基于等價輸入干擾的主動磁懸浮軸承控制*

范哲愷，黃 剛，萬雨龍，趙凱輝

（湖南工業大學軌道交通學院，湖南株洲 412000）

0 引言

磁懸浮軸承（Active Magnetic Bearing，AMB）是種通過磁場使例如轉子的旋轉組件與軸承靜置部位保持相對穩定距離的裝置，距離內無機械接觸，使得轉子在旋轉時與靜置部位無機械摩擦[1]，這種新型的非接觸式軸承能利用電磁力改變傳統軸承機械摩擦大的缺點，得以使軸承發展步入到更高速度、更少磨損的新臺階。

目前磁懸浮軸承在各個領域都有應用。例如磁懸浮飛輪儲能[2]、電力系統[3-5]、磁懸浮多電航空發動機[6-7]領域中。在這些應用領域中，磁懸浮軸承絕大多數運行在超高轉速的狀態下，若轉子受擾動作用偏離預定位置過多，轉子與定子發生機械摩擦，會造成嚴重機械損壞甚至導致系統崩潰，為解決上述問題，需要設計一個控制器控制轉子平衡，并能實時對外部未知擾動進行觀測，從而削弱擾動給系統帶來的影響。很多傳統方法均是被動控制[6-7]。數字控制則有模糊控制[8]、滑模控制[9]、神經網絡[10]等對磁懸浮轉子控制。如Tang Liang等[11]對平衡量未知的轉子，通過動、靜不平衡量的辨識與補償控制設計了自適應對中控制器來消除顫動。Se Young Yoon和SL Chen等[12-14]將不平衡補償技術擴展到控制回路中達到振動控制。

以上方法對于自身顫動有較好的抑制能力，但對于外部擾動的及時補償能力稍有不足，因此對于外界不確定干擾，需要設計觀測器對系統內部及未知干擾進行實時觀測，并能夠對磁軸承系統及時進行抗干擾控制。相對于傳統的龍伯格觀測器。滑模觀測器（Sliding-Mode Observer，SMO）不僅將系統觀測器觀測誤差線性方式反饋,而且還能夠根據觀測誤差進行快速調整，從而實現對系統狀態變量以及外部擾動及時快速并準確地估計[15]。

等價輸入干擾通過觀測器推測出一個等價輸入干擾，前饋到控制器輸入端，對擾動進行及時補償，不需要掌握外部未知干擾的信息，目前該方法在各方面都有成功運用，如DC-DC變換器[16]、建筑抗震[17]、液壓系統[18]、永磁同步電機[19]等。本文在滑模觀測器上引入等價輸入干擾補償的設計思想設計伺服控制器[20-21]，以消除擾動對系統產生的影響[22]，實現對給定轉子位置的高精度控制并使系統擁有高抗擾性能。

1 數學模型

磁懸浮軸承利用電磁力使轉子處于無接觸懸浮狀態，定子與懸浮轉子之間沒有機械接觸，無摩擦。其通過位置傳感器監測轉子的位置偏移量，將其轉換成電信號反饋到控制器，控制器控制電磁鐵使轉子的重心固定在運轉的預定軌道上，使整個系統工作在安全狀態，其原理如圖1所示。

圖1 磁懸浮軸承轉子位移控制系統

其控制對象單自由度AMB中電磁鐵部分的線圈環繞匝數為N，S為有效磁極，初始時刻電磁線圈電流為i0，并作如下假設。

（1）由于對轉子的控制在豎直方向，為方便計算忽略磁懸浮軸承轉子的體積，可以將懸浮的轉子簡化一個質點。

（2）不考慮繞組漏磁通、磁滯等對系統的影響，且忽略定子與轉子之間產生的磁阻。

電磁力的推導式如下：

將式（1）在平衡點處進行泰勒級數展開，忽略高階小量，便得到電磁力與控制勵磁電流和與轉子距傳感器位移x的關系式，則有：

式中：Kx為力與轉子偏移量之間的剛度系數；Ki為力與控制電流的剛度系數[23]。

結合電磁力公式其大小計算式如下：

考慮外部未知擾動d（t）對轉子的影響，主動磁懸浮軸承轉子的力學表達方程式為：

式中：

此外，給定位置參考信號表示為yc(t)，將位置跟蹤誤差定義為e(t)=y(t)-yc(t)。對于系統所設計的觀測器以及控制器，使觀測誤差在系統內部不確性變化和外部未知干擾影響的情況下需要快速穩定收斂到零，即當t→∞時，有e(t)→0。因為K i/m≠0，易知該系統是可控可觀測的。

2 EID滑模觀測器控制系統設計

針對懸浮轉子的穩定性抗干擾控制提出了一種基于等價輸入干擾估計器與滑模觀測器結合的PID控制方法，其內部控制系統結構如圖2所示，由滑模觀測器將系統內部參數的不確定參數變化和外部干擾轉化為電信號，施加在控制器輸出端，然后采用等價輸入干擾滑模觀測器對系統狀態變量及外部干擾的進行等價輸入干擾估計，并將估計值信號前饋到輸入端后得到最終疊加后的控制方法。

