隱喻類比：指向數學創造的高階思維

鄒 偉

(邳州市建設路小學， 江蘇 邳州 221300)

康德曾經說過，每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進[1]。《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出要能運用歸納或類比發現數學關系與規律，提出數學命題與猜想[2]。可見類比是人們認識新事物、發現新規律的有效途徑，是分析問題、解決問題的重要思維方法。在中小學數學學習中，可以把新知識、新問題與學生已有的相似經驗進行類比，找到解決問題的方法，實現知識和方法的遷移，進而提高解決問題能力。但在實際運用中發現，由于有些知識之間的相似性比較隱蔽，學生不易找到兩類知識之間的關聯；有時因學生對目標域概念的體驗較少，認知不清晰，無法在源域概念與目標域概念間建立完全映射；有時先給出類比對象要素之間的對應關系，而忽視學生類比源的檢索過程，致使學生類比方法遷移能力發展滯后，概念認知淺層化現象凸顯。把類比思維與隱喻這兩種運行機制相似的思維相結合，提出基于具身體驗的隱喻類比是對類比思維在實踐中的有益補充，可以給中小學數學類比學習一定的啟示。

一、隱喻類比的內涵及特點

類比(analogy)一詞源于古希臘語，本義為比例，類比的目的在于指出兩個不同對象或不同領域之間關系的相似性，具體來說就是，A與B之間的關系正如C與D之間的關系[3]。與類比功能相似，隱喻也是在兩類不同的事物(本體和喻體)之間進行含蓄地比較以表明相似或類似的關系，是一種類比思維的語言表現形式[4]。霍利約克(Holyoak)認為隱喻是一種特殊的類比，其始源域與目標域在語義上的距離非常遠[5]。由于隱喻和類比都基于概念系統的映射關系，因此我們在研究問題求解時可以采用“大隱喻觀”的立場，更多地關注語義距離較遠的案例，并兼顧語義距離較近的典型類比[6]。據此提出隱喻類比的概念，隱喻類比是指在對目標域概念的多維體驗與整體把握中激發學生的具身經驗，提取熟悉的源域概念，通過把兩個對象并置映射，尋找相似性，推出它們的其他屬性也相同，從而找到解決問題的方法。顯然，隱喻類比是一種蘊含數學創造的高階思維，它具有四大特點：一是具身性，由于隱喻類比既需要激發已有的具身經驗(源域概念)，提取相關的知識和方法，又需要對新事物有深刻體驗與整體把握，因此具有較強的具身性。二是相似性，隱喻類比是基于事物之間的相似性，這種相似性可能是不同事物或領域之間業已存在的，通過一種直覺的洞察所把握，也可能是依據某種明確指向性被創造出來的相似性，使得科學理論的整體性建構和關聯成為可能[7]。三是創新性，隱喻類比作為一種思維形式，把概念、知識進行創造性聯結和解釋，由此及彼進行思考、聯想，可以獲得新穎獨特的思維方式和問題解決方法。四是或然性，由于隱喻類比是一種基于具身經驗和體驗的假設、推測，是一種合情推理，并未得到數學的嚴謹證明，所以結論不一定為真。

二、隱喻類比的作用

(一)從表層到實質：縱向層次的認知推進

知識的表層結構是看得見、摸得著的顯性的經驗現象，深層結構則是隱藏在文本中的深刻內涵和思想，是在更深層次上反映現象本質。人們需要借助隱喻類比實現知識從表層到深層實質的認知推進。比如教學“用數對確定位置”，很多教師把教學重心放在練習描述位置，用數對表示給定的點、根據數對找對應的點上。如果把此知識與中學的平面直角坐標系進行隱喻類比，我們會發現，在小學數學中，把現實情境抽象成帶有數字的網格圖，用數對確定平面上的點，其實質就是對坐標幾何的初步學習，其價值并不僅僅在于能夠描述位置，更重要的是為以后學習平面直角坐標系提供直觀認識。由此可見，這部分內容的深層實質是初步認識坐標系和有序數對，重點應該是引導學生經歷選取參照點、在方格紙上標注兩個方向的刻度、規定數對中兩個數的順序等過程，體會可以把平面上的點和一對實數建立起一一對應的關系，從而把空間形式的研究轉化為容易駕馭的數量關系的研究。這樣的系統認知可以讓數學學習從表層到實質，實現對概念的深度理解。

