三角代數上的雙Lie triple導子

梁新峰，郭浩楠

（安徽理工大學，安徽 淮南 232000）

0 引言

對于帶有中心C(Α)且有單位元的結合環Α，引入一些必要的映射。映射γ:Α →Α 稱為導子，如果對于所有的x,y∈Α，滿足γ(xy)=γ(x)y+xγ(y)。一個雙可加映射φ:Α×Α →Α 稱為雙導子，如果其每一個分量都是導子。它最早是由Maksa［1-2］提出的。如果一個雙導 子φ:Α×Α →Α 滿足條件φ(x,y)=λ[x,y]，則稱其為內雙導子，其中λ∈C(Α)，其中符號[x,y]=xy-yx被稱為Lie括號。對于某個ɑ?C(Α)，一個可加映射φ:Α×Α →Α 滿足條件φ(x,y)=[x,[y,ɑ]]且滿足[[Α,Α],ɑ]=0，則稱其為extremal 雙導子。在本文中，從代數雙模的角度研究三角代數上雙Lie triple 導子的結構。為此引入一種新的符號U3(x1,x2,x3)=[[x1,x2],x3]，其中任意的x1,x2,x3∈A。若線性映射?:Α →Α 滿足關系?(U3(x1,x2,x3))=U3(?(x1),x2,x3)+U3(x1,?(x2),x3)+U3(x1,x2,?(x3))，其被稱為Lie triple 導子，其中任意的x1,x2,x3∈Α。如果雙線性映射φ:Α×Α →Α 的每一個分量都是Lie triple 導子，則稱其為雙Lie triple導子。在Herstain的Lie映射猜想[3]范疇內，許多數學工作者研究了與Lie triple 導子相關的映射，參見文獻［4-8］。

三角代數是一類非常重要的結合代數，它包含套代數和上三角矩陣代數等作為其典型例子。在Herstain Lie-type 映射猜想［3］的框架下，數學工作者主要從忠實雙模結構和Utumi 左商環［9］的角度研究三角代數上的映射結構，如雙導子、雙Jordan 導子、Lie 雙導子等。2009 年，Benkovi?［10］從雙模的角度研究了三角代數上的雙導子結構，王宇［11］從Utumi左商環的角度研究了三角環上的雙導子結構，得到了相同的結果，即每一個雙導子都是extremal雙導子和內雙導子的和。Eremita在2013年和2015年分別使用雙模［12］和Utumi左商環［13］的結構描述了度為2的泛函恒等式的結構。2022年，Ren等［14］利用雙模性質描述了Jordan 雙導子的結構。在此之后，Liu［15］利用Utumi 左商環的結構描述了三角環上Jordan 雙導子的結構。2019 年，梁新峰等［16］利用雙模性質描述了Lie 雙導子的結構。2023 年，Alghazzawi 等人［17］利用Utumi 左商環的性質研究了三角環上Lie雙導子的結構，與此同時，梁新峰等［18］利用Utumi左商環的性質刻畫了三角環上雙Lie n-導子的結構。這一結果推廣了Alghazzawi等的工作［17］。進而存在問題：如何從雙模的角度來描述三角代數上的雙Lie triple導子。針對這一問題，本文利用雙模的結構研究了三角代數上的雙Lie triple導子的分解形式（見定理2.1），此結果應用于套代數和上三角矩陣代數上，并得到類似的結論。以此為基礎，提出了后續研究課題：如何研究三角代數上的雙Lie n-導子結構。

1 三角代數的基礎知識

設T是含單位元I和非平凡冪等元f1的代數，顯然f2=I-f1同樣是一個非平凡冪等元。如果f2Tf1=0，且f1Tf2是一個忠實的右f1Tf1-模，同時也是左f2Tf2-模，則代數T稱為三角代數。因此，三角代數T具有分解形式T=f1Tf1+f1Tf2+f2Tf2。

代數T［14］的中心為C(T)={ɑ+b∈f1Tf1⊕f2Tf2|ɑf1xf2=f1xf2b,?x∈T}。

2 雙Lie triple導子的結構刻畫

下面主要利用忠實雙模的性質來研究三角代數上的雙Lie triple導子的結構。

假設f1Tf2是(f1Tf1,f2Tf2)-雙模。映射ψ:f1Tf2→f1Tf2稱為雙模同態，若任意的w,h,g∈T，滿足等式ψ(f1wf1hf2)=f1wf1ψ(f1hf2)和ψ(f1hf2gf2)=ψ(f1hf2)f2gf2。對于任意的h∈T，若雙模同態ψ具有形式ψ(f1hf2)=ɑ*f1hf2+f1hf2b*，其中ɑ*∈C(f1Tf1)，b*∈C(f2Tf2)，則稱ψ是標準的。

