從靜觀走向?qū)嶒?br/>——“長方形和正方形”單元數(shù)學(xué)實驗活動的開發(fā)與實施

江蘇江陰市澄江中心小學(xué)（214400）汪燕芬

蘇教版三年級上冊“長方形和正方形”這一單元的知識對學(xué)生來說較為抽象，因此，筆者先梳理出學(xué)生在單元學(xué)習(xí)中存在的一些普遍性問題，再以一個個具體案例闡述數(shù)學(xué)實驗活動的實施路徑，以期幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點。

一、問題分析：過度靜觀，導(dǎo)致學(xué)習(xí)過于抽象化

本單元的教學(xué)主要存在三大問題，究其原因主要是學(xué)生只是靜聽教師講授知識，靜觀教師一個人操作，而缺乏動手實踐。

1.概念理解不透徹

本單元的教學(xué)目標是學(xué)生掌握長方形、正方形的基本特征以及周長概念。而理解周長的含義是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，也是后續(xù)學(xué)習(xí)各圖形周長計算的起點。對于稍加變式的練習(xí)題“如圖1，判斷是甲的周長長還是乙的周長長”，學(xué)生往往判斷不準，原因就在于他們對周長的認識不夠清晰，容易將周長和圖形的面積混淆。這說明三年級的學(xué)生對周長概念的理解不透徹，易受干擾，教師要幫助其尋找到有效構(gòu)建“周長”概念的方式。

圖1

2.周長公式算理不明確

長方形周長的計算是對長方形對邊相等的特征的綜合運用。在多種計算長方形周長的方法中，學(xué)生容易掌握的方法有“長方形的周長=長+寬+長+寬”“長方形的周長=長×2+寬×2”，但對“長方形的周長=（長+寬）×2”的方法只會套用公式機械計算，并不明白其中的算理。可見，把“長方形的周長=（長+寬）×2”理解透徹是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。

3.解題思維力不夠

計算周長的變式題很多，例如，求圖2中的多邊形的周長。解題首先要在深刻理解周長含義的基礎(chǔ)上明確是求哪些邊線長度的和，然后通過平移，將多邊形轉(zhuǎn)化為正方形后才能求出周長，這對學(xué)生的思維要求比較高。本單元還有大量需要通過拼或剪圖形之后求周長的問題，如“把兩個長6厘米、寬4厘米的長方形拼一拼，怎么拼使得周長最長？怎么拼使得周長最短？”“把一個長8厘米、寬6厘米的長方形剪成兩個相同的小長方形，兩個小長方形的周長之和比原來的長方形的周長最多增加幾厘米？”。為此，教師要研究如何幫助三年級的學(xué)生來理解并掌握解決這類問題的策略，以發(fā)展他們的思維。

圖2

二、解決問題的路徑：數(shù)學(xué)實驗的開發(fā)與實施

學(xué)生在學(xué)習(xí)中如同旁觀者，以一種靜觀的狀態(tài)來獲取知識，這樣的學(xué)習(xí)方式是呆板的。為了優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，筆者找到了解決問題的路徑——開展數(shù)學(xué)實驗。

數(shù)學(xué)實驗是指讓學(xué)生借助實物和工具，通過對實驗素材進行“數(shù)學(xué)化”的操作來驗證數(shù)學(xué)結(jié)論、理解數(shù)學(xué)概念、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。在2021年，本校成功申報了江陰市專項資金項目“指向?qū)W科育人的小學(xué)‘數(shù)學(xué)實驗’的實踐研究”，在項目研究的引領(lǐng)下，筆者作為該項目的主要參與者，開始和數(shù)學(xué)實驗零距離接觸。在教學(xué)“長方形和正方形”單元時，筆者開展數(shù)學(xué)實驗研究，讓學(xué)生從靜觀走向?qū)嶒灒行黄屏私虒W(xué)難點，使教學(xué)取得了良好的效果。

1.數(shù)學(xué)實驗內(nèi)容的開發(fā)

數(shù)學(xué)實驗活動應(yīng)具備操作性、實踐性和挑戰(zhàn)性等特點，筆者從以下三方面來開發(fā)本單元的數(shù)學(xué)實驗內(nèi)容。

