學習任務驅動下的導學融合
——以“長方體和正方體的復習”教學為例

山東菏澤市定陶區張灣鎮河西董小學（274100）王啟榮

導學融合實現了學習活動的“雙線敘事”結構，開啟數學課堂的“雙主角”模式：教師是學習活動的策劃者和組織者，學生是學習的踐行者和執行者，二者共同推動教學活動的有效進行；這種模式具有雙重特性，既有挑戰性又有支架性——完成新的任務，接受挑戰的同時又含有學的支架，學生可以沿著這個支架不斷向上攀爬。學生的整個學習活動在這種模式下變成一種創造性探究活動，學生在不斷的挑戰下尋求突破和超越，契合課程標準提到的“引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維”理念。下面將以“長方體和正方體的復習”一課為例，談談如何設計學習任務才能實現“學”與“導”的雙線平行敘事。

復習課的主要功能就是幫助學生從原有的知識框架內概括出更高層次的結論，獲得更高層次的發展，也就是增值、組網、謀發展。如果說增值是單純對同類知識的疊加和整合，組網則是將這些零散呈現的同類知識編排成一個序列，形成組織嚴密的知識系統，謀發展則是在重新梳理和溫習的基礎上，讓學習能力和思維水平節節攀升。

“長方體和正方體的復習”是人教版教材第十冊的教學內容，這部分課程的主要內容包括長方體和正方體的外形特點、表面積、體積等知識點，這是學生首次進入三維立體世界去觀察物體。立體幾何與平面幾何、線性幾何有著千絲萬縷的聯系，立體幾何的許多概念與平面有著相同的含義，以“度量”為例，長度、面積和體積三者的定義與算法截然不同，一個比一個復雜，但是它們的度量方法和原理卻是一致的——都是選定一個單位量，然后用這個單位量去度量被測對象，被測對象含有多少個單位量，其大小就是多少。為了通過增值、組網、謀發展協助學生構建完整的幾何認知，這節課布置了三個學習任務：單元內回顧整合、單元間串聯兼并、知識的綜合運用。

一、測量的整理

1.學習任務設計

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【設計意圖：借助圖形特征，讓圖形測量的復習落地生根，實現“學”與“導”的雙線平行敘事。復習長方體和正方體測量有關知識時，很多教師都專注于概括和運用計算公式，忽視了測量的根本，對測量的原理和推算測量結果的算理一語帶過。事實上，搞清楚并深入理解棱長總和、表面積、體積的內涵無比重要，因為這些概念很靈活，一旦深入理解并融會貫通，就可以在遇到變式題時即時構建，隨機應變，比記憶呆板、單一的公式更有用。這些度量單位本身就是概念內涵的一個縮影，單位的定義和確立本身也蘊含著算法，同時反映了一維量、二維量和三維量本質上的區別。本任務設計了范例、導學案等學習支架，力求在對圖形特征和度量單位的重新解構中，讓學生順著教師精心架設的支架，深入理解和牢固掌握棱長總和、表面積、體積的概念內涵和算法?！?/p>

2.學習過程展開

師：以正方體為例，我們研究過它的哪些特征？（出示圖1）

圖1

（板書：“棱邊”的長度——12條棱的長度總和；“各個側面”的面積——6個側面的總面積；“所占空間大小”——體積）

（學生按教師給出的任務支架主動總結長方體、正方體棱長總和、表面積、體積等相關概念和算法。）

師：①計算長方體棱長總和時，為什么統一采用公式“l=4a+4b+4h”，長、寬、高各乘以4再相加？計算正方體棱長總和時為什么又變成公式“l=12a”，只需要將邊長乘以12即可？表面看起來不同的兩個公式其本質和原理是一樣的，這個計算原理是什么？

②計算長方體的表面積時，為什么統一采用公式“S=2ab+2ah+2bh”，長、寬、高兩兩相乘，然后各自擴大二倍再相加？而計算正方體表面積時，為什么統一采用公式“S=6a2”？表面看起來不同的兩個公式其實本質相同，計算原理是什么？

③計算長方體體積時為什么統一采用公式“V=abh”，直接將長、寬、高相乘求積？而計算正方體體積時，又變成公式“V=a3”，直接將棱長進行三次方乘方計算？二者的計算原理有什么相同點？