若對于任意的x∈T，2x=0 能得到x=0，則代數T稱為2-扭自由。

定理2.1設T=f1Tf1+f1Tf2+f2Tf2是一個2-扭自由的三角代數，δ:T×T→T是T上的一個雙Lie triple 導子，若雙Lie triple導子δ滿足以下條件

b）f1Tf1和f2Tf2中至少有一個是非交換的；

c）每一個雙模同態ψ:f1Tf2→f1Tf2都是標準的；

d）如果γɑ=0，其中γ∈C(f1Tf1)，0≠ɑ∈f1Tf1，則γ=0。

則對于任意的w,h∈T，每一個雙Lie triple導子都具有形式δ(w,h)=[w,[h,δ(e,e)]]+λ0[w,h]+σ(w,h)，

其中λ0∈C(T)，σ:T×T→C(T)是一個雙線性中心映射。

為了方便論證定理2.1和便于理解，將定理2.1的證明過程拆分成如下引理。

引理2.2δ具有以下性質：

1）δ(0,z)=δ(z,0)=0，任意的z∈T；

2）δ(I,z)=f1δ(I,z)f1+f2δ(I,z)f2∈C(T)和δ(z,I)=f1δ(z,I)f1+f2δ(z,I)f2∈C(T)，任意的z∈T；

3）f1δ(f1,f1)f2=-f1δ(f2,f1)f2=-f1δ(f1,f2)f2=f1δ(f2,f2)f2。

證明：1）由雙Lie triple導子的概念易知結論成立。

2）任取z∈T，則有

這意味著，對于任意的z∈T滿足

此外，任取z,w∈T，可以得到

3）考慮到f1+f2=I，并在等式(2.1) 中分別令z=f1和z=f2，則分別得到

引理2.3任取w,h∈T，可得等式

1）δ(f1wf1,f1hf2)=-δ(f1hf2,f1wf1)=γ0f1wf1hf2；

2）δ(f1wf2,f2hf2)=-δ(f2hf2,f1wf2)=γ0f1wf2hf2。

證明：對于任意的w,h∈T，由雙Lie triple導子的概念可知

等式(2.4)左邊乘以f1且右邊乘以f2，因為T是2-扭自由，所以f1hf2δ(f1wf1,f2)f2=f1δ(f1wf1,f2)f1hf2，這意味著，對于任意的w∈T，滿足關系

由引理2.2可知，對于任意的w∈T，滿足f1φ(f1wf1,f1+f2)f2=0，于是

此外，等式(2.4)兩邊同時乘以f1，得到f1δ(f1wf1,f1hf2)f1=0 。同理f2δ(f1wf1,f1hf2)f2=0 。因此，任取w,h∈T,則有

對于任意的w,h∈T,可得

且結合等式(2.7) 可知，對于任意的w,h∈T，滿足等式

同理，對于任意的w,h∈T，可得關系

對于所有的h∈T，利用關系式ν(f1hf2)=f1δ(f1,f1hf2)f2定義映射ν:f1Tf2→f1Tf2。因為δ對于第二個分量是一個Lie triple導子，由（2.9）可知

同理對于任意的w,h∈T，可得ν(f1hf2wf2)=ν(f1hf2)f2wf2

因此ν是一個雙模同態。由定理2.1 的假設c)可知ν具有標準形式，即對于任意的h∈T，存在ɑ*∈C(f1Tf1)，b*∈C(f2Tf2)，滿足

同樣，任取h∈T，利用關系式?(f1hf2)=f1δ(f1hf2,f1)f2構造映射?:f1Tf2→f1Tf2。顯然存在，對于任意的h∈T，使得

依據條件b），不失一般性假設f1Tf1是非交換代數，則對任意的g,w∈T，滿足條件[f1gf1,f1wf1]≠0。同時，任取g,h,w∈T，因為（2.5）、（2.8）、（2.9）和引理2.2可知

