基于神經網絡和遺傳算法的BK7玻璃精密模壓成形多目標優化

羅和喜，李康森，周志文

（深圳大學機電與控制工程學院，廣東深圳 518060）

0 引言

光學玻璃模壓技術從20世紀80年代開始興起，是利用高精密模具以及專門模壓設備將接近軟化的光學玻璃一次性加工成所需要的光學元件，廣泛用于攝像機、數碼相機、手機、投影儀、CD機、紅外探測儀等光電產品中。采用該技術可以直接熱壓成形精密的非球面光學元件[1]、光學衍射元件[2]、光學微陣列元件[3]、光柵[4]等，給光電行業在光學玻璃加工上帶來了新的變化和發展。

玻璃精密模壓成形是在高溫下產生形變，由于冷卻階段不均勻的溫度場等因素，導致最后殘余應力仍留在透鏡內，從而影響成形透鏡的光學性能以及服役壽命。周天豐等[5]建立了改進的模具玻璃界面的摩擦模型，對界面間滑移現象進行分析，并得到微槽陣列的應力分布圖。Yi等[6]利用低熔點玻璃K-PG325模壓成形了衍射光學元件，用高度6.03 mm直徑24 mm的BK7玻璃圓片模壓成形出非球面透鏡，并對成形過程進行仿真分析，得到殘余應力分布以及形貌偏差。Sarhadi等[7]利用玻璃圓環壓縮試驗驗證了Sandwich模型的可靠性，并通過仿真對三維晶片的最終尺寸和殘余應力進行評估分析。

冷卻階段，玻璃尺寸收縮、溫度不均，熱壓成形的透鏡存在折射率變化和形貌偏差的問題，從而影響玻璃透鏡的光學質量。Su等[8]為了修正形貌偏差和折射率變化，提出了一種通過結合仿真結果修改模具尺寸的方法綜合補償透鏡的形貌偏差與折射率變化。Puneet等[9]分別對等溫模壓成形和非等溫成形的非球面透鏡的形貌偏差進行仿真分析，為了減小偏差值，經過數次迭代計算可以明顯地減小形貌偏差。Vu等[10]在非等溫模壓成形透鏡優化中，運用了神經網絡與遺傳算法對成形工藝進行優化，優化后的玻璃形狀偏差有所減小。

基于神經網絡和遺傳算法尋優計算，尋優結果較為合理，Shen等[11]針對注塑成型工藝特點，為了提高產品的性能質量，利用人工神經網絡和遺傳算法去優化成型工藝參數，結果表明了基于神經網絡技術和遺傳算法的注塑成型工藝優化方法是一個有效的工具。Shi[12]和Hsueh-Lin[13]在后續對注塑成型工藝優化分析中，同樣采用了人工神經網絡和遺傳算法，證實了該方法的有效性和可靠性。由于神經網絡和遺傳算法的優異性質，已被廣泛應用到合金成分分析[14]、鋁合金壓鑄[15]、食品冷凍加工[16]、自適應控制和信號處理[17]等領域。

從以上研究成果可以看出，不少學者針對玻璃精密模壓成形過程進行了分析，通過有限元軟件對成形透鏡的殘余應力和形貌偏差進行預測，并利用相應的計算方法對透鏡質量進行優化分析。而實際生產中，玻璃精密模壓成形是復雜的系統，傳統工藝參數選擇一般通過試錯法及個人經驗去獲取最佳工藝組合，不利于產品開發周期。隨著數值模擬技術以及計算機軟硬件的日益成熟，利用有限元技術去預測產品的成形質量等技術指標和科學的計算方法去優化工藝方案非常有必要。

本文首先利用正交實驗設計方法和有限元技術結合，對BK7透鏡模壓成形工藝參數進行分析，研究不同工藝參數與成形透鏡間的質量規律，選取多個決策變量，以玻璃透鏡的最大殘余殘余應力和最大形貌偏差為優化目標，構建模壓成形工藝多目標優化數學模型，利用遺傳算法對優化數學模型進行求最優解，從而達到減小透鏡的殘余應力與形貌偏差。

1 玻璃模壓成形多目標優化流程

玻璃模壓成形過程中，各個工藝參數對成形透鏡的殘余應力與形貌偏差的影響呈非線性，且各參數間存在復雜的耦合關系。影響玻璃模壓成形的工藝參數主要有模具溫度Tm、保溫時間ts、模壓壓力Pm、加壓時間tm、保壓壓力Pk、慢冷時間Ct、快冷時間St、加熱時間Th作為控制因子。基于有限元軟件建立玻璃精密模壓成形的有限元模型，利用正交實驗方法指導仿真過程，并實驗驗證仿真的可靠性。接著將仿真結果作為神經網絡預測模型樣本數據，構建優化目標（最大殘余應力Sm、最大形貌偏差Dm）與決策變量（工藝參數）之間的映射函數關系，用遺傳算法對參數進行優化，得到最優工藝參數組合，其多目標優化方法路線如圖1所示。