圖2 基于EID和SMO的單自由度磁懸浮軸承控制系統結構

2.1 等價輸入干擾滑模觀測器的設計

只需要通過干擾估計器估計出等價干擾，并把其負反饋在輸入通道上從而抵消真實干擾對系統的作用[20]：

由于引入了外部干擾的等價輸入干擾信號，EID系統的狀態較于原系統的狀態發生了改變，對于EID系統，其狀態方程如式（5）所示。對于此，再設計滑模觀測器對EID系統其狀態變量及干擾予以觀測并等價估計。選擇系統實際輸出量和觀測器輸出量之間的觀測誤差的雙曲正切函數作為滑模觀測器的控制律。相比于符號函數更有效抑制滑模觀測器在滑模面附近產生的抖動，同時還能夠輸出穩定準確的觀測器輸入。對于以上引入EID的新系統設計滑模觀測器：

狀態觀測器設定觀測誤差為：

切換函數和滑模控制律設計為：

將ex（t）代入到式（6）中得到：

設存在一個變量Δd（t）滿足

所以設等價輸入干擾估計器對d e(t)的估計值(t)為：

所以：

為避免高頻噪聲對估計器的影響，添加一個低通濾波器F（s），其狀態空間表達式為：

可得狀態觀測誤差動態為:

即

選取李雅普諾夫函數為V=eTx Pe x作為所設計部分穩定性的判斷方法，其中P矩陣正定并且對稱。然后對V（t）求導可得：

對于P>0，存在>0滿足下列非線性方程：

由于使用的滑模控制律tanh(Ce x(t))∈(-1,1)，于是利用楊氏不等式對不等式進行變換：

并且λ>0，所以V≤0條件有：

證明了所提出的觀測方法能夠保證系統全局一致并且最終有界的。

2.2 閉環系統穩定性分析

一個控制系統中如果A滿足Hurwitz穩定，那么其閉環系統將是是全局一致并且最終有界。那么有A11與A22是Hurwitz穩定的。

即

設：

令：

將閉環系統寫成：

因為tanh(Ce)∈(-1，1)，假設de有界，則Λ有界。適當選取觀測器增益L和低通濾波器F（s），可確保A11和A22是Hurwitz穩定的。因此對于包含未知擾動量系統是最終全局一致有界的。

3 仿真和實驗驗證

3.1 主動磁懸浮軸承參數

采用MATLAB/Simulink對單自由度主動磁懸浮軸承系統和所提控制方法進行數值仿真和驗證，其中本次設計的控制器控制對象單自由度磁懸浮軸承系統各參數如表1所示。

表1 磁懸浮軸承各項參數

最后，仿真結果將采用時間乘絕對誤差積分準則（ITAE）和均方根誤差（RMSE）兩項指標來定量分析[24]，仿真和實驗采樣周期均為0.01 s。

PID+EIDSMO方法參數如下：

觀測器增益L=[45 000 000 100 000]T，滑模增益Ks=50 000，取擾動的最高頻率ωr=0.5π。

3.2 觀測器設計仿真結果

控制跟蹤和抗干擾性能對比仿真結果分別如圖3~7所示，方波控制信號可以看出PID+EIDSMO在不犧牲控制性能前提下，具有更快的擾動后收斂能力，在白噪聲擾動中，抗擾性能更加顯著，且如表2、表3所示ITAE和RMSE兩項性能指標也有所提升。

表2 兩種控制方案下方波與正弦波跟蹤性能

表3 白噪聲與鋸齒波抗擾性能

圖3 方波控制信號擾動抑制

相較與PID與普通龍伯格觀測器，圖8所示觀測誤差能在初始狀態相差0.5 m情況下，能以較快速度收斂至零，且綜上仿真結果PID+EIDSMO方法具有更好的抵抗外部干擾性能。

圖4 正弦波控制信號下擾動抑制對比

圖5 兩種控制器下鋸齒波信號擾動抑制

圖6 白噪聲擾動抑制對比

圖7 兩種控制器下正弦信號擾動抑制

圖8 EID+SMO觀測誤差e x(t)=x-

4 結束語

本文針對高速旋轉的的懸浮轉子安全穩定性問題，研究了在外部未知擾動影響下的磁懸浮軸承系統轉子位置偏移的控制問題。為了在不犧牲控制系統的控制魯棒性以及系統響應速度的前提下提高整個系統的抗外部未知干擾能力，提出了一種基于等價輸入干擾滑模觀測器的比例積分控制方法。

通過等價輸入干擾滑模觀測器實時觀測系統的運行狀態變化，并將外部干擾觀測出來并前饋到輸入端，實現了主動磁懸浮軸承系統在擾動影響下的位置跟蹤控制并抵消干擾的大部分影響。仿真結果表明，與傳統的觀測設計方法如Luenberger觀測器相比，基于EID估計器的滑模觀測器具有更小的觀測誤差，收斂速度快。并且相較于PID加傳統龍伯格觀測器控制方法，基于等價輸入干擾估計器的滑模觀測器的觀測與控制方法對擾動具有更好的抑制效果，系統魯棒性也進一步提升。