另一方面，對于任意的g,h,w∈T，由（2.9）可知

將(2.12)和(2.13) 結合可以得到

同理可得結論（2）成立。

引理2.4對于任意的w∈T，則有

證明：δ對于第一個分量是Lie triple導子，則對于任意的w,h∈T有

進而對于任意的w,h∈T，可以得到

另一方面，δ對于第二個分量為Lie triple導子，則任取h∈T，滿足關系

進而對于任取h∈T，則有

結合（2.14）和（2.15）可知

對于任意的w,h∈T。

任取w,h,g∈T，由（2.5）（，2.8）和（2.9）可知

因此，對于任意的w,h∈T，可以得到

同理可證明結論2）成立。

引理2.5任取w,h∈T，則有δ(f1wf2,f1hf2)=0。

證明：對于任意的w,h∈T，可得

固定h∈T，構建映射χ:f1Tf2→f1Tf2，對于任意的w∈T，其滿足χ(f1wf2)=f1δ(f1wf2,f1hf2)f2。由引理2.3可知，對于任意的g∈T有δ(f1gf1,f1hf2),δ(f2gf2,f1hf2)∈f1Tf2，因此

同理，任取w,g∈T，可以得到

因此χ是一個雙模同態。由定理2.1 的假設c）可知χ具有標準形式，即對于任意的w∈T，存在，使得

任取s,g,w∈T，由于δ對于第二個分量為Lie triple導子，所以

同理可得

結合上述兩個等式可知

f1Tf2為忠實的左f1Tf1-模，所以γk[f1gf1,f1sf1]=0。由定理2.1 的假設可知γk=0，這表明對于任意的h,k∈T有δ(f1wf2,f1hf2)=0。

引理2.6任取w,h∈T，δ具有關系：

證明：δ對于第二個分量為Lie triple導子，則對于任意的w,h∈T有

由引理2.2可知，對于任意的w∈T，滿足關系δ(f1wf1,I)∈f1Tf1+f2Tf2。因此

同理可證

結合（2.19）和（2.20）可以得到，對于任意的w,h∈T，滿足

任取w,h,g,s∈T，則有

由右f2Tf2模f1Tf2的忠實性可得

此外，任取w,h,s∈T，由（2.8）（,2.9）和引理2.4可知

因此結合引理2.4和（2.22）表明

且通過左f1Tf1-模f1Tf2的忠實性，可以得到，對于任意的w,h∈T，滿足等式

結論2）可通過類似的方法證明。

定理2.1的證明：

任取w=f1wf1+f1wf2+f2wf2，h=f1hf1+f1hf2+f2hf2∈T，結合引理2.3、引理2.4、引理2.5以及引理2.6可知

定理2.1證明完畢。

由于上三角矩陣代數和套代數是三角代數的典型例子。依據文獻［13］可知：它們滿足定理2.1 中的條件，因此可得如下兩個結論。

推論2.1設Tn(R)是一個上三角矩陣代數，其中R是2-扭自由交換整環。設δ:Tn(R)×Tn(R)→Tn(R)是Tn(R)上的一個雙Lie triple導子。則對于任意的w,h∈Tn(R)，每一個雙Lie triple導子都具有形式

其中λ0∈C(T)，σ:Tn(R)×Tn(R)→C(Tn(R))是一個雙線性中心映射。

推論2.2設N是復Hilbert 空間H上的一個套（Nest），其中dim(H)≥3，T(N)是由N定義的套代數。設δ:T(N)×T(N)→T(N)是T(N)上的一個雙Lie triple導子。則對于任意的w,h∈T(N)，每一個雙Lie triple導子都具有形式δ(w,h)=[w,[h,δ(e,e)]]+λ0[w,h]+σ(w,h)，

其中λ0∈C(T(N))，σ:T(N)×T(N)→C(T(N))是一個雙線性中心映射。

3 總結

本文研究了三角代數上的雙Lie triple導子的結構，證明了在一定條件下，每一個雙Lie triple導子δ都可以分解為inner 雙導子、extremal 雙導子和中心映射之和，并將結果應用于典型例子上三角矩陣代數和套代數。

雙Lie n-導子是雙Lie triple 導子的自然推廣形式，因此提出一個后續問題——如何刻畫三角代數上的雙Lie n-導子的結構，定理2.1的解決為此問題的研究提供了基礎。