圖1 玻璃精密模壓成形多目標優化路線

2 有限元模型的建立及仿真

2.1 有限元模型初始化

BK7玻璃材料特性[20]如表1所示，用于熱壓仿真實驗。成形工藝參數取值范圍如表2所示，作為優化數學模型的約束條件。

表1 BK7玻璃材料物理屬性

表2 BK7玻璃模壓成形工藝參數取值范圍

仿真模型為二維粘彈性軸對稱模型，其邊界載荷條件如圖2所示，玻璃圓柱的熱能大部分來自模具的熱傳導2 500 W/m2·K，小部分來自氮氣對流20 W/m2·K。

圖2 邊界條件

在熱壓階段，分別分析黏彈性模型中應力松弛特性和結構松弛特性存在的差異。玻璃材料的熱流變模型采用Arrhenius公式：

式中：ΔH/R為活化能/氣體常數之比；Tref為參考溫度。

模壓過程中剪切應力變化用廣義Maxwell模型表示：式中：G(t-τ)為應力松弛函數；G(t)為剪切應力松弛模量函數。

玻璃材料力學特性隨溫度變化，不同溫度下的應力松弛特性用WLF方程表示[21]：

玻璃結構松弛方程如下式所示[22]:

2.2 誤差模型建立

如圖3所示，模具加熱至一定溫度保溫一定時間，BK7玻璃溫度場和應力場如3（a）和3（b）所示，冷卻至室溫玻璃內部溫度場和殘余應力如圖3（c）和3（d）所示。根據仿真的工藝參數，利用玻璃精密模壓設備進行模壓實驗，熱壓前后玻璃尺寸變化如圖4所示。不難推測出，不同的工藝參數對玻璃的內應力分布以及形貌有很大的影響。

圖3 熱壓玻璃溫度場-應力場關系

圖4 熱壓前后玻璃樣品的尺寸變化

仿真與實驗誤差分析如表3所示，誤差為δ=(size(f)-size(e))/(s ize(e)-5)，最大變形誤差在2.5%，誤差在允許范圍內。

表3 仿真與實驗誤差分析

2.3 模壓參數確定

利用有限元仿真軟件ABAQUS對模壓過程進行分析，設定合適參數，軟件自動精確劃分網格進行模擬。熱壓仿真過程如圖5所示，模型為熱力耦合模型和熱位移耦合模型。

圖5 模壓仿真過程

雙凸玻璃透鏡模壓成形主要包括：加熱、保溫、熱壓、保壓退火、快冷脫模這幾個階段。首先把模壓腔室里的空氣抽空，充入少量氮氣防氧化，接著用紅外加熱裝置將玻璃毛坯和模具加熱到模壓溫度，恒溫一定時間讓玻璃受熱均勻，然后施加壓力合模，將玻璃模壓成形，保持壓力一段時間，充入少量氮氣慢速冷卻至500℃，接著充入大量氮氣快速冷卻室溫，最后脫模取樣。

其中，熱壓溫度、模壓力、模壓速率、冷卻速率等工藝參數對成形透鏡的殘余應力和形貌偏差有著較大的影響。如圖6所示，通過獲取室溫下模具與透鏡的坐標信息，然后計算得到透鏡的形貌偏差。為了提高實驗效率，采用正交實驗方法去指導數值模擬分析，如表4所示為BK7玻璃模壓成形工藝參數的設置。選取8個因素4個水平的正交表，L32（48），由原來48=65 536次全面實驗，現在只需要32次試驗。

圖6 形貌偏差計算

表4 正交實驗設計工藝參數及水平設置

3 實驗樣本數據的處理及正交分析

3.1 實驗樣本數據的獲取

根據實驗研究與模擬仿真結果，選定需要優化的工藝參數（Tm,th,ts,Pm,tm,Pk,Ct,St），采用正交實驗方法進行實驗設計L32-4-9，實驗樣本結果如表5所示，樣本具備均勻分布的特點。

表5 所有正交工藝參數的模擬結果數值

目標函數變量有3個。為了方便求得最優解，需要建立各優化目標間的函數關系。其中，需要優化目標函數有3個，Sm為最大殘余應力（MPa）；Sf為成形應力；Dm為最大形貌偏差（μm），各個目標函數線性加權和表示為：

Q為多目標優化問題的評價函數，優化后目標函數為：

3.2 正交實驗結果數據分析

首先將正交試驗獲得的數據進行極差分析，結果如圖7所示，本研究最終目的是找出綜合評價的Q值的最小值，所以取各因素的4個水平值的平均數（k值）中最小的那一個就是理想的最佳水平值。按照這種邏輯，各因素的理想的最佳水平值就是：A2=650；B4=600；C3=150；D4=10；E3=80；F3=1.5；G4=800；H3=400。而從32組數據中，可以直觀搜索到最小的Q值是第6組實驗，Q=0.142 28，其對應的各因素的水平值是：A2=650；B2=500；C2=100；D1=4；E1=40；F4=2；G4=800；H3=400。理想最佳和實驗最佳相比較，發現只有A2、G4、H3三個因素相同，未達到本研究的預期效果。另外從極差分析中可以看出各因素對最終評價值Q的影響的大小為：A>D>F>B>H>G>C>E。