(二)從形似到神似：橫向領域的知識轉移

(三)從低階到高階：學科系統的整體建構

在隱喻的觀點下，數學就是一個由數學的概念或意義同數學之外的實物或經驗之間、數學概念或意義之間形成的復雜的隱喻網絡系統[9]。皮亞杰認為，全部數學都可以按照結構的建構來考慮，而且這種建構始終是開放的，可以由更強的結構來予以結構化[10]。而隱喻類比可以幫助學生用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，激發學生的數學想象力和數學直覺，以知識間的關聯相似性切入，通過與已有屬性相似的數學概念、定理、方法的類比，從而解決新問題，并在新知與舊知之間架起橋梁，合縱連橫，形成結構功能良好的數學認知結構，發展高階思維，實現學科系統的整體建構。比如，整數、小數和分數運算，可以引導學生運用隱喻類比，進行計算方法遷移，理解整數、小數、分數的四則運算都要在相同計數單位下進行，是相同計數單位的累加或遞減，從而感悟數的運算的一致性，實現數與運算的法理融通與整體建構。

三、隱喻類比的實施策略

(一)先行組織，搭建隱喻類比橋梁

豐富的具身經驗是學生隱喻類比的源泉，學生進行隱喻類比學習的前提是其原有認知結構中具備了同化新知識的適當的上位概念或相似概念。面對新問題，學生與之相關的具身經驗如果沒有及時提取出來，那么相應的隱喻類比學習就難以順利展開，新知識、新方法就無法與原有認知結構中的類似觀念產生關聯及“化學反應”。可以說，學生個體隱喻類比能力與他經驗中的有關知識的多少及其組織結構有極大的關系。據此，教學中教師要合理組織教材，對要學習的數學概念、公式的原發現過程進行教學法加工，于新知學習前呈現給學生一種密切相關、極具包容的引導性材料，使學生以此為框架或線索，迅速、準確地從大腦中檢索、提取與任務相關的知識方法，從而在已知與未知間搭建橋梁。

例如教學“反比例的意義”，可以用正比例學習經驗作為先行組織者，搭建正反比例意義類比學習的橋梁。課始通過“學習正比例研究了哪些內容？采用了哪些方法？經歷了哪幾個步驟”等問題，引導學生回憶正比例意義的研究框架和具身學習經驗，從正比例的定義、圖像與判定等角度或言語描述，或畫圖表征，或舉例表達。在此基礎上，引出核心問題“類比正比例的研究，你認為可以怎樣研究反比例？”在正、反比例隱喻類比的指引下，學生運用提取的具身經驗和方法，對反比例大膽推測、舉例驗證、畫圖研究，自主類比構建出研究反比例的內容、方法和步驟。而對正、反比例的定義、圖像與判定的表征與對比，將真正促進學生對新舊知識的深刻理解和相似關聯認知，并形成一種穩定而又有活力的知識結構。

(二)原型啟發，助力隱喻類比抽象

原型啟發是指從生活中的事物本質特征受到啟發，產生新的設想和創意。認知心理學研究表明，小學階段學生處于從具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段，初中階段主要是以經驗型為主的抽象邏輯思維，而數學知識的抽象過程是從事物的相似性開始，在分析事物之間某些相似特點的基礎上，再以它們為標準對事物進行分類，從而獲得對一類事物的認識。基于中小學生長于具身經驗和直觀思維的認知心理特點，教學中教師應重視向學生提供熟悉的實物原型，引發隱喻類比和“數學再發現”，促進學生實現對數學知識的抽象與概括。

比如，教學“認識射線”。生活中并不存在嚴格意義上的射線，學生僅僅依靠想象，很難建立概念的準確表象。運用學生熟悉的激光筆發出的光線進行原型啟發、隱喻類比，則能產生意想不到的效果。先用激光筆向身邊物體上投射一條光線。此時，這條光線可以看作一條線段。線段一端在光源，另一端在物體上。接著，再將激光筆的光線射向無邊無際的天空，引導學生比較這條光線和之前射出的光線，有什么相同和不同？學生在具身體驗、啟發想象中，與線段隱喻類比，感受到這條光線與線段的不同之處：它只有一個端點，是無限長的。學生畫圖表征時，有的將線段向一端延長到紙的邊緣，直至無法再畫表示；有的在畫出的線段一端點上方用省略號表達……雖然方法多樣，但其相似性或共同點是不約而同地都在圖中強調了射線“一個端點、無限長”的特點。這樣射線的概念及特點于“數學再創造”中逐漸抽象出來，在學生頭腦中建立了清晰、深刻的表象。當學生在數學學習中進行創造性想象時，往往會從生活中事物原型得到啟發，從而找到解決問題的方法和途徑。所以教學中教師要善于尋找與新知教學有相似聯系的“生活原型”，引發學生隱喻類比，形成一定的經驗性認知，并加以數學抽象，經歷簡化的數學“再創造”過程，發展數學抽象、反思、創造等高階思維能力。

