圍都有一定的影響力.近年來，筆者所在地區部分高中學校的中考科技特長生選拔考試以及教師榮譽稱號認定的筆試考試中，仍會出現一些“大同杯”試題及其改編題.可以說，無論出于對學生學科拔尖的需要，還是出于對教師自我提升的需要，“大同杯”試題都是十分優質的學習研究材料.

分析“大同杯”中的經典賽題，不僅要有廣博的物理知識，靈活的物理思維，還要兼備較強的數學功底.其中一些競賽考題，涉及了對連續變化量進行積累的問題.對于物理教師來說，使用微積分知識是可以快速求解的.然而，初中學生卻沒有接觸過微積分，教師在研究和講授相關習題時，應注意轉換思路，避免使用超前的數學知識.

1 原題

例題.（2016年上?！按笸袑W杯”初中物理競賽復賽第8題）如圖1所示，假設有一塊長方體石塊堵住了水的去路.設水的密度為ρ，石塊的質量為m，石塊的左右側面為正方形，邊長為a，寬度為b，石塊與地面足夠粗糙，不會滑動，水若能推倒石塊，則石塊的寬度b應該滿足的條件是

圖1

2 本題解析及常見錯因

2.1 本題解析

解決本題需要掌握3個核心知識點：

（3）水對石塊的壓力的等效作用點（以下簡稱為“壓心”）位于石塊高度處，即壓力的力臂

綜合上述分析，可以列出臨界情況下的力矩平衡方程

故本題應選（C）.

2.2 學生主要錯因

筆者在校本物理思維拓展課程的教學中發現，學生普遍難以理解的關鍵在于知識點3.不少學生誤認為水壓的“壓心”在處，于是得出臨界時的力矩平衡條件

2.3 證明水壓對豎直矩形受壓面的“壓心”在處

如圖2所示，在距離水面h深處，取一極小深度d h，水在此處產生的壓強為ρgh，受壓面的面積為

圖2

d S＝a·d h.

水對面積d S產生的壓力為

d F＝p·d S＝ρgh·a d h.

以石塊底端O點為支點，d F的力臂為d h到石塊底部的距離，即a－h，故d F產生的力矩

d M＝d F·（a－h）＝ρgha（a－h）·d h.水對石塊產生的總力矩為

將總力矩表示為

3 綜合運用思維方法證明“壓心”位置為 a

3.1 尋找新思路

對初中學生介紹微積分方法，是十分不現實的.這其實是對教師提出了更高的要求，需要教師轉變思路，深入思考，摸索出初中生能夠理解的方法.

在分析非線性連續變化、連續累積等物理問題時，微積分無可替代.但在分析很多線性變化問題時，是可以通過無線分割、數形結合等思想方法轉化為幾何問題的.如高中階段，勻變速直線運動的位移問題、彈簧彈力的做功問題等，都可以轉化為與三角形相關的幾何問題進行分析求解.

深入研究本題各變量的變化規律后不難發現，它們都是按照線性規律變化的：如圖3所示，由液體壓強分布規律以及力臂的定義得，自石塊底部向上直至水面處，石塊受到的壓強由ρga均勻減小為0，而水壓的力臂卻由0均勻增大到a.這就給本題的積分問題轉化為幾何問題帶來了可能.

圖3

3.2 運用類比方法進行建模

原情境中，水平方向的壓力與“壓心”問題，可以類比為初中學生更為熟悉的豎直方向的重力與重心問題.如圖4所示，構建一個水平輕質杠桿OA，支點為O.自O點向A點依次懸掛材質均勻，寬度為Δh，長度均勻減小的細長小矩形.

圖4

顯然，自左向右每個小矩形的重力由ρga·Δh均勻較小到0，而每個小矩形的重力對于O點的力臂卻由0均勻增大到最大值.力和力臂的變化規律，與例題中的水壓問題十分相似.

3.3 運用無限分割思想進行等效

上一節的建模還不能完全等效例題中的水壓情形，因為在每個細長小矩形的Δh內，重力并未發生變化.而例題中的水壓是在發生連續不斷的線性變化的.為了使細長小矩形的重力也逼近自O點向A點連續線性減小到0的規律，需要將細長小矩形無限細分下去.

小矩形劃分地越細，整體圖形就越趨近于三角形；當每一個小矩形都無限細分到Δh→0時，它們所構成的整體圖形就是一個三角形了.

至此，原題尋找水壓“壓心”的問題，就等效轉化為了尋找三角形重力力臂的問題.如圖5所示，一塊底為h的直角三角板可繞O點旋轉，學生根據初中幾何知識易得，三角形的重心P位于中線AC上，且AP＝2PC.所以三角板總重力G對于O點的力臂長為h.

圖5

4 結語

對于學習過高等數學的中學物理教師來說，中學物理所需的微積分知識并不困難.但是教學活動是由相互依存的教和學兩方面構成的，即使是物理競賽輔導，也必須考慮到學生的發展階段和理解能力，切不可把提升物理思維的良機變成灌輸超前數學知識的過程.

遇到線性變化過程的累積問題，應當引導學生尋找變量的變化規律，轉化到與變化規律相似的幾何模型中進行巧妙求解.這樣，既不增加學生的學習負擔，又能發展學生多元的思維能力，才是研究物理競賽題的意義所在.只有引導學生充分運用現有的知識，靈活運用分析問題的思維方法，才能促進思維能力的發展，達成解題素養的提升.