第一，教材。在充分理解教材編者意圖的基礎(chǔ)上，在教材中的新授內(nèi)容以及習(xí)題中開發(fā)實驗內(nèi)容。例如，教材三年級上冊第38頁的習(xí)題（如圖3）就可重新設(shè)計，開發(fā)為“從長方形中剪出一個最大的正方形”的實驗活動，并用“如何折？”“為什么這樣折？”“最大的正方形和長方形之間有什么關(guān)系？”等問題引導(dǎo)學(xué)生深入思考。

圖3

第二，數(shù)學(xué)課外讀物。例如，《亮點給力提優(yōu)班多維互動空間》（數(shù)學(xué)三年級上冊）（以下簡稱“亮點給力”）這本數(shù)學(xué)讀物的趣味性、挑戰(zhàn)性比較強，如“剪去一個小長方形，周長會怎樣？（如圖4）”，可開發(fā)成數(shù)學(xué)實驗：動手剪一剪，有幾種不同的剪法？每種剪法對應(yīng)的周長發(fā)生怎樣的變化？綜合各種剪法，你得出什么結(jié)論？

圖4

第三，生活問題。小學(xué)數(shù)學(xué)問題大部分來源于生活問題，教師可把學(xué)生要解決的生活問題設(shè)計成數(shù)學(xué)實驗。

數(shù)學(xué)實驗1：王大爺想在院子里圍一個長10米、寬6米的長方形雞舍。如果一面靠墻，有幾種不同的圍法？哪種圍法用的籬笆最少？

數(shù)學(xué)實驗2：快過年了，王阿姨有一張長26厘米、寬8厘米的長方形彩紙，她想剪出最大的正方形來制作窗花，一共可以剪出幾個最大的正方形？

經(jīng)過生活情境包裝的數(shù)學(xué)實驗更加能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的樂趣。筆者充分理解教材意圖，研讀課外數(shù)學(xué)讀本，再結(jié)合生活問題，對本單元數(shù)學(xué)實驗進行了個性化和創(chuàng)造性地開發(fā)和設(shè)計（如表1）。

表1 單元實驗設(shè)計

2.數(shù)學(xué)實驗活動的實施

在本單元學(xué)習(xí)中，筆者通過開發(fā)數(shù)學(xué)實驗，組織學(xué)生在活動中變革學(xué)習(xí)方式，如猜想試驗、動手實踐、探尋規(guī)律、總結(jié)歸納，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程留下痕跡，有效解決了文首提出的三個問題。

（1）建立概念：在實驗中直觀感知，理解數(shù)學(xué)概念

在教學(xué)長方形、正方形的特征時，筆者先讓學(xué)生猜想邊和角有什么特征，然后開展實驗，引導(dǎo)學(xué)生通過量、折、比來驗證自己的猜想。通過互動交流，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)由無序變?yōu)橛行颉⒂闪闵⒆兂赏暾Ｗ詈螅ㄟ^實驗“先在釘子板上圍一個長方形，再把它改成正方形以及在一張長方形紙中剪出一個最大的正方形”讓學(xué)生在長方形、正方形特征的比較中感受兩者之間的聯(lián)系，深刻理解兩者的特點。

為了避免學(xué)生混淆周長和面積，筆者設(shè)計了豐富的實驗活動：描邊線、指邊線、圍邊線等。先讓學(xué)生用筆描出三張書簽一周的邊線（初步感知）；再讓學(xué)生分別指出課桌面、數(shù)學(xué)書封面、三角尺一周的邊線（再次感知）；最后讓學(xué)生想辦法測出一張樹葉的周長。學(xué)生在建立周長概念的過程中，都是通過充分操作、實驗來感知的。比如教材中的思考題“兩個長5厘米、寬2厘米的長方形重疊成一個圖形（如圖5），求這個圖形的周長”，只有讓學(xué)生動手描邊線，才能使學(xué)生的思維聚焦到概念中的“圖形一周的邊線”上。

