基于β-屈服函數的炭質泥頁巖統一硬化模型

崔凱,胡斌,崔阿能,馬利遙,劉楊,祝鑫

（武漢科技大學資源與環境工程學院；冶金礦產資源高效利用與造塊湖北省重點實驗室，武漢 430081）

在中國中南、西南地區，如云南、四川、貴州、廣西等省存在大范圍的含緩傾軟弱夾層（巖層和夾層傾角小于25°）的二疊系石灰巖地層[1-3]，該地層擁有豐富的優質石灰石礦產資源，是中國大量基礎設施建設的重要建材來源。如圖1所示，這些含緩傾軟弱夾層通常由炭質泥頁巖組成，具有抗剪強度小且容易在外部因素(人為擾動或環境)作用下發生劣化等特點，因此，含緩傾軟弱夾層被視作礦山高邊坡的薄弱帶[4-5]。深入探究炭質泥頁巖的力學特性并建立相應的本構關系，對于含緩傾軟弱夾層的礦山高邊坡的穩定性分析具有重要意義。

圖1 礦山高邊坡中含炭質泥頁巖的軟弱夾層Fig.1 Weak intercalation of carbonaceous shale in the high slope of the mine

在復雜加載條件下，炭質泥頁巖類似于超固結黏土，會發生彈塑性破壞，其應力—應變曲線具有應變軟化的特點，并且伴隨著剪脹現象的發生[6-7]。為此，有學者[8]建議將炭質泥頁巖等強度較小的軟巖視作超固結比很大的黏土，并采用臨界狀態土力學的理論框架來描述其常規力學特性。宋麗等[9]建立了軟巖的三維統一彈黏塑性本構模型，該模型對于日本石川縣能登半島端部的硅藻質泥巖在不同圍壓和加載速率等條件下的不排水三軸壓縮試驗結果具有較好的描述效果。熊勇林等[10]同時考慮了圍壓和溫度對軟巖殘余強度的影響，建立了軟巖的熱彈黏塑性模型。炭質泥頁巖另一個顯著的力學特性是具有流變性，在保持荷載強度不變的情況下，增加加載時間將導致額外的體積變形[11]。范慶忠等[12]提出了軟巖的非線性蠕變模型，齊明山[13]則系統地研究了大變形軟巖流變性態及其在隧道工程結構中的應用。在所有臨界狀態本構關系中，修正劍橋模型[14]在巖土工程中應用最廣泛，然而其只適用于正常固結黏土力學特性的描述，在描述炭質泥頁巖等超固結黏土時具有明顯的局限性。例如，修正劍橋模型計算得到的超固結黏土的不排水抗剪強度明顯偏大，且應力—應變曲線為一條不光滑的曲線。另一方面，修正劍橋模型的剪脹方程在描述某些特定類型土的試驗結果時存在一定的偏差，同時，無法考慮超固結比和溫度等因素對土的剪脹特性的影響[10,15]。為了克服上述不足，Yamakawa等[16]提出了下加載面的力學概念，在加載的任意過程中，假定土體當前應力點始終位于下加載面上，發生彈塑性體積變形，物理意義明確，能連續平滑地刻畫超固結土的彈塑性應力—應變關系。Yao等[17-19]定義了統一硬化參量，建立了適用于超固結重塑土的統一硬化（Unified hardening,UH）模型并取得了成功。統一硬化模型能夠較好地描述超固結黏土的應變軟化和剪脹特性；同時，在加載過程中，當土體由超固結狀態轉變為正常固結狀態時，統一硬化模型能夠計算得到光滑連續的應力—應變曲線。

筆者將炭質泥頁巖視作超固結黏土，并且基于β-屈服函數建立了能夠描述其應變軟化和剪脹等復雜力學行為的修正統一硬化模型。通過將模型計算結果與炭質泥頁巖和太古石的排水三軸壓縮試驗結果進行對比分析，驗證了模型的合理性。