圖7 極差分析

接著對相關數據在SPSS軟件中進行方差分析，得出的結果如圖8所示，結果顯示的各因素的顯著性與極差分析是符合的，從具體的數據看，C/E/G三個因素無統計學意義，是可以忽略的因素。其他5個因素的顯著性A>D=F>B=H。

圖8 方差分析

根據以上兩項分析，決定采用神經網絡的方法，建立數據量更多，更全面的數據模型，使用遺傳算法求出各因素的最佳參數。

4 神經網絡模型建立及遺傳算法優化

4.1 神經網絡模型

在電子科學、計算機科學、控制科學等實際應用中大部分采用BP神經網絡[18-19]。圖9所示為構建的神經網絡模型結構示意圖，根據極差分析和方差分析的結果，只采用具有統計學意義的5個因素放入分析模型，即輸入層5個神經元，代表的各個工藝參數是：模具溫度Tm、加熱時間th、模壓壓力Pm、保壓壓力Pk、快冷時間St，中間層有兩組神經元，每組25個，映射輸入層與輸出層之間的關系，輸出層為優化目標：最大殘余應力Sm、成形應力Sf、最大形貌偏差Dm，神經網絡結構為8-25-25-3型。

圖9 5-25-25-3型神經網絡

以模壓成形玻璃透鏡的殘余應力、成形應力和形貌偏差為優化目標，成形工藝參數：模具溫度、模壓力、保壓力、快冷時間、加熱時間為決策變量，優化數學模型如下式所示：

決策變量:

最小化：αf n(Sm)+βf n(Dm)+λf n(Sf)

約束條件：

式中：Sm為最大殘余應力，MPa；Sf為成形應力；Dm為最大形貌偏差（μm）；f n為歸一化函數；α、β為優化目標最大殘余應力與最大形貌偏差的優化權重矩陣；Tm、th、Pm、Pk、St為模壓成形工藝參數。

4.2 遺傳算法優化

遺傳算法是模擬生物界中遺傳和進化過程的一種自適應尋優算法，直接目標函數作為搜索信息，不依賴梯度信息或其他輔助知識，只需要目標函數和適應度函數，就可以得到較為合理的尋優結果[23-24]。

在遺傳算法的求解過程中，交叉概率設為0.7，變異概率為0.1，種群規模為100，進化次數為100。選擇技術采用的是輪盤賭原理。個體選擇的概率可表示為：

式中：f(x i)為個體x i的適應度；F(x i)為個體的被選擇概率；Npop為種群規模。

利用MATLAB中GA遺傳算法對構建的多目標優化模型歸一化后進行求解，適配度函數如下：

遺傳算法經過30次迭代計算見圖10，得到最小值為2.3763e-05，其中最優的工藝參數組合為x_best=[649.7，469.9，6.6，0.7，224.1]，即模具溫度（Tm）=649.7、加熱時間（th）=469.9、模壓壓力（Pm）=6.6、保壓壓力（Pk）=0.7、快冷時間（St）=224.1。

圖10 遺傳算法適應度函數迭代過程

4.3 使用神經網絡的遺傳算法優化結果討論與分析

將正交試驗獲得的數據作為訓練樣本，為了提高神經網絡預測系統的計算可靠性，樣本數量為32組。基于表5的樣本數據，由于在630℃時，玻璃成形能力較差，需要足夠的模壓力與模壓時間才能完成成形，如表中，成形后玻璃透鏡形貌偏差達到35.9 um（未完成形變），所以在進行神經網絡訓練時，去掉形貌偏差很大的樣本數據。圖11所示為神經網絡訓練過程的MSE誤差走勢，圖12所示為神經網絡訓練、驗證、測試回歸分析圖，訓練精度在98.093%，整體精度在百分96.45%，可以較為準確地映射模壓成形工藝參數同優化目標最大殘余應力、成形應力、最大形貌偏差之間的函數關系。隨機挑選幾組數據檢驗網絡系統的可靠性，誤差分析直方圖如圖13所示。

圖11 神經網絡MSE均方誤差分析

圖12 神經網絡訓練回歸分析

圖13 測試驗證誤差分析

5 結束語

本文提出基于有限元分析技術、正交試驗方法、人工神經網絡及遺傳算法的BK7玻璃模壓成形工藝優化方法，對雙凸透鏡成形工藝進行了多元優化工藝分析。以模壓成形工藝參數：模具溫度、保溫時間、模壓力、加壓時間、保壓力、慢冷時間、快冷時間、加熱時間為決策變量，最大殘余應力、成形應力、最大形貌偏差為優化目標，利用實驗與仿真結合得到神經網絡訓練樣本，采用人工神經網絡系統構建成形工藝參數與優化目標件的函數關系數學模型，并驗證神經網絡系統的可靠性，接著利用遺傳算法進行求最優解，得到可靠的工藝參數，將優化參數再反饋到仿真中，結果表明在神經網絡建模的基礎上結合遺傳算法求最優解對玻璃模壓成形工藝的優化是可行的。