圖5

（2）明晰算理：在實驗中豐富表征方式，促進深度理解

數(shù)學(xué)表征是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵能力，也是兒童利用已有經(jīng)驗，在探索未知問題時，構(gòu)建自己對未知問題理解的外顯方式。對于“長方形的周長=（長+寬）×2”，為了幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點，筆者設(shè)計了數(shù)學(xué)實驗：先用四根小棒搭一個長方形，然后探索如何計算周長。學(xué)生經(jīng)過探索，得出多種方法，其中最典型的三種算法如圖6所示，尤其是第③種，學(xué)生通過操作小棒，直觀感知長方形的周長可以平均分成兩份，每一份都是“長+寬”，所以“長方形的周長=（長+寬）×2”。學(xué)生在操作中思考，用圖示表征算理，這比單獨用語言表征、靜觀教師的圖示表征效果好。可見，學(xué)生自己做過了，徹底理解了，就不會忘記。

圖6

（3）提升思維：在實驗中滲透思想方法，促進思維發(fā)展

獲取數(shù)學(xué)知識和結(jié)論不是數(shù)學(xué)實驗唯一的目的，更重要的是幫助學(xué)生經(jīng)歷探究過程，使其在實驗過程中獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提升和發(fā)展數(shù)學(xué)思考力、探究能力和創(chuàng)新能力。

【案例1】化曲為直，測量一片樹葉的周長

認識周長后，學(xué)生開始學(xué)習(xí)測量周長，如三角形、四邊形、五邊形等圖形的周長，只要用直尺測量，再計算，就能解決。但生活中有大量曲線圍成的圖形，如何測量它的周長呢？筆者組織學(xué)生開展“測量一片樹葉的周長”的實驗。學(xué)生經(jīng)過討論后，有的說把樹葉當成一個近似的長方形去測量，有的說把葉子的邊線先剝離下來，有的說用尺子一段一段去量……“有沒有既方便量，又量得準的方法呢？”筆者的這個問題一出，學(xué)生再次商討，最后定為先用一根細繩沿著樹葉邊緣圍一圈，再把繩子拉直后用尺子量。當進行實驗反思時，筆者以問題“通過這個實驗，你學(xué)會了哪一種測量方法？”引導(dǎo)學(xué)生反思與小結(jié)，滲透“化曲為直”的思想。

【案例2】平移轉(zhuǎn)化，巧求圖形周長

例如，圖7的第二和第三個圖形，如何計算它們的周長？筆者先引導(dǎo)學(xué)生用磁力棒圍出這兩個圖形，接著提問：“如何求這兩個不規(guī)則圖形的周長？”學(xué)生開始是測量每一條邊的長度，后來通過移動磁力棒，把圖形轉(zhuǎn)化成了一個長方形，最終順利解決問題。再如，求圖8中凹凸兩種圖形的周長。學(xué)生也是通過移動小棒，將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形后再求周長。

圖7

圖8

在實驗反思環(huán)節(jié)，筆者追問：“通過這個實驗，你學(xué)會了哪一種思考方法？”學(xué)生異口同聲回答：“轉(zhuǎn)化法。”可見，學(xué)生親身體驗了圖形的轉(zhuǎn)化，已學(xué)會了把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形來解決問題的方法，并把這種方法銘記于心。

【案例3】有序列舉，理解圖形構(gòu)造的規(guī)律

如圖9，正方形的邊長為1厘米，正方形的數(shù)量與拼成圖形的周長之間有什么樣的關(guān)系？

圖9

學(xué)生要完全理解這道題，就要進行數(shù)學(xué)實驗，經(jīng)歷圖形的構(gòu)造過程。實驗前，學(xué)生討論出先用小棒擺或者用筆畫出圖形，從數(shù)量是1個正方形開始研究，再研究2個正方形相拼、3個正方形相拼……確定實驗步驟后，學(xué)生一邊擺或畫，一邊找關(guān)系：1個正方形的周長是4厘米，2個正方形相拼的周長是6厘米，3個正方形相拼的周長是8厘米，4個正方形周長是10厘米……學(xué)生用有序列舉的方法邊實驗邊思考，最終發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每增加一個正方形，周長就增加2厘米（增加2條邊長），即“第n個圖形的周長=2×n+2”。

數(shù)學(xué)實驗，不是僅僅停留在“做”的表層，而是注重引導(dǎo)學(xué)生在“做”中思，只有做思結(jié)合，才能促使學(xué)生真正掌握解決問題的策略，體會數(shù)學(xué)思想方法。

綜上，依托數(shù)學(xué)實驗，以發(fā)展思維為內(nèi)涵，使靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識動態(tài)化，這樣不但能有效幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點，還能在促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識深度理解的同時發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。