1 修正統一硬化模型

假定軟巖的體積變形以壓為正，其中，有效應力p、剪應力q和剪應力比η分別定義為

式中：σ1、σ2和σ3為主應力。

1.1 β-屈服函數

在三軸壓縮條件下，修正劍橋模型的塑性功增量dWin可以表示為

式中：dεpv和dεps分別為塑性體積應變增量和塑性剪切應變增量；M為臨界狀態應力比。

根據上述能量耗散方程，可以分別得到修正劍橋模型的剪脹方程和塑性勢。

式中：d為剪脹因子，可以定義為d=dεpv/dεps；pc為前期固結應力。由于修正劍橋模型采用相關聯的流動法則，式（6）同樣可以用于描述土的屈服面。

在描述超固結黏土的剪脹特性時，修正劍橋模型的剪脹方程具有一定的局限性，即低應力條件下該剪脹方程預測的剪脹因子d明顯小于土的實測值。此外，由該剪脹方程得到的屈服函數假定土的物理屈服面具有橢圓形幾何形狀，與部分土的試驗結果不符。

為了克服上述不足，首先將修正劍橋模型的剪脹方程改寫為

式中：β為材料參數。令β=2，式（7）將直接退化為修正劍橋模型的剪脹方程。

如圖2所示，與修正劍橋模型的剪脹方程相比，該剪脹方程能夠較好地描述太古石的試驗結果[7]，尤其是在低應力水平條件下。

圖2 炭質泥頁巖剪脹曲線Fig.2 Dilatancy curve of carbonaceous mud shale

通常可以根據剪脹方程得到塑性勢并確定土的塑性應變率，在p-q應力空間，塑性勢具有式（8）所示積分表達式[14]。

將式（7）代入式（8）并假定相關聯流動法則，可得到式（9）所示的β-屈服函數。

為了便于探究材料參數β對屈服面幾何形狀的影響，可以將β-屈服函數改寫為

根據式（10），當β=2時，可以得到修正劍橋模型的屈服函數。

材料參數β對屈服面幾何形狀的影響結果圖3所示。由圖3可以看出，增大參數β將導致計算得到的屈服面出現明顯收縮，其彈性區間會隨之減小。

圖3 參數β對屈服面幾何形狀的影響Fig.3 The influence of parameter β on the geometry of the yield surface

β-屈服函數關于有效平均主應力p和剪應力q的偏導數分別為

將式（11）、式（12）代入相關聯的流動法則中，可以計算得到炭質泥頁巖在剪切過程中的塑性應變率。

1.2 相似因子

炭質泥頁巖具有相對較好的連續性，其變形特征與典型的彈塑性材料類似，即在圍壓很小的情況下表現為脆性破壞，而隨著圍壓的增大，將逐漸轉變為延性破壞[7]。

在加載的初始階段，炭質泥頁巖的應力—應變曲線具有線性增長的特點，此時試樣僅發生彈性變形。進一步加載將導致試樣內部的膠結作用逐漸破壞并形成微裂紋，這些微裂紋的發展和貫通將導致試樣發生屈服，其應力—應變曲線的非線性變化特點也將逐漸增強，表現為應變硬化。在達到峰值強度后，試樣的剪應力會逐漸減小，其應力—應變曲線表現為應變軟化。

可以看出，在復雜應力條件下，炭質泥頁巖的應力—應變曲線變化特點與超固結黏土十分類似，均表現為應變硬化和應變軟化。為此，將炭質泥頁巖視作超固結黏土，并且定義其超固結比OCR為抗剪強度fc與圍壓pic之間的比值，即OCR=fc/pic。

參考姚仰平等[19]提出的適用于超固結黏土的統一硬化模型，假定在任意加載過程中炭質泥頁巖當前的應力狀態點A（p,q）始終位于下加載面上，其參考應力狀態點B（pˉ,qˉ）則位于參考屈服面上，如圖4所示。

圖4 下加載面和參考屈服面力學示意圖Fig.4 Schematic diagram of the mechanics of lower loading surface and reference yield surface

