追根溯源，循序建構
——以“百分數的意義”教學為例

江蘇無錫市新洲小學（214142）楊 祺

生活中處處有數學，學生在生活中會接觸到數學知識，但生活中的數學知識具有碎片化的特點，缺乏嚴謹的數學理論支撐，而數學理論具有較強的邏輯性和抽象性，這為實際教學增加了難度。在新課改內容中，百分數的知識被納入“統計與概率”范疇，并對百分數的含義進行了擴展，這也是順應大數據與智能時代的發展變化。筆者考慮如何在教學過程中優化傳統教學內容，保持教學內容的連貫性。具體內容：從實際生活體驗出發，把握學生的認知起點；解決沖突矛盾，基于數學價值理解知識本質；回歸現實生活，培養學生思考生活中的數學語言的習慣，最終形成解決實際問題的能力。

一、生活體驗，引發問題思考

【教學片段1】

師：周末，我在去超市前拿出手機看了一眼，看到了一個百分數（如圖1），于是我停下了腳步，同學們知道為什么嗎？

圖1

生1：手機電量只有2%，手機即將關機了。

師：沒錯，這表示手機電量快消耗完了。因此，我馬上給手機充電，過了一段時間，屏幕上顯示電量如圖2所示，請問手機充滿電了嗎？大約充了多少電？

圖2

生2：還沒有充滿，電量大約是一半。

師：大約是一半，也就是50%。又過了一段時間，電量如圖3所示，請問這時手機充滿電了嗎？請同學們試著用百分之幾來表示。

圖3

生3：充滿了，電量是100%。

師：同學們對百分數有哪些問題呢？生4：百分數表示什么意思？

生5：百分數與分數有什么區別？

生6：百分數有什么用途？

師：同學們都很善于思考，那我們就帶著這些問題，一起來學習百分數。

【思考】

愛為學問之始，興趣是學習的原動力，生活情境可以有效激發學生的學習興趣。有問題的課堂才是有靈魂的課堂，讓學生感受生活中的百分數，并初步了解百分數概念，對培養學生的問題意識和激發學生的興趣尤為重要。六年級學生潛意識中已經會關注自然、社會中廣泛存在的現象和問題，對這類情境會表現出很大的興趣。手機作為當下大眾普遍使用的電子設備，在教學中，引入此類生活元素，可吸引學生主動參與學習。教師通過對電量的描述，結合學生的觀察思考與生活經驗，讓學生對百分數有初步的認知。因為學生還未系統地學習百分數，所以他們對生活中接觸到的百分數一知半解，教師以此為契機引導學生思考問題，形成初步概念，讓學生提出關于百分數的問題。帶著問題學習，符合學生的認知規律，讓學生學會從數學視角發現生活中的數學元素。鼓勵學生提出問題，激發學生的求知欲，才能更有效地解決問題。

二、制造沖突，凸顯數學價值

【教學片段2】

（1）初次體驗，引發沖突

師：同學們，學校準備舉行投籃比賽，我們班需要選一名同學參賽，這是王新與呂夏兩名同學的投籃成績（如圖4），只看這兩名同學的投籃成績，你們會選誰參賽？

圖4

生1：選王新同學參賽。他們都投了10次球，王新同學投進了6次，呂夏同學投進了5次。

師：你們可以用分數表示兩名同學的投籃命中率嗎？

生2：王新同學的投籃命中率為呂夏同學的投籃命中率為

師：加入黃天祎同學的投籃成績（如圖5），你們可以用分數表示他的投籃命中率嗎？

圖5

生3：黃天祎同學的投籃命中率為

師：哪名同學的投籃命中率最高呢？

生4：要比較三個分數的大小。

師：是的，將他們的投籃命中率通分（如表1），可知王新同學的投籃命中率最高。

表1 三名同學的投籃命中率

（2）循序漸進，突出問題

師：同學們的參賽熱情都非常高漲，周皋同學的成績也不遜色，看看四名同學的投籃成績（如圖6），若四名同學同時參加選拔，該選哪名同學參賽？

圖6

生1：先計算周皋同學的投籃命中率，即投籃命中數占投籃總次數的幾分之幾，再與其他三名同學的投籃命中率比較。

師：用分數表示周皋同學的投籃命中率后，可直接得出比較結果嗎？

生2：不行，還需通分。

師：是的，由于周皋同學的投籃命中率無法直接轉化為分母為90的分數，因此需要重新通分再比較。通分后如表2所示，可以看出王新同學與周皋同學的命中率非常接近，但王新同學還是略勝一籌。

表2 四名同學的投籃命中率（一）

師：我們回顧一下比較的過程，如果有別的同學的成績加進來，還需重新通分，再比較，整個過程計算量大且耗時。因此，我們需要探索更便捷、高效的方法，無論加入多少名同學的成績，都可以快速地找到命中率最高的同學。同學們有什么好方法，可以實現這一目標嗎？

生3：如果能化成一個簡潔的數，不用通分也可以看出數的大小就好了。

師：為了便于統計和比較，可以把這些分數化成百分數，即分子除以分母，再乘100%。如表3所示。

表3 四名同學的投籃命中率（二）

（3）總結規律，介紹百分數

師：趙志明同學投籃總次數為11次，投中7次，如何快速從五名同學中選出參賽的同學？

生1：先用百分數表示趙志明同學的投籃命中率，再與其他四名同學進行比較。

表4 五名同學的投籃命中率

師：由此可見，用百分數表示投籃命中率可減少計算量，提高比較效率。

（4）意義升華，體現概率價值

師：根據上述分析，最終老師選擇趙志明同學參賽，與隔壁班的孫皓同學一決高下。比賽中，兩名同學前10次投籃的結果如圖7所示，你們可以算出兩名同學的投籃命中率，并判斷勝負嗎？