④棱長總和、表面積、體積的字母單位（m、m2、m3）有什么區別和聯系？

板書：

“線”的長度——棱長總和：（）+（）+…+（）（12條棱）一維

“面”的大小——表面積：（）×（）+（）×（）+…+（）×（）（6個面） 二維

“體”的大小——體積：（）×（）×（） 三維

【設計意圖：長度、面積、體積本就是“一家”，在測量方法、度量單位、度量原理等方面有著異曲同工之妙。要實現教與學的齊頭并進，就需要教師從名稱、含義、公式、單位四個橫向維度引導學生逐步展開探究，把長方體和正方體放在棱長總和、表面積、體積三個縱向維度進行對比辨析。在教師的循循善誘下，學生將長方體和正方體各條性質研究得一清二楚。不僅如此，學生還從中學會用發展和聯系的眼光來看待問題，尤其是最后將長方體和正方體單獨拿來比較。這樣，在一系列的問題支架下，學生能夠系統歸納出長方體和正方體的三維特性?！?/p>

二、測量的比較

1.學習任務設計

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【設計意圖：借助增值，先后落實組網和謀發展，實現“學”與“導”的雙線平行敘事。從測量方法原理上來說，長度、面積、體積都存在一個共性，那就是度量目標包含度量單位的數量多少。無論是長方形和正方形的面積公式，還是長方體和正方體的體積公式，其推導過程和運作原理都印證了這一點。但是，舍本逐末的思維惰性促使學生逐漸“忘本”，而一味套用公式。久而久之，學生會本能地運用公式，但是至于為什么要這么用，則全然不知。本任務同樣設計了范例、方法指導等學習支架，力求指引學生溯源測量本質，糾正錯誤認知，完善知識結構?！?/p>

2.學習過程展開

師：長度、面積、體積分別是如何測量的？

（學生整理相關知識，有困難的學生可以參考“學習錦囊”，圖形支架如圖2所示）

圖2

師：①圖2中的線段的長度是幾分米？含有幾個1分米的單位長度？

②圖2中的長方形有幾個1平方分米的單位面積，怎么才能快速地數清楚？

③圖2中的長方體有多少個1立方分米的單位體積，怎么才能快速地數清楚？

④線段長、長方形面積、長方體體積的度量具有哪些共性？

師：測量長度、面積或體積，都是計算待測對象所包含的度量單位的什么？

師：收納盒長9cm、寬7cm、高5cm，這樣的一個收納盒最多能放下棱長為3cm的正方體多少個？

【設計意圖：要使學生的學習具有持續性，那么教師的引導也要具有持續性，從長度、面積、體積的幾何延續性來導學，可以深化學生的思維。學生對測量長度有一定的經驗，通過形式上的對比，學生就能發現長度、面積、體積三者的遞進關系，進一步明確測量長度是計量長度單位累積的數量，測量面積是計量面積單位在平面內累積的數量，測量體積是度量體積單位在立體空間內的累積數量。這些在導入中都有所體現，測量原理的類同性是串聯三者的主線?！?/p>

三、綜合運用

1.學習任務設計

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【設計意圖：讓長方體轉變成正方體，棱長總和不變，表面積和體積都會發生相應變化，此舉在于動態反映長方體和正方體的幾何關聯。第一個活動是靜態對比，學生研究清楚長度、面積、體積之間的維度遞進關系后，對于棱長總和、表面積、體積的關聯就會有更加清醒的認識?！?/p>

2.學習過程展開

師：棱長總和、表面積和體積，分別屬于長度、面積、體積三個分支。它們相對獨立，又有許多相似的地方和緊密的遞進關系。還有哪些問題值得研究？

【設計意圖：借助已經形成體系的測量知識進行綜合應用，實現“學”與“導”的雙線平行敘事。從表面看，上述三題頗為簡單，但是簡單的問題里卻蘊含著無窮的奧妙，可謂見微知著。首先，這是學生站在新的高度回顧“老問題”，看問題的高度不同，境界也不一樣（長度、面積或體積的大小，就是包含單位量的多少）；其次，研究“變”與“不變”之間的邏輯關聯，可以讓學生深刻認清公式本質，突破對公式刻板套用的痼疾；最后，研究“變”與“不變”之間的轉變通融，也有利于學生體會幾何知識在運用時要符合客觀實際。這樣，在教師任務設計和學生目的性學習雙管齊下，“學”與“導”得到平行推進?！?/p>

完成以上三個學習任務后，學生對幾何測量將會有著更為深刻的理解，對長度、面積、體積的異同，有著更真切透徹的認識，初步形成互融互通的空間觀念，混用單位的現象減少，盲目機械地照搬公式的現象也大為改善。種種情況說明，兼具挑戰性和支架性的任務驅動，有利于實現“學”與“導”的雙向平行敘事。

綜上所述，盡管學習任務是教師設計的，但絕不是說教師可以獨斷專行，也不是教師可以為所欲為。教師只有考慮學生的實際需要，力求每一道題都精煉，才能讓學生在做題的過程中提高知識水平。