在p-q平面，下加載面和參考屈服面之間具有幾何相似性，兩者之間的相對位置關系可以采用相似因子R進行描述，R的定義為

根據式（13），當R=1時，下加載面會與參考屈服面重合，此時炭質泥頁巖處于正常固結狀態。R與OCR具有類似的物理意義，均可以用于描述炭質泥頁巖的超固結性。對于三軸壓縮試驗，剪切伊始，不同圍壓條件下炭質泥頁巖的初始相似因子R0為

采用本文提出的β-屈服函數，參考應力狀態點B（）所在的參考屈服面可以表示為

當應力狀態點位于參考屈服面上時，炭質泥頁巖將處于正常固結狀態，因此，類似于修正劍橋模型，可以采用體積硬化法則來描述硬化參量p0-pc的演化規律。

式中：cp=(λ-κ)/(1+e0)，其中，λ、κ分別為炭質泥頁巖的壓縮模量和回彈模量；e0為炭質泥頁巖的初始孔隙比。

將式（16）代入式（15）中，可以得到

整理式（17），可以得到任意加載時刻有效平均主應力的表示式

根據相似因子R的定義，可以進一步得到R的表達式

可以看出，R與應力水平、應力路徑和累積塑性體積應變等狀態變量有關，式（19）能夠綜合反映上述影響因素對下加載面大小變化規律的影響。

1.3 統一硬化參量

由于當前應力狀態點所在的下加載面幾何相似于參考屈服面，因此，其屈服函數可以表示為

式中，統一硬化參量H的定義式為

根據Yao等[18]的研究，Ω可以表示為

式中：Mf為潛在峰值強度剪應力比。

在統一硬化模型[17-19]中，Mf被認為是關于相似因子R和臨界狀態剪應力比M的函數，滿足關系式

式中，材料參數k可表示為

統一硬化參量Ω和剪應力比η之間的關系如圖5所示，可以看出，η=0時，Ω=1；η=M時，Ω=0；η=Mf時，Ω=-∞。

圖5 剪應力比η與統一硬化參數Ω的關系曲線Fig.5 Relationship curve between shear stress ratio η and unified hardening parameter Ω

在模型數值實現過程中，需要確定炭質泥頁巖的體變模量K和剪切模量G，參考修正劍橋模型，可以采用式（25）計算。

式中：ν為泊松比。

2 參數試驗

在統一硬化模型的基礎上，采用了β-屈服函數來描述炭質泥頁巖的剪脹特性，由此建立的模型能夠合理地描述應變硬化和軟化特性，同時考慮了圍壓對炭質泥頁巖力學行為的影響。

模型包含的材料參數為M、e0、ν、λ、κ和β。其中，e0、λ、κ的具體取值可以通過炭質泥頁巖的等向壓縮曲線得到，臨界狀態應力比M則可以由炭質泥頁巖在p—q平面的臨界狀態線加以確定。不同類型巖土材料的泊松比ν的取值范圍通常為0.2～0.3，可以由特定圍壓下材料的初始應力—應變曲線得到。

2.1 超固結比對模型計算結果的影響

為了初步驗證所建立的適用于炭質泥頁巖的統一硬化模型的適用性，并且探究初始超固結比對炭質泥頁巖力學特性的影響，開展了圍壓為200 kPa的排水三軸壓縮數值試驗，試樣的初始超固結比分別為1、2、4和8，材料參數如表1所示。

表1 數值試樣的材料參數Table 1 Material parameters of carbonaceous mud shale numerical samples

模型計算結果如圖6所示。由圖6可以看出，隨著初始超固結比逐漸增大，試樣的應力—應變曲線表現出明顯的應變軟化特性，同時，其體積變形將逐漸由剪縮變為剪脹。

圖6 初始超固結比對炭質泥頁巖排水三軸壓縮試驗結果的影響Fig.6 Influence of initial over-consolidation ratio on the results of drainage triaxial compression test of carbonaceous shale