圖7

生1：兩名同學前10次投籃都投進了6次，命中率都為60%，打成平手。

師：現在裁判要求加賽一球，你們認為哪名同學獲勝的可能性高？

生2：目前兩名同學的命中率均為60%，很難判斷最后誰會獲勝。

生3：趙志明同學后面5次全都投進了，手感正好。而孫皓同學后面5次只投進了2次。我認為趙志明同學獲勝的可能性大一點。

師：生2和生3的想法都有道理。從兩名同學目前的命中率來看，難以判斷誰會獲勝。但是如生3所說，比較后面5次投籃的表現，趙志明同學全都投進了，意味著他下一球投進的可能性更高。

師：回顧剛才的討論過程，我們的目的是根據兩名同學現有的投籃表現推測他們下一次投籃情況。這是概率意義的一種體現，根據現有數據來推測未知隨機事件發生的可能性。以后我們還會更深入地學習關于概率的知識。

（5）回歸本質，總結百分數的含義

師：其實生活中很多地方都有百分數，課前同學們都收集了一些生活中的百分數，大家交流一下收集的百分數各表示什么意義？

（學生交流各百分數的意義）

師：看著這些百分數的意義，同學們能否用自己的話來說一說什么是百分數？

生1：表示一個數是另一個數的百分之幾的數，叫百分數。

生2：百分數具有特定的書寫形式，形如“整數或小數+百分號（%）”。

師：我們還可觀察已經發生的事件，以此作為依據對將要發生的事的可能性進行預測。同學們能想到什么例子嗎？用合適的百分數進行描述。

生3：拋一枚硬幣，它落到平面后，正反面朝上的可能性相同，各為50%。

【思考】

教學中引導學生經歷知識的發生、發展、形成的過程，結合教學內容，以投籃活動為情境，經歷從兩人到多人的投籃命中率的對比，感受比較分數大小時需要不斷通分的弊端。在處理問題低效的情況下，學生迫切需要尋找更為有效、快捷的方式，教師因勢利導，引導學生思考，進而抽象出百分數的概念。為了深入研究百分數的意義，通過比較兩名參賽選手的現有投籃命中率，對下一次投籃命中的可能性進行猜測，引導學生基于現有數據對未知隨機事件發生的可能性進行推測。鑒于學生還未理解“數據”“統計”及“概率”等專用名詞，應采用“可能性”此類更為生活化的詞來奠定統計概率的概念認知基礎。最后總結百分數的含義及其書寫形式。

不同于教材中所編排的內容，教師通過圖像化的教學形式優化教學架構，使教學情境更豐富，在現有教學情境下進行延伸，引出概率意義，為學生后續學習做鋪墊。整個教學過程從解決矛盾出發，透過生活案例深化學生對數學概念的理解，深入挖掘教學對象深層次的數學價值，使學生有初步認知。最后回歸教學對象，對新概念的含義、形式等內容進行歸納。

三、追根溯源，凸顯生活價值

【教學片段3】

師：我來到超市，準備為一個小朋友買牛奶。小朋友的個子不高，有點胖。現有這三種牛奶（如圖8），同學們推薦我買哪一種？

圖8

生1：選擇高鈣奶，鈣含量高，長個子。

生2：選擇脫脂純牛奶，沒有脂肪，不容易長胖。

師：同學們的建議都非常好，選擇牛奶時既要關注鈣含量，又要關注脂肪含量。于是，老師在購物網站上搜到有兩家店在賣同一款高鈣低脂奶（如圖9），同學們認為老師應該在哪一家買？

圖9

生3：B專賣店，因為它的好評度更高。

師：沒錯。正是有了這些百分數，我們在面對琳瑯滿目的商品時，才能根據自身需要快速做出選擇。

【思考】

生活中的百分數隨處可見，如何利用百分數解決實際問題，是學習的重點。筆者教學時基于三種不同的牛奶，引導學生結合商品的參數規格和筆者需求做出選擇，學生經歷運用百分數對比數據的過程，體會百分數帶來的便捷性，感受百分數的價值。對商品好評率的辨析，既能擴充知識面，又能進一步凸顯百分數的價值。學生結合情境觀察、對比、分析，得到全方位的拓展，強化對百分數的認識的同時，更深刻地感受百分數的價值。

新課程改革明確強調對學生核心素養的培養，并且對于百分數意義進行拓展，要求學生對可能性和隨機等概念具備初步認知。筆者在設計教學時根據“追根溯源，循序建構”的教學思路，首先基于學生在生活中獲得的知識，把握學生的認知起點，引導學生參與到全新知識的討論與學習中。接著，在已有知識的基礎上制造沖突，引導學生尋找更為有效、快捷的處理方法，在解決問題過程中抽象出教學對象的含義，并挖掘教學內容的價值。最后，結合實際情境，讓學生歷經觀察、對比、分析等環節，強化對百分數的認識，深刻感受百分數的價值。