(三)相似聯想，提出隱喻類比猜測

隱喻類比的基礎是事物之間的相似性，這種相似性在很多現象和理論中都存在。能夠發現兩個或兩個以上研究對象之間的關聯或相似，進而進行直覺聯想、隱喻類比發現事物的本質屬性，對于個體而言，就是一種創造。人們正是由于成功地運用了隱喻類比的思維方法，從具身經驗中找到了事物間被隱藏起來的相似性，或者創造相似性，才對客觀事物的認識不斷走向深入。中小學數學教材中存在許多具有內在聯系的知識，引導學生發現知識之間的關聯相似性，有利于引發隱喻類比，跨過錯綜復雜的現象和盤根錯節的關系，直接領悟到現象的本質，從而提出猜想，找到解決問題的“捷徑”，起到化繁為簡、重整知識結構的效果。

例如，要找出一個均勻四面體的重心，這是一道相對復雜的問題，我們能直覺聯想到一個平面幾何的相對簡單的題目：找出一個均勻三角形的重心。這兩個問題具有內在的相似性：讓四面體的一條高趨于0可以把四面體“壓”成平面圖形三角形。進一步地，再設想讓三角形的一條高趨于0而把三角形“壓”成一條線段，從而把三角形的重心問題直覺類比為線段的重心問題。這時問題化繁為簡，線段的重心就是它的中心。而線段“壘”成的三角形，因為每一條線段的重心都在中心，那么三角形的重心一定在中線上，于是三角形的重心就是三條中線的交點。三角形“壘”成四面體，于是它的重心在頂點與對面三角形重心的連線上，因此四面體的重心就是這些連線的交點。這樣一道復雜問題通過相似聯想，直覺猜測，一步步簡化，運用隱喻類比輕松解決。一般來說，數學研究的對象越陌生、越抽象，就越需要拿熟悉的東西和經驗進行隱喻類比，許多在質上雖然不同的現象，只要它們符合相似的規律，運用隱喻類比的方法進行研究，可以激發學生的直覺猜想、頓悟遷移與數學創造，找到一條解決問題的簡捷路徑，提升解決問題的能力。

(四)演繹修正，證實隱喻類比猜想

隱喻類比是依據兩個對象之間具有屬性相似性，從而推出它們其他屬性也相同的一種合情推理，這種相似性可能是現象的相似，也可能是本質的類同；可能是偶然的巧合，也可能是必然的聯系。正因為此，隱喻類比推出的結論具有或然性，需要通過演繹證明或者實踐檢驗，進一步規避失誤。在中小學數學學習中，運用隱喻類比拓展解決問題思路，運用歸納和演繹推理進行證明、檢驗，修正研究思路，這種敏銳直覺與嚴格推理的巧妙結合，能夠培養學生迅速把握事物主要關系的能力，養成客觀公正而又堅定不移的品格，形成洞察事物本質、把握問題全局、明辨是非的高階思維。

例如，學習“平行四邊形的面積”，學生自然會隱喻類比已有長方形的具身經驗：長方形的面積=長×寬，把平行四邊形的底當成長方形的長，把平行四邊形的鄰邊當成長方形的寬，錯誤地類推出平行四邊形面積=底×鄰邊。面對學生的錯誤思路，教師大可不必失措，可以順著學生的思路，通過實驗驗證，演繹推理，來糾正探索的方向。引導學生做平行四邊形框架，動手拉一拉，感受拉的過程中平行四邊形底邊和鄰邊有沒有發生變化？面積有沒有變化？繼而發現無論如何拉伸，平行四邊形的底邊和鄰邊的長度不變，底與鄰邊的乘積是一個定值，但面積卻在發生變化，由此推理出平行四邊形的面積不等于底×鄰邊。接著因勢利導，“平行四邊形的面積到底和什么有關呢？”讓學生的思路再出發，引向通過割、補、拼的方法把平行四邊形轉化成長方形，利用長方形的面積公式推出平行四邊形的面積公式。這里運用演繹推理既糾正了錯誤的隱喻類比思路，又重新瞄準正確方向，尋找到探索解決問題的有效路徑。當然，從錯誤中學習和不斷修正自己的認識正是通往成功的必經之路。教學中我們可以引導學生通過歸納、演繹推理及反例揭示猜想中的不合理成分，讓學生充分經歷驗證過程，對推理結論進行修正和完善，逐步養成不盲從，不人云亦云的獨立思維，發揮隱喻類比在數學探索過程中的最大價值。

正是由于隱喻類比注重具身經驗和多維體驗的結構與特征，使它成為一種在真實數學情境中富于創新的方法，在科學認知中起著十分重要的作用。中小學數學教學中，我們可以引導學生循此繼進、隱喻類比，抓住知識間相似性關聯，大膽猜想，勇于探索，達到對數學世界準確、深刻、結構化的認知，從而發展指向數學創造的高階思維。▲