2.2 材料參數β對模型計算結果的影響

為了更好地描述炭質泥頁巖的剪脹特性，對修正劍橋模型進行了適當的修正，并由此得到β-屈服函數。在上述參數試驗的基礎上，分別令β為1.5、2、2.5和3，計算得到超固結比為8的試樣的三軸壓縮排水試驗結果，其中，加載圍壓為200 kPa。

根據圖7，增大β的取值會導致試樣的峰值強度逐漸增大，其對應的軸向影響則會相應減小。此外，隨著β的逐漸增大，試樣的最終體積剪脹量也將隨之增大。

圖7 參數β對炭質泥頁巖排水三軸壓縮試驗結果的影響Fig.7 Effect of parameter β on the results of drainage triaxial compression test of carbonaceous mud shale

3 模型驗證

3.1 炭質泥頁巖

為了進一步驗證模型的適用性，采用該模型對炭質泥頁巖[20]的三軸壓縮試驗結果進行計算，材料參數如表2所示。假定該炭質泥頁巖的前期固結應力為50 MPa，當圍壓分別為100、200、300、400 kPa時，其初始超固結比分別為500、250、165、125。

表2 炭質泥頁巖模型參數Table 2 Model parameters of carbonaceous mud shale

在不同圍壓下，試樣的應力—應變曲線試驗結果和模型計算結果如圖8（a）所示。對比結果表明，該模型能夠較好地描述炭質泥頁巖的強度和變形特點，尤其是達到峰值強度后的應力—應變曲線，此時炭質泥頁巖表現出明顯的應變軟化特性。不過，在低圍壓條件下，模型計算得到的峰值強度明顯小于試驗結果，峰值強度對應的軸向應變也明顯偏大，可以調整部分材料參數的取值來進一步提高模型的計算精度。

圖8（b）給出了模型計算得到的炭質泥頁巖的剪脹曲線，可以看出，在加載的初始階段，試樣會發生剪縮變形，而進一步加載將導致試樣發生剪脹破壞。

圖8 不同圍壓條件下炭質泥頁巖排水三軸壓縮試驗結果與模型計算結果對比Fig.8 Comparison of the results of triaxial compression test and model calculation of carbonaceous shale under different confining pressures

3.2 太古石

基于β-屈服函數的統一硬化模型同樣能夠較好地描述其他不同類型軟巖的強度和變形特性。對Adachi等[21]的太古石三軸壓縮排水試驗數據進行計算，材料參數如表3所示。

表3 太古石模型參數Table 3 Model parameters of soft rock

圖9給出了太古石三軸壓縮排水試驗結果與計算結果之間的對比。可以看出，在不同圍壓下，該模型能較好地描述太古石三軸壓縮排水試驗應力—應變曲線和體積變形規律。

圖9 太古石三軸排水壓縮試驗結果與計算結果的對比Fig.9 Comparison between results of drained triaxial tests and calculation on soft rock

4 結論

建立了適用于炭質泥頁巖的β-屈服函數統一硬化模型，該模型能較好地描述炭質泥頁巖的應變軟化和剪脹特性。得到以下主要結論：

1）炭質泥頁巖可以被視作超固結黏土，在任意加載時刻，其當前的應力狀態點始終位于下加載面上，并且發生彈塑性破壞。

2）該模型能準確地描述炭質泥頁巖的剪脹特性，其采用的β-屈服函數能考慮屈服面的幾何形狀對模型計算結果的影響，從而顯著提高模型的計算精度。

3）模型包含的材料參數具有明確的物理意義，能夠通過常規的室內試驗進行標定，便于實際工程應用。模型計算結果與試驗結果進行對比分析表明，模型取得了良好的擬合效果，說明該模型能準確、合理地描述炭質泥頁巖的常規力學行為。

該模型的主要不足是無法考慮在復雜應力條件下炭質泥頁巖內部膠結作用破壞對其強度和變形特性的影響。在后續研究中，需要同時考慮結構性和超固結性對炭質泥頁巖常規